江苏省宿迁市泗洪县育才实验中学2024-2025学年上学期八年级数学期中4

第1页（共1页）2024-2025泗洪育才学校期中模拟测试卷4一．选择题（共8小题）1．“二十四节气”是根据太阳在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（）A． B． C． D．2．下列美术字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．如图，从等边△ABC的三个顶点出发，向外分别引垂直于对边的射线，在射线上分别截取AD＝BE＝CF＝，若＝，则等边△ABC的边长为（）A．2 B．3 C．3 D．64．以下四组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．12，13，4 C．8，15，17 D．4，5，65．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB6．下列选项不能判断△ABC≌△ADC的是（）A．AB＝AD，BC＝DC B．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC C．AB＝AD，∠B＝∠D D．∠BCA＝∠DCA，∠B＝∠D7．如图，BE和AD是△ABC的高，F是AB的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．以下由四位同学描述三角形的四种不同的说法，正确的是（）A．由三个角组成的图形叫三角形 B．由三条线段组成的图形叫三角形 C．由三条直线组成的图形叫三角形 D．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形二．填空题（共10小题）9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画条线段．10．如图，在△ABC和△DEB中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AB＝DE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件：，使△ABC≌△DEB．（写出一个即可）11．如图，已知△OAD≌△OBC，点A和点B，点D和点C是对应顶点．下列结论中：①AD＝OC，②∠DBE+∠OAD＝180°，③BD＝AC，正确的是．（填序号）12．如果等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则该等腰三角形周长是cm．13．如图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，记正方形ABCD的面积为S1，记正方形EFGH的面积为S2，记正方形MNPQ的面积为S3，若S1+S2+S3＝15，则S2的值是．14．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M、N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，，当AM+BN的值最小时，CM的长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，BC＝AD，DE⊥AC于E，连接BE，若CE＝1，则BE的长为．17．如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，则阴影部分的面积是平方厘米．18．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．在这个过程中先可以得到△CMO≌△CNO，其依据的基本事实是．三．解答题（共10小题）19．如图①，在锐角△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，DE＝DB，F为AB边的中点，连接FE并延长交边AC于点G，M为BC边的中点，连接ME．（1）若DM＝1，求AE的长；（2）如图②，若ME⊥FG，（ⅰ）求证：EM＝2FE；（ⅱ）求证：E为FG的中点．20．如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：AB⊥CB．21．如图，小明作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图画一个和原三角形全等的三角形．22．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝AC，试说明：（1）∠BAD＝∠CAD；（2）AD⊥BC．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：AB＝CD；（2）用直尺和圆规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹），若四边形ABCD的面积是20，AB＝5，求CE的长．24．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°．（1）尺规作图：作斜边BC上的中线AD（保留痕迹，不用证明）；（2）如果AB＝4，AC＝8，求AD的长．25．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝4，，求AB的长．26．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上（不与点B，C重合）．（1）如图1，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE＝∠B．若BD＝AC，求证：△DBE≌△ACD；（2）若△ADC是直角三角形，求AD的长．27．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC边上的动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上的动点，与点P以相同的速度同时由点B向CB延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）在运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果发生变化，请说明理由．28．“费马点”：到△ABC三个顶点的距离之和为最小值的点，称为“费马点”（FermatPiont）费马：法国数学家P．Fermat1601﹣1665，（1）在△ABC中，尺规作出“费马点”，保留作图痕迹，并描述P点的所在；（2）论证（或证明）你所作之点的正确性．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．“二十四节气”是根据太阳在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（）A． B． C． D．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】根据轴对称的定义判定即可．【解答】解：A．选项中的图案不是轴对称图形，故选项A不符合题意；B．选项中的图案是轴对称图形，故选项B符合题意；C．选项中的图案不是轴对称图形，故选项C不符合题意；D．选项中的图案不是轴对称图形，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查轴对称的性质，对称轴两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形．2．下列美术字中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．【解答】解：A、“艰”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；B、“苦”可以看作轴对称图形，故此选项符合题意；C、“奋”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；D、“斗”不可以看作轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．3．如图，从等边△ABC的三个顶点出发，向外分别引垂直于对边的射线，在射线上分别截取AD＝BE＝CF＝，若＝，则等边△ABC的边长为（）A．2 B．3 C．3 D．6【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】设DA、EB、FC的延长线交于点G，由等边三角形的对称性可得：∠AGB＝∠BGC＝∠AGC＝120°，再判定△GDE≌△GFE≌△GDF（SAS），从而△DEF为等边三角形；然后证明△GAB∽△GDE，利用相似三角形的性质求得GB，再解直角三角形GBH，求得BH的长，则乘以2即可得等边△ABC的边长．【解答】解：设DA、EB、FC的延长线交于点G如图所示，则点G为等边三角形ABC的中心，由等边三角形的对称性可得：∠AGB＝∠BGC＝∠AGC＝120°，∵AD＝BE＝CF＝，∴GA＝GB＝GC，∵从等边△ABC的三个顶点出发，向外分别引垂直于对边的射线，∴∠GAB＝∠GBA＝∠GBC＝∠GCB＝∠GCA＝∠GAC＝30°，∴GA+AD＝GB+BE＝GC+CF，即GD＝GE＝GF，∴△GDE≌△GFE≌△GDF（SAS）∴△DEF为等边三角形，∴∠GED＝∠GEF＝30°∴∠GBA＝∠GED，∴AB∥DE，∴△GAB∽△GDE，∵S△ABC＝3S△GAB，S△DEF＝3S△GDE，＝，∴＝，∴＝，∵AD＝BE＝CF＝，∴GB＝，∵FC⊥AB，∴设FC的延长线垂直AB于点H，∴＝cos30°，∴BH＝×＝，∴AB＝2BH＝3．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．以下四组数中，是勾股数的是（）A．1，2，3 B．12，13，4 C．8，15，17 D．4，5，6【考点】勾股数．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、12+22≠32，不是勾股数，故本选项不符合题意；B、42+122≠132，不是勾股数，故本选项不符合题意；C、82+152＝172，是勾股数，故本选项符合题意；D、42+52≠62，不是勾股数，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数称为勾股数．5．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DCB成立的是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB【考点】全等三角形的判定．【分析】根据条件和图形可得∠1＝∠2，BC＝BC，再结合每个选项所给条件利用三角形判定定理逐一进行判断即可．【解答】解：根据条件和图形可得∠1＝∠2，BC＝BC，A、添加AB＝CD不能判定△ABC≌△DBC，故此选项符合题意；B、添加AC＝BD可利用SAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；C、添加∠A＝∠D可利用AAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；D、添加∠ABC＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．6．下列选项不能判断△ABC≌△ADC的是（）A．AB＝AD，BC＝DC B．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC C．AB＝AD，∠B＝∠D D．∠BCA＝∠DCA，∠B＝∠D【考点】全等三角形的判定．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．【解答】解：A、由AB＝AD、BC＝DC，结合AC＝AC可判定△ABC≌△ADC（SSS）；B、由AB＝AD、∠BAC＝∠DAC，结合AC＝AC可判定△ABC≌△ADC（SAS）；C、由AB＝AD、∠B＝∠D不能判定△ABC≌△ADC；D、由∠BCA＝∠DCA、∠B＝∠D，结合AC＝AC可判定△ABC≌△ADC（AAS）；故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．7．如图，BE和AD是△ABC的高，F是AB的中点，则图中的三角形一定是等腰三角形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考点】等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．【分析】由BE和AD是△ABC的高得到△ADB和△AEB都是直角三角形，而F是AB的中点，则FD、FE分别为直角△ADB和直角△AEB斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质得到FD＝FA＝FB，FE＝FA＝FB，即FA＝FE＝FD＝FB，根据等腰三角形的判定得到△FAE、△FAD、△FED、△FEB、△FDB都是等腰三角形．【解答】解：∵BE和AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∴△ADB和△AEB都是直角三角形，∵F是AB的中点，∴FD＝FA＝FB，FE＝FA＝FB，即FA＝FE＝FD＝FB，∴△FAE、△FAD、△FED、△FEB、△FDB都是等腰三角形．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定：有两条边相等的三角形为等腰三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．8．以下由四位同学描述三角形的四种不同的说法，正确的是（）A．由三个角组成的图形叫三角形 B．由三条线段组成的图形叫三角形 C．由三条直线组成的图形叫三角形 D．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形【考点】三角形．【分析】根据三角形的定义即可进行判断．【解答】解：三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；故选：D．【点评】本题考查的是三角形的概念，解题关键是掌握三角形的概念．二．填空题（共10小题）9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以A1为圆心、1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画9条线段．【考点】等腰三角形的性质．【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB，∠A2A1C，∠A3A2B，∠A4A3C的度数．然后分析，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．【解答】解：∵AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，∴∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°的度数，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°．∴n＜10．∵n为整数，∴n＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解决本题的关键是找出规律．10．如图，在△ABC和△DEB中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AB＝DE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件：BC＝EB（答案不唯一），使△ABC≌△DEB．（写出一个即可）【考点】全等三角形的判定．【分析】根据题意可知：AB＝DE，∠ABC＝∠E，然后写出一个使得△ABC≌△DEB的条件即可，注意本题答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DE，∠ABC＝∠E，∴添加条件BC＝EB，可以得到△ABC≌△DEB（SAS），添加条件∠A＝∠D，可以得到△ABC≌△DEB（ASA），添加条件∠ACB＝∠DBE时，可以得到△ABC≌△DEB（AAS），故答案为：BC＝EB（答案不唯一）．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意全等三角形的判定方法．11．如图，已知△OAD≌△OBC，点A和点B，点D和点C是对应顶点．下列结论中：①AD＝OC，②∠DBE+∠OAD＝180°，③BD＝AC，正确的是②③．（填序号）【考点】全等三角形的性质．【分析】先根据全等三角形的性质得到AD＝BC，OA＝OB，OD＝OC，∠OAD＝∠OBC，于是可对①进行判断；接着证明AC＝BD，则可对③进行判断；由于∠DBE+∠OBC＝180°，所以∠DBE+∠OAD＝180°，从而可对②进行判断．【解答】解：∵△OAD≌△OBC，∴AD＝BC，OA＝OB，OD＝OC，∠OAD＝∠OBC，所以①错误；∴OC﹣OA＝OD﹣OB，即AC＝BD，所以③正确；∵∠DBE+∠OBC＝180°，∴∠DBE+∠OAD＝180°，所以②正确．故答案为：②③．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．12．如果等腰三角形的两边长分别是2cm和6cm，则该等腰三角形周长是14cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，则应该分两种情况进行分析．【解答】解：当腰长为2cm时，则三边分别为2cm，2cm，6cm，因为2+2＜6，所以不能构成直角三角形；当腰长为6cm时，三边长分别为2cm，6cm，6cm，符合三角形三边关系，此时其周长＝2+6+6＝14cm．故答案为：14．【点评】本题考查等腰三角形的概念，要注意三角形“两边之和大于第三边”这一定理．掌握分类思想是解题的关键．13．如图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，记正方形ABCD的面积为S1，记正方形EFGH的面积为S2，记正方形MNPQ的面积为S3，若S1+S2+S3＝15，则S2的值是5．【考点】勾股定理的应用．【分析】由图形结合题意分别表示出S1与S2以及S3与S2的关系式，再根据s1+s2+s3＝15，即可得出结果．【解答】解：∵图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成，∴由图形2可知，S1＝S2+4S△AEH，S3＝S2﹣4S△AEH，又s1+s2+s3＝15，∴S2+4S△AEH+S2﹣4S△AEH+S2＝15，∴S2＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握图形面积之间的关系是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是．【考点】勾股定理；角平分线的性质．【分析】由勾股定理得BC＝3，过D作DE⊥AB于E，再由角平分线的性质得CD＝DE，然后证Rt△BCD≌Rt△BED（HL），得BE＝BC＝3，进而由勾股定理求出DE的长，即可解决问题．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，∴BC＝＝＝3，过D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴CD＝ED，在Rt△BCD与Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝BC＝3，∴AE＝AB﹣BE＝2，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝DE2+AE2，即DE2+22＝（4﹣DE）2，解得：DE＝，∴BD＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．15．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点M、N分别为BC，AC上的动点，且AN＝CM，，当AM+BN的值最小时，CM的长为．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形三边关系．【分析】过点A作AD∥BC，且AD＝AC，证明△AND≌△CMA，可得AM＝DN，当B，N，D三点共线时，BN+AM取得最小值，证明AB＝BM，即可求解．【解答】解：如图，过点A作AD∥BC，且AD＝AC，连接DN，∴∠DAN＝∠ACM，又AN＝CM，∴△AND≌△CMA（SAS），∴AM＝DN，∴BN+AM＝BN+DN≥BD，当B，N，D三点共线时，BN+AM取得最小值，此时如图所示，∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，，∴，∵△AND≌△CMA，∴∠ADN＝∠CAM，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADN＝∠ABN，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠MBN，∴∠ABN＝∠MBN，设∠MAC＝α，∴∠BAM＝∠BAC﹣α＝90°﹣α，∴∠ABM＝∠ABN+∠NBM＝2α＝45°，∴α＝22.5°，∴∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠ABM＝180°﹣90°+α﹣45°＝67.5°，∠BAM＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AMB＝∠BAM，∴，∴，即BN+AM取得最小值时，CM的长为，故答案为：．【点评】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，BC＝AD，DE⊥AC于E，连接BE，若CE＝1，则BE的长为．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，利用三角函数求得DE＝2CE＝2，然后利用勾股定理求得CD、EF，进一步求得BC、FC，然后利用勾股定理即可求得BE．【解答】解：作EF⊥BC于F，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠ADC＝90°，∵BC＝AD，∴AD＝2CD，∴tan∠C＝＝＝2，∴DE＝2CE＝2，∴CD＝＝＝，∴BC＝2，∵S△DEC＝＝＝1，∴S△BCE＝2S△DEC＝2，∴＝2，即•EF＝2，∴EF＝，∴CF＝＝＝，∴BF＝2﹣＝，∴BE＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角函数，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握以上知识．17．如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，则阴影部分的面积是64平方厘米．【考点】三角形的面积．【分析】延长HF，BC交于点T，先证四边形EFTC，四边形ABTH均为矩形，进而可求出FT＝CE＝CD﹣DE＝4cm，CT＝EF＝4cm，BT＝BC+CT＝12cm，然后分别求出S△BFT＝24平方厘米，S△HDF＝8平方厘米，S矩形ABTH＝96平方厘米，最后再根据S阴影＝S矩形ABTH﹣S△BFT﹣S△HDF可得出阴影部分的面积．【解答】解：延长HF，BC交于点T，如图所示：∵正方形ABCD的边长为8厘米，正方形DEFH的边长为4厘米，∴BC＝CD＝8厘米，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，EF＝DE＝HF＝4厘米，∠H＝∠DEF＝∠EFH＝90°，∴∠DCT＝90°，∠CEF＝∠EFT＝90°，∴四边形EFTC为矩形，又∵∠A＝∠ABC＝90°，∠H＝90°，∴四边形ABTH为矩形，∴FT＝CE＝CD﹣DE＝8﹣4＝4（cm），CT＝EF＝4cm，∴BT＝BC+CT＝8+4＝12（cm），∴S△BFT＝BT•FT＝×12×4＝24（平方厘米），∵DH＝HF＝4cm，∴S△HDF＝DH•HF＝×4×4＝8（平方厘米），∵BT＝12cm，AB＝8cm，∴S矩形ABTH＝AB•BT＝8×12＝96（平方厘米），∴S阴影＝S矩形ABTH﹣S△BFT﹣S△HDF＝96﹣24﹣8＝64（平方厘米）．故答案为：64．【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形和矩形的面积，准确识图，熟练掌握三角形的面积公式和矩形的面积公式，正确的作出辅助线构造矩形是解决问题的关键．18．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合．过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．在这个过程中先可以得到△CMO≌△CNO，其依据的基本事实是SSS．【考点】全等三角形的判定．【分析】由三边相等得△COM≌△CON，再根据全等三角形对应角相等得出∠AOC＝∠BOC．【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC＝∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故答案为：SSS．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．三．解答题（共10小题）19．如图①，在锐角△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，E为AD上一点，DE＝DB，F为AB边的中点，连接FE并延长交边AC于点G，M为BC边的中点，连接ME．（1）若DM＝1，求AE的长；（2）如图②，若ME⊥FG，（ⅰ）求证：EM＝2FE；（ⅱ）求证：E为FG的中点．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）设DB＝a，则DE＝DB＝a，CM＝BM＝BD+DM＝a+1，进而得AD＝CD＝CM+DM＝a+2，然后根据AE＝AD﹣DE可得出答案；（1）（ⅰ）连接CE，先证明△CDE和△ADB全等得CE＝AB，∠DCE＝∠BAD，根据点F为AB边的中点得＝2，再证明△CME∽△AEF得＝2，据此即可得出结论；（ⅱ）连接FM交AD于N，设DM＝k，则AE＝2k，根据△CME∽△AEF得CM＝2AE＝4k，进而得BM＝CM＝4k，则AD＝CM+DM＝5k，DE＝BD＝BM﹣DM＝3k，证明FM是△ABC的中位线得FM∥AC，则△DMN为等腰直角三角形，从而得DN＝DM＝k，则NE＝ED﹣DN＝2k，由此得AE＝NE，据此可证明△EFN和△EGA全等，从而得EF＝EG，据此即可得出结论．【解答】（1）解：设DB＝a，∴DE＝DB＝a，∵DM＝1，∴BM＝BD+DM＝a+1，∵M为BC边的中点，∴CM＝BM＝a+1，∴CD＝CM+DM＝a+1+1＝a+2，∵∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝a+2，∴AE＝AD﹣DE＝a+2﹣a＝2；（1）（ⅰ）证明：连接CE，如图1所示：∵AD⊥BC于点D，∴∠CDE＝∠ADC＝90°，由（1）可知：△ACD为等腰直角三角形，∴CD＝AD，在△CDE和△ADB中，，∴△CDE≌△ADB（SAS），∴CE＝AB，∠DCE＝∠BAD，∵点F为AB边的中点，∴AB＝2AF，即＝2，∵AD⊥BC，ME⊥FG，∴∠DEM+∠EMD＝90°，∠FED+∠DEM＝90°，∴∠EMD＝∠FED，∵∠EMD+∠CEM＝180°，∠FED+∠AEF＝180°，∴∠CEM＝∠AEF，又∵∠DCE＝∠BAD，∴△CME∽△AEF，∴＝2，∴EM＝2FE；（ⅱ）证明：连接FM交AD于N，如图2所示：设DM＝k，则DM＝CM＝DB+k，∴CD＝AD＝DB+2k，∵DE＝DB，∴AE＝AD﹣DE＝DB+2k﹣DB＝2k，∵△CME∽△AEF，∴＝2，∴CM＝2AE＝4k，∴BM＝CM＝4k，∴AD＝CM+DM＝4k+k＝5k，DE＝BD＝BM﹣DM＝4k﹣k＝3k，又∵点F为AB边的中点，点M为BC边的中点，∴FM是△ABC的中位线，∴FM∥AC，∴∠FMB＝∠ACB＝45°，∴△DMN为等腰直角三角形，∴DN＝DM＝k，∴NE＝ED﹣DN＝3k﹣k＝2k，∴AE＝NE，∵FM∥AC，∴∠EFN＝∠EGA，∠ENF＝∠EAG，在△EFN和△EGA中，，∴△EFN≌△EGA（AAS），∴EF＝EG，∴E为FG的中点．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．20．如图，在4×4正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的周长；（2）求证：AB⊥CB．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】（1）运用勾股定理求得AB，BC及AC的长，即可求出△ABC的周长；（2）运用勾股定理的逆定理求得AC2＝AB2+BC2，得出AB⊥CB．【解答】（1）解：AB＝＝2，BC＝＝，AC＝＝5，故△ABC的周长＝2++5＝3+5；（2）证明：∵AC2＝25，BC2＝5，AB2＝20，∴5+20＝25，即AB2+CB2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴AB⊥CB．【点评】本题主要考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟记勾股定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．21．如图，小明作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画出一个与原来完全一样的三角形，请帮助小明想办法用尺规作图画一个和原三角形全等的三角形．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．22．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝AC，试说明：（1）∠BAD＝∠CAD；（2）AD⊥BC．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据AD是BC边上的中线，可知BD＝CD，根据SSS可证△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据全等三角形的性质可知∠ADB＝∠ADC，根据∠ADB+∠ADC＝180°，进一步即可得证．【解答】证明：（1）∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD；（2）∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，连接AC．（1）求证：AB＝CD；（2）用直尺和圆规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹），若四边形ABCD的面积是20，AB＝5，求CE的长．【考点】作图—复杂作图；平行线的性质；三角形的面积．【分析】（1）由AB∥CD得∠ACD＝∠CAB，结合∠B＝∠D，AC＝CA，即可根据AAS证明△ABC≌△CDA，即可得到结论；（2）以C为圆心，CB为半径作弧，交线段AB延长线于F，分别以B、F为圆心，大于BF的线段长为半径作弧，两弧交于G、H，连接GH，交AF于E，作直线CE，则CE即为AB的垂线．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（AAS），∴AB＝CD；（2）解：过点C作AB的垂线，垂足为E，如图：∵△ABC≌△CDA，∴S△ABC＝S四边形ABCD，∵四边形ABCD的面积为20，∴S△ABC＝10，∴AB•CE＝10，∵AB＝5，∴CE＝4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，涉及尺规作图、三角形面积等知识，解题的关键是掌握过一点作已知直线的垂线的方法：即是作线段BF的垂直平分线．24．如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°．（1）尺规作图：作斜边BC上的中线AD（保留痕迹，不用证明）；（2）如果AB＝4，AC＝8，求AD的长．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】（1）分别以B，C为圆心，大于BC长为半径画弧，过四弧的交点作直线交BC于D，连接AD，则AD即为所求；（2）由勾股定理求得BC，根据直角三角形斜边的中线的性质即可求得结果．【解答】解：（1）如图，AD即为所求；（2）∵AB＝4，AC＝8，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝4，∵AD斜边BC上的中线，∴AD＝BC＝2．【点评】本题主要考查了尺规作图，线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边的中线的性质，勾股定理，熟知线段的垂直平分线性质，直角三角形斜边的中线的性质是解决问题的关键．25．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝4，，求AB的长．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】作BF⊥CD于点F，BE⊥DA交DA的延长线于点E，可证明△ABE≌△CBF，得BE＝BF，AE＝CF，再证明四边形BEDF是正方形，则DE＝DF，所以4+AE＝2﹣CF＝2﹣AE，求得AE＝﹣2，BE＝DE＝+2，则AB＝＝5，也可以用另一种作辅助线的方法，即连接AC，求得AC＝10，则2AB2＝102，求得AB＝5．【解答】解：如图，作BF⊥CD于点F，BE⊥DA交DA的延长线于点E，则∠E＝∠BFC＝90°，∵∠E＝∠D＝∠BFD＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠C+∠BAD＝360°﹣2×90°＝180°，∴∠BAE+∠BAD＝180°，∴∠BAE＝∠C，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，AE＝CF，∴四边形BEDF是正方形，∴DE＝DF，∵AD＝4，DC＝2，∴4+AE＝2﹣CF＝2﹣AE，∴AE＝﹣2，∴BE＝DE＝﹣2+4＝+2，∴AB＝＝＝5，∴AB的长为5．【点评】此题重点考查同角的补角相等、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．此外，此题还有另一种解法：连接AC，求得AC＝10，则2AB2＝102，求得AB＝5．26．在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上（不与点B，C重合）．（1）如图1，点E在AB上（不与点A，B重合），且∠ADE＝∠B．若BD＝AC，求证：△DBE≌△ACD；（2）若△ADC是直角三角形，求AD的长．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】（1）利用三角形外角的性质得∠BDE＝∠CAD，再利用ASA证明△DBE≌△ACD；（2）分两种情况，①若∠ADC＝90°，②若∠CAD＝90°，过点A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求出答案．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠B＝∠C，∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠ADE+∠BDE＝∠C+∠CAD，∴∠BDE＝∠CAD，在△DBE和△ACD中，∴△DBE≌△ACD（ASA）；（2）解：①若∠ADC＝90°，∵AB＝AC＝10，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝CD＝8，∴AD＝＝＝6；②若∠CAD＝90°，过点A作AE⊥BC于E，由①可知CE＝8，设DE＝x，∵DE2+AE2＝AD2，CD2﹣AC2＝AD2，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴DE＝，∴AD＝＝．综上所述，AD的长为6或．【点评】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．27．如图，△ABC