2023-2024学年北京北师大实验中学高一（上）期中数学试卷和答案

高中PAGE1高中2023北京北师大实验中学高一（上）期中数学2023年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，那么（）A. B. C. D.2.函数的定义域为（）A. B.C. D.3.下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A. B. C. D.4.已知，则的最小值为（）A. B.3 C.6 D.105.已知函数，若，则（）A. B. C. D.6.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增.以下结论正确的是（）A. B.C. D.7.已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表x1234y1.213.7910.28以下说法中错误的是（）A. B.当时，C.函数有且仅有一个零点 D.函数可能无零点8.已知是定义在上的函数，那么“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）A. B.C. D.10.将5个1，5个2，5个3，5个4，5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入1个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2，设第行的所有数的和为（，2，3，4，5），为，，，，中的最小值，则m的最大值为（）A.8 B.9 C.10 D.11第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知命题p：，，则：______.12.已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是______.13.函数的图象的对称中心是______，不等式的解集是______.14.已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，，，，则t的取值范围是______，若，则______.15.已知函数的定义域为，且满足下列条件：（1）对任意的，总有，且；（2）若，，，则有.给出下列四个结论：①；②可能为区间中的任意值；③函数的最大值是4；④当时，.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16.已知是上的奇函数，当时，.现已作出函数在y轴右侧的图象，如图所示.（1）请根据条件，将函数的图象补充完整，并直接写出函数的表达式；（2）写出函数的单调区间，并利用单调性的定义证明函数在上单调递减；（3）直接写出不等式的解集.17.已知集合，.（1）若，求；（2）请在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得至少存在一个实数a满足该条件，并求出a的范围.①；②；③.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.已知关于，的方程组其中.（1）当时，求该方程组的解；（2）证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解；（3）记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.19.某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量t（万件）与广告费用x（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为19万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入12万元.另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和.（1）求k的值；（2）试求该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式；（3）假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和.若每件产品的售价定为产品的年平均生产成本的2倍，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润最高?20.已知函数，.（1）证明：当时，是奇函数；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围；（3）若对任意，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围.21.对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定.（1）若，请直接写出集合和中元素的个数.（2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.（3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.

参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】根据交集的运算求解.【详解】因为表示所有奇数组成的集合，所以，故选:C.2.【答案】B【分析】根据二次根式被开方数为非负数，解出的取值范围即可.【详解】，解得：.故选：B.3.【答案】D【分析】由函数的基本性质即可判断.【详解】对于，是偶函数，不符合题意，对于，不具有奇偶性，不符合题意，对于，，是奇函数，但在定义域内不具有单调性，不符合题意，对于，，是奇函数，在定义域内单调递增，符合题意.故选：.4.【答案】C【分析】根据题意利用基本不等式运算求解.【详解】因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为6.故选：C.5.【答案】B【分析】分、两种情况讨论，结合可求出实数的值.【详解】因为，且.当时，则，解得或（舍）；当时，则，解得（舍）.综上所述，.故选：B.6.【答案】A【分析】根据偶函数的性质及函数的单调性判断即可.【详解】因为函数为偶函数，所以，所以，因为在上单调递增，所以，即，故选：A7.【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A，因为函数是上的增函数，所以，正确；对于B，因为函数是上的增函数，所以当时，，正确；对于C，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，正确；对于D，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，错误，故选：D.8.【答案】B【分析】根据最大值的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】只有“存在实数，使得对任意总有”且“存在，使得”，这时的最大值才是，所以充分性不满足，当的最大值是时，对任意总有恒成立，所以必要性满足，所以，“存在实数，使得对任意总有”是“函数存在最大值”的必要不充分条件.故选：.9.【答案】A【分析】从图中观察，显然图1的阴影部分面积不小于图2矩形的阴影面积，建立不等式即可.【详解】为等腰直角三角形,且，，，,四边形的面积.观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积，，当且仅当，原式取“”.故选：A.10.【答案】C【分析】根据题意，由5个1分布的列数不同情形进行讨论，即可确定的最大值.【详解】解：依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故,故；(3)若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故，故；(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.综上所述，；另一方面，如下表的例子说明可以取到10.1114511245222453324533345故选：C.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】，【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题解答.【详解】命题p：，，则：，.故答案为：，.12.【答案】，，(答案不唯一)【分析】可以直接选一组特殊值，只要能满足，但是即可.【详解】当时，，，此时满足，但是.故答案为：(答案不唯一).13.【答案】①.②..【分析】空1：整理可得，结合函数图象平移求对称中心；空2：分和两种情况，根据题意运算求解即可.【详解】由题意可知：，因为的对称中心为，向右平移1个单位，得到，对称中心为，再向上平移1个单位，得到，对称中心为；因为的定义域为，则有：当时，则，可得，符合题意；当时，则，解得；综上所述：不等式的解集是.故答案为：；.14.【答案】①.②..【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出分段函数图像，方程有4个不同的实数根，所以求出的取值范围；（2）根据分段函数是二次函数，所以，即，根据函数，求出，，继而求出，最终求出的值.【详解】如图所示方程有4个不同的实数根，，，，则t的取值范围是.因为是二次函数，所以，因为，所以，即所以，，解得，，解得，因为，所以故答案为：；15.【答案】①③④.【分析】根据所给性质取判断①；根据所给性质取特殊值求出判断②；根据所给性质可推断出函数的单调性判断③；利用性质（2）推理可判断④.【详解】令，得，即，所以，①正确；令，得，所以，结合条件（1）知，故②错误；任取，，则，所以在上单调递增，所以，即函数的最大值是4，③正确；因为，所以，当时，，所以当时，，故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16.【答案】（1）作图见解析，（2）单调增区间是，，单调减区间是，，证明见解析（3）【分析】（1）由奇函数的对称性，直接作出函数的图像，得出其解析式.（2）根据图像得出单调区间，由定义法证明函数的单调性的步骤证明即可.（3）利用函数图像，分和两种情况讨论可得答案.【小问1详解】由奇函数的图像关于原点成中心对称，则图像如图，当时，当时，，由所以.【小问2详解】单调增区间是，，单调减区间是，，证：，，不妨设，，因为，，所以，，即，因此，在上单调递减.【小问3详解】当时，由，则，即，解得当时，，由，则，即当时，，此时无解，当时，，解得或；解集为17.【答案】（1）（2）答案见解析【分析】（1）先求出集合，再由并集的定义求解；（2）由分析知，只可选择①或③，可得，分类讨论，和，求解即可.【小问1详解】由可得：，解得：，所以，当时，，因此，【小问2详解】选择条件①:由条件可得当时，，满足题意；当时，，所以，，即，所以，当时，，所以，，即，所以，综上所述，a的取值范围是.选择条件③:由条件可得当时，，满足题意；当时，，所以，，即，所以，当时，，所以，，即，所以，综上所述，a的取值范围是.补充：下面说明条件②不成立：选择条件②，由可得：，当时，，不满足；当时，，不满足；当时，，不满足；故不能选择条件②.18.【答案】（1）和（2）证明见解析（3）是定值，定值为4【分析】（1）消去求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；（2）消去，判断所对应的一元二次方程的解的情况，即可判断；（3）利用韦达定理得到，，即可求出、，从而得解.【小问1详解】当时，消去得，解得，，因此，方程组的解为和.【小问2详解】消去整理得，显然，且，因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解.【小问3详解】由韦达定理得，，所以，，所以，因此，是定值，且定值为4.19.【答案】（1）（2），（3）22万元【分析】（1）利用当广告费用投入为6万元时，产品订购量为19万件，可直接求出的值；（2）根据年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和可直接列函数关系式；（3）利用基本不等式可求出利润最大值.【小问1详解】由题意，当时，，解得.【小问2详解】由题意，该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为：，.【小问3详解】设年利润为万元，则，，因为，所以，当且仅当即时，W取最大值284，所以广告费用为22万元时，厂家的年利润最高.20.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义分析证明；（2）对整理得，结合分段函数单调性分析求解；（3）根据题意分析可得，内恒成立，根据恒成立问题结合函数单调性以及基本不等式运算求解.【小问1详解】当时，则，可知的定义域为，可得，因此是上的奇函数.【小问2详解】由题意可得：，且连续不断，若函数在上单调递增，则，解得，所以a的取值范围是.【小问3详解】因为在内恒成立，即，，整理得，内恒成立，又因为在上单调递增，且，即在上最大值为，且，当且仅当，即时，等号成立，即在上最小值为，可得，所以a的取值范围是.21.【答案】（1）有4个元素，有7个元素（2）个，11个（3）13，理由见解析【分析】（1）根据已知新定义结合条件求解即可.（2）根据已知新定义，分类讨论、列举结合条件进行求解.（3）根据已知新定义，分类讨论、列举进行求解、证明.【小问1详解】因为，，所以有4个元素，有7个元素.【小问2详解】最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素.可能的构造如下：.这个集合的元素均为素数，中