第02讲 解直角三角形（知识解读+真题演练+课后巩固）（原卷版）-A4

第页第02讲解直角三角形使学生理解直角三角形中五个元素的关系，什么是解直角三角形；2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．知识点1解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.

设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：

①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.

③边角之间的关系：

，，，，，.

④，h为斜边上的高.

注意：

(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.

(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).

(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.知识点2解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC

两

边两直角边(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

边

一

角一直角边

和一锐角锐角、邻边

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，锐角、对边

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，注意：

1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.

2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典例1】（2023•雨花区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，sin∠B等于（）A． B． C． D．【变式1-1】（2023•子洲县校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，，则AC的长为（）A．4.5 B．5 C．2 D．3【变式1-2】（2023春•东城区校级期末）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则sinB的值是（）A．1 B． C． D．【变式1-3】（2023•沭阳县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，则AC的长为（）A．6 B．2 C．3 D．9【典例2】（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【变式2-1】（2023•耿马县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝8，，那么tanB的值为（）A． B． C． D．【变式2-2】（2023春•巴东县期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，＝，则tan∠B＝（）A． B． C． D．【变式2-3】（2023•巧家县校级三模）如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，则边AB的长为（）A． B． C． D．【典例3】（2023•仓山区校级模拟）如图，平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的余弦值是（）A． B． C． D．【变式3-1】（2022秋•乳山市期末）如图，已知点P（4，3），OP与x轴正半轴的夹角为α，则cosα＝（）A． B． C． D．【变式3-2】（2023•陇县一模）如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝1，，则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【典例4】（2022秋•泉州期末）如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【变式4-1】（2023•长丰县模拟）如图，在网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则sin∠ABC等于（）A． B． C． D．【变式4-2】（2023•海港区一模）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（）A． B． C．2 D．【变式4-3】（2022秋•离石区期末）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cos∠AOB的值为（）A． B． C． D．【典例5】（2023•西湖区校级二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，DE为AC边上的中线．（1）若∠EDA＝3∠BAD，求∠C的度数；（2）若tan∠EDA＝4，AB＝5，求点A到BC的距离．【变式5-1】（2022秋•徐汇区期末）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tanB＝，点E是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．【变式5-2】（2023春•梅江区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A＝60°，求BC的长；（2）若sinE＝，求AD的长．1．（2023•攀枝花）△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．已知a＝6，b＝8，c＝10，则cos∠A的值为（）A． B． C． D．2．（2023•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A（0，1），B（4，1），C（5，6），则sin∠BAC＝（）A． B． C． D．3．（2022•广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A． B． C． D．4．（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（）A．2 B．3 C． D．25．（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（）A． B． C． D．6．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，则边AB的长为（）A．3 B．3 C．6 D．37．（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝．8．（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝．9．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，﹣3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为．10．（2022•广州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8，BC＝6．（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．一．选择题（共8小题）1．如图，∠B＝60°，AB＝4，AC＝6，则cosC的值是（）A． B． C． D．2．如图，点A，B，C都在正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值是（）A． B．1 C． D．3．若锐角α满足，则＝（）A． B． C． D．4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanα B．a•cotα C． D．5．如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝（）A． B． C． D．无法求得6．在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．27．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，则BC的长为（）A．3 B．2 C． D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则tan∠BCE的值为（）A． B． C． D．二．填空题（共3小题）9．如图，网格中小正方形的边长均为1，点A，B、C都在格点（小正方形的顶点）上，则∠BAC的正切值是．10．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角为α．若tanα＝，则OP＝．11．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算tan15°时，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB，使BD＝AB，连接AD，使得∠D＝15°，所以tan15°＝，类比这种方法，计算tan22.5°＝．三．解答题（共4小题）12．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D在AC上，，∠BDC＝60°，求BC的长．13．如图，在△ABC中，AB＝5，sinB＝，tanC＝．（1）求BC的长．（2）若点D在BC边上，且