第02讲 二次根式的乘除 （知识解读+达标检测）（解析版）-A4

第页第02讲二次根式的乘除【题型1二次根式的乘法运算】【题型2二次根式的除法运算】【题型3二次根式的乘除法运算】【题型4最简二次根式的相关概念】考点1：二次根式的乘法法则二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的乘法法则的推广，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。3.二次根式的乘法法则的逆用（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质）4.二次根式的乘法法则的逆用的推广【题型1二次根式的乘法运算】【典例1】计算：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)3(3)(4)8【分析】（1）把被开方数相乘即可，（2）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可，（3）把被开方数相乘即可，（4）先把被开方数相乘，再把结果化成最简形式即可．【详解】（1）（2）（3）（4）【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解答此题的关键．【变式1-1】计算的结果为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案．【详解】解：．故选：D．【变式1-2】计算：(1)；(2)．【答案】(1)4(2)【分析】（1）运用二次根式的乘法公式计算即可．（2）运用完全平方公式，根式的性质计算即可．【详解】（1）．．（2）．【点睛】本题考查了二次根式的乘法公式，完全平方公式，根式的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键．【典例2】计算:(1);(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算即可．（2）根据二次根式的乘法法则计算即可．【详解】（1）解：；（2）．【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．【变式2-1】计算：．【答案】【分析】把系数相乘，被开方数相乘，最后化成最简二次根式即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题关键．考点2：二次根式的除法法则1.二次根式的除法法则（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）2.二次根式的除法法则的推广注意：a≥0，b＞0时，a≥0，b＞0时，才有意义；如果被开方数时带分数，应先化成假分数【题型2二次根式的除法运算】【典例3】计算：（1）；

（2）；

（3）；

（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】根据二次根式的除法法则，（a≥0，b＞0）可得答案．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键．【变式3-1】计算：(1)；(2)；(3)（，）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（2）根据二次根式的除法计算法则求解即可；（3）根据二次根式的除法计算法则求解即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键．【变式3-2】计算：（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）（7）

（8）；【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（5）；（6）；（7）；（8）4【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）=．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，掌握乘除法的运算法则是解题的关键．【变式3-3】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）【分析】分别利用二次根式的除法法则以及二次根式的性质计算即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则以及二次根式的性质．【题型3二次根式的乘除法运算】【典例4】计算：．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解．【详解】解：【变式4-1】计算：【答案】【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可．【详解】解：．【变式4-2】计算：．【答案】【分析】本题考查二次根式的混合运算．利用运算法则计算即可．【详解】解：，，，，．【变式4-3】计算：【答案】24【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可．【详解】解：，．【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．考点3：最简二次根式最简二次根式的概念被开方数不含分母被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数若被开方数中含有小数，先将小数化成分数若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算(a＞0，b＞0，c＞0）被开方数时多项式的要先因式分解（x≥0，y≥0）3.分母有理化分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。【题型4最简二次根式】【典例5】下列二次根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】A.，不符合题意；B.，不符合题意；C.，不符合题意；D.符合题意；故选D．【变式5-1】下列根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查最简二次根式．“被开方数不含分母或被开方数不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式即为最简二次根式”，据此进行判断即可．【详解】解：含有c3可以开方，则A不符合题意；符合最简二次根式的定义，则B符合题意；，则C不符合题意；中被开方数含有分母，不是最简二次根式，则D不符合题意；故选：B．【变式5-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了最简二次根式的判定．最简二次根式是指被开方数不能化简的二次根式．据此判定即可．【详解】解：A、，可化简，原式不是最简二次根式；B、，可化简，原式不是最简二次根式；C、，可化简，原式不是最简二次根式；D、不可化简，原式是最简二次根式，符合题意．故选：D．【变式5-3】将化成最简二次根式的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了最简二次根式，如果一个二次根式符合下列两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义化简即可得到答案．【详解】解：将化成最简二次根式的结果为，故选：A．一、单选题1．下列根式是最简二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据最简二次根式：“被开方数不含开方开的尽的因数或因式，不含分母”，进行判断即可．【详解】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C、，是最简二次根式，符合题意；D、，不符合题意；故选C．2．下列计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，二次根式的加法，乘法法则进行计算，逐一判断即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、与不能合并，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．3．一个长方形，面积为，一边长为，那么这条边的邻边长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查了二次根式的应用，用长方形的面积除以一边的长即可求得另一边的长，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则．【详解】解：由题意得：，故选：．4．计算的结果是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：．故选：A．5．若，，则用含a，b的式子表示是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用二次根式的乘法和性质变形得出答案．【详解】解：，，．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法和性质，正确将二次根式变形是解题关键．6．下列计算正确的有（

）①②③④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次根式的性质判断，即可得到答案．【详解】解：，即①计算错误，②计算正确；，即③计算正确，④原计算错误；则正确的个数为2个，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质是解题关键．二、填空题7．化简：；．【答案】【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式乘法和除法法则进行化简即可．【详解】解：，，故答案为：，．8．将化成最简二次根式为．【答案】【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可．【详解】解：．故答案为：．9．矩形的长和宽分别是和，则矩形的面积是．【答案】【分析】根据矩形的面积=长×宽即可得出结果．【详解】解：矩形面积．故答案为：．【点睛】本题主要考查的是矩形面积公式以及二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法是解题的关键．10．计算：．【答案】2【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为：2．11．若为正整数，则满足条件的的最小正整数值为．【答案】5【分析】先将已知二次根式化简，然后根据题意找出最小被开方数即可得到结果．【详解】解：，且结果为正整数，是某数的平方，又，是根号内满足条件的最小被开方数，为正整数，当时满足题意．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的化简，首先知道被开方数为平方数的时候开方的结果才是正整数．将本题先化简再探讨是解决本题的关键．12．若的整数部分是a，小数部分为b，则，．【答案】1/【分析】首先根据无理数的估算得到，然后求出a和b的值，然后利用二次根式的运算法则化简即可求出．【详解】∵∴∵的整数部分是a，小数部分为b，∴，∴．故答案为：1，．【点睛】此题考查了无理数的估算，二次根式的运算，平方差公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．13．计算的值为．【答案】/【分析】根据幂的运算公式：，的逆用，，进行计算，即可求解．【详解】解：原式；故答案：．【点睛】本题考查了二次根式运算，平方差公式，积的乘方公式逆用，同底数幂的乘法公式逆用，会利用公式进行计算是解题的关键．三、解答题14．【答案】【分析】根据平方差公式和二次根式运算法则求解即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算、平方差公式等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题的关键．15．计算：．【答案】【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可．【详解】解：原式【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．16．计算：．【