九年级期末真题2

九年级上期末真题精选【考题猜想，压轴60题20个考点专练】【题型展示】一、利用二次函数的性质判断多结论问题（共3小题）二、利用二次函数的性质比较四个字母的大小（共3小题）三、二次函数与方程、不等式（共4小题）四、二次函数的存在性问题（共6小题）五、抛物线的平移、旋转、对称（共3小题）六、利用二次函数求最短路径（共3小题）七、由实际问题抽象出二次函数模型（共3小题）八、根据二次函数特征求参数取值范围（共3小题）九、二次函数与动点问题（共3小题）十、利用相似三角形的性质与判定求长度（共2小题）一十一、利用相似三角形的性质与判定求面积（共2小题）一十二、利用相似三角形的性质与判定解决动点问题（共3小题）一十三、利用相似三角形的性质与判定解决规律探究问题（共2小题）一十四、利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题（共3小题）一十五、锐角三角函数与相似三角形综合（共2小题）一十六、锐角三角函数与圆综合（共2小题）一十七、解直角三角形与圆综合（共3小题）一十八、抛物线与圆综合（共3小题）一十九、一元二次方程根与系数的关系（共3小题）二十、圆与三角形、四边形综合问题（共4小题）一、利用二次函数的性质判断多结论问题（共3小题）1．（2023上·湖北孝感·九年级统考期中）已知抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（包含端点），顶点坐标为，有下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】主要考查二次函数图像与系数的关系、不等式，解题的关键是熟知顶点坐标以及二次函数的性质．利用抛物线的对称轴方程得到，则可对①进行判断；利用抛物线与轴交于点得到，把代入得到，再利用得到，然后解不等式组可对②进行判断；利用当时，有最大值得到（为任意实数），则可对③进行判断；利用直线与抛物线只有一个交点可知与抛物线有两个交点，则可对④进行判断．【详解】抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称性为直线，，，所以①正确；抛物线与轴交于点，，，抛物线与轴的交点在，之间（包含端点），，即，，所以②正确；当时时，有最大值，（为任意实数），即，所以③正确；抛物线的顶点坐标为，直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线有两个交点，关于的方程有两个不相等的实数根，所以④正确．故选：A．2．（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考期中）如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数的最小值为；②若，则；③若，则；④一元二次方程的两个根为和其中正确结论的是()A．①②③ B．①④ C．②③④ D．②④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；根据、两点写出抛物线的交点式化简得，再配成顶点式，即可判断①；当时，，根据二次函数的性质，即可判断②；利用二次函数的对称性及增减性即可判断③；由可知，，则可化为，，解方程即可判断④．【详解】解：抛物线解析式化成交点式为，即，配成顶点式得，当时，二次函数有最小值为，所以①正确；当时，，当，，所以②错误；点的坐标为，点关于直线的对称点为，若，则或，所以③错误；由可知，，则可化为，，方程整理得：，解得，，所以④正确．所以①④正确．故选：B．3．（2023上·云南昆明·九年级云大附中校考期中）已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点．其对称轴为直线下列结论：①；②若点，均在二次函数图象上，则；③若关于x的一元二次方程没有实数根．则；④满足的x的取值范围为．⑤对于任意实数m，总有；其中正确结论的个数为（

）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据抛物线开口向下可得，根据抛物线的对称轴可推得，根据时，，即可得到，推得，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得，故②正确；将方程整理后，可得，利用根的判别式求解，可得，故③正确；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点，即可得到时，的取值范围，故④正确；根据当时，y有最大值，即对于任意实数m，总有，即，故⑤错误．【详解】①∵抛物线开口向下，∴．∵抛物线的对称轴为直线，∴，由图象可得时，，即，而，∴．故①错误；②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线．故当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，∵，，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，故，故②正确；③整理可得，若无实数根，则，∵，∴即，故③正确；④∵函数图象经过，对称轴为直线，∴二次函数必然经过点，∴时，的取值范围，故④正确；⑤由开口向下且对称轴为直线，可知当时，y有最大值，即对于任意实数m，总有，即，故⑤错误．综上，②③④正确，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置；常数项决定抛物线与轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、利用二次函数的性质比较四个字母的大小（共3小题）4．若关于x的方程2x2-3x+m=2023的解为x1，x2(x1<A．x1<x2<C．x3<x【答案】B【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的交点．数形结合是解题的关键．由题意设直线y=2023-m与抛物线y=2x2-3x交于A、B两点，直线y=2023-n与抛物线y=2x2-3x交于C、【详解】解：由题意知，2x2-3x=2023-m设直线y=2023-m与抛物线y=2x2-3x交于A、B两点，直线y=2023-n与抛物线y=2x2-3x交于C、∵m<n<0，∴2023-m>2023-n，如图，

∴x1故选：B．5．（2023上·浙江·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中，将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（

）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质和平移，分情况讨论：或，根据抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的关系．由对称轴得到抛物线与x轴交点的横坐标之间的数量关系是解题的关键．【详解】当时，如图所示：

由图象可得，∵抛物线，∴抛物线的对称轴为直线，∴，由∵，∴，，当时，如图所示：

由图象可得，∵抛物线∴抛物线的对称轴为直线，∴，．故选：A．6．（2023上·四川南充·九年级统考期中）若关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，且．则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的交点．数形结合是解题的关键．由题意设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，则分别为两点的横坐标，分别为两点的横坐标，然后数形结合比较横坐标的大小即可．【详解】解：由题意知，，，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，则分别为两点的横坐标，分别为两点的横坐标，∵，∴，如图，

∴，故选：B．三、二次函数与方程、不等式（共4小题）7．（2018·云南·统考中考真题）已知二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣9（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象与x【答案】（1）b=98c=3；（2）公共点的坐标是（﹣2，0）或（8【详解】【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣316x2+98【详解】（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣92）分别代入y=﹣316x2得c=3-解得b=9（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣316x2+98△=（98）2﹣4×（﹣316）×3=22564所以二次函数y=﹣316x2+bx+c的图象与x∵﹣316x2+98x+3=0的解为：x1=﹣2，x2∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．8．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-x+1的图象与x轴交于点A、点B．其中点A(1)求此二次函数的表达式．(2)直接写出点B的坐标为______．(3)当-2<x<1(4)当-2<y<1时，直接写出x的取值范围．【答案】(1)y=-2x(2)1(3)-5<(4)-3【分析】（1）把-1,0代入y=ax（2）y=-2x2-x+1中，令y=0（3）先求出抛物线的对称轴，然后分别求出x=-2、x=1、x=-14时对应的函数值，最后数形结合解答（4）把y=-2，x=-【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2-x+1∴0=a+1+1，解得a=-2，∴抛物线的表达式为：y=-2x（2）解：y=-2x2-x+1中，令y=0解得x1∴点B的坐标为12故答案为12（3）解：y=-2x抛物线的对称轴为x=-14，等x=-14时，y=当x=-2时，y=-2×当x=1时，y=-2×1∴当-2<x<1时，y（4）解：当y=-2时，-2=-2解得x=-32或当y=1时，1=-2x解得x=0或x=-1∴当-2<y<1时，x的取值范围是-3【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．9．（2023下·浙江宁波·八年级统考期末）如图，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点A

(1)求b，c的值；(2)结合图象，求当y>0时x的取值范围；(3)平移该二次函数图象，使其顶点为A点．请说出平移的方法，并求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】(1)b=2，c=3(2)-1<x<3(3)先向下平移4个单位，再向左平移2个单位；y=-【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由（1）得出抛物线解析式，在求出抛物线与x轴的交点，结合图象求出x的取值范围；（3）先确定顶点坐标，再利用点A和顶点的坐标特征确定平移的方向与距离，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】（1）解：把A(-1,0)，B(2,3)代入y=-x-1-解得b=2c=3∴b=2，c=3；（2）解：由（1）知，抛物线解析式为y=-x令y=0，则0=-x解得x=-1或x=3，∴当y>0时x的取值范围为-1<x<3；（3）解：∵y=-x∴抛物线顶点为(1,4)，∵A(-1,0)，∴将抛物线顶点(1,4)先向左平移2单位长度，再行下平移4个单位长度得到A(-1,0)，∴平移后抛物线的解析式为y=-(x+1)【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x10．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，二次函数y1=x2+mx+1的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y(1)求这个二次函数的解析式；(2)当y1随x的增大而增大且y1<(3)平行于x轴的直线l与函数y1的图象相交于点C、D（点C在点D的左边），与函数y2的图象相交于点E．若△ACE与△BDE【答案】(1)y(2)3(3)3【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）由函数图象直接得出结论即可；（3）根据A点和B点的坐标得出两三角形等高，再根据面积相等得出CE=DE，进而确定E点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，求出E点的坐标即可．【详解】（1）解：∵二次函数y1=x2+mx+1的图象与反比例函数y∴3解得m=-3，∴二次函数的解析式为y1（2）解：∵二次函数的解析式为y1∴二次函数对称轴为直线x=--3∴当x≥32，当y1又∵当反比例函数图象在二次函数图象上方时，0<x<3，∴当y1随x的增大而增大且y1<（3）解：由题意作图如下：在y1=x2-3x+1中，∴A0,1∵B3,1，CD∥x∴△ACE的CE边上的高与△BDE的DE边上的高相等，∵△ACE与△BDE的面积相等，∴CE=DE，即E点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，在y2=3x中，当x=∴E3【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的综合题，熟练掌握二次函数和反比例函数的图像及性质，三角形的面积，待定系数法求解析式等知识是解题的关键．四、二次函数的存在性问题（共6小题）11．（2023上·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0

(1)求抛物线表达式；(2)若点M是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BM、CM，求△BCM面积最大时点M的坐标；(3)若点D是x轴上的动点，点E是抛物线上的动点，是否存在以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)32(3)存在，(-3,0)，(2+7，0)，(2-【分析】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边形的判定与性质等，分类求解是解题的关键．（1）用待定系数法即可求解；（2）由△BCM面积=1（3）当AC为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当AD或AE为对角线时，同理可解．【详解】（1）解：将A（-1，0）、B∴a-b+c=09a+3b+c=0解得a=1b=-2∴抛物线表达式为：y=（2）解：过点M作MH∥y轴交BC于点

由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x-3，设点Hx,x-3，则点M则△BCM面积===3∵-3∴△BCM面积有最大值，∴此时点M的坐标为：32（3）解：设点D(x,0)、点E(m,m当AC为对角线时，由中点坐标公式得：-1=解得：m=2x=-3，(不合题意的值已舍去)则点D(-3,0)；当AD或AE为对角线时，同理可得：x-或-1+m=x解得：m=1±7x=2±7则点D的坐标为：(2+7，0)或(2-综上，点D的坐标为：(-3,0)或(2+7，0)或(2-12．（2019上·安徽合肥·九年级合肥一六八中学校考阶段练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过直线y=-x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C

(1)求此抛物线的解析式；(2)若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x(2)存在，点M的坐标为(0，3)或2，3或【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；（2）设M的坐标为(x，y)，由△ACM与△ABC的面积相等可得到y=3，求得y=3或y=-3，将y=3或y=-3代入抛物线的解析式求得对应的x【详解】（1）解：由题意得A(3将点A和点B的坐标代入得：c=3-9+3b+3=0解得：b=2，∴抛物线的解析式为y=-x（2）解：设M的坐标为(x，∵△ACM与△ABC的面积相等，∴1∴y当y=3时，-x解得x=0或x=2，∴M(2，3)或当y=-3解得:x=1+7或∴M1+7，综上所述点M的坐标为(0，3)或2，3或【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，求得点A和点B的坐标是解答问题（1）的关键，求得点M的纵坐标是解答问题（2）的关键．13．（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线P：y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象与抛物线Q：y=

(1)求抛物线P的表达式；(2)连接BC，点D为线段BC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线P的图象于点E，求线段DE长度的最大值；(3)如图②，在抛物线P的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-(2)DE最大值为9(3)M1，22或1【分析】（1）先求出抛物线Q与y轴、x轴的交点坐标，再由抛物线Q与抛物线P关于原点对称即可得点A、B、C坐标，即可求抛物线P；（2）设BC得表达式为y=mx+n，将点B、C代入得y=-x+3，设Da，-a+3，则E（3）对称轴与x轴交于点F，y=-x2+2x+3得对称轴为x=1，判断OM≠MB，分①OM=OB=3，【详解】（1）解：当x=0时，y=0+0-3=-3，∴抛物线Q与y轴的交点为0,-3，当y=0时，0=x解得：x=1或x=-3，∴抛物线Q与x轴的交点为1，∵抛物线Q与抛物线P关于原点对称，∴A-1将点A、C代入y=-x2+bx+c解得：b=2c=3∴y=-x（2）设BC的表达式为y=mx+n，将点B、C代入y=mx+n得3=0+n0=3m+n解得：m=-1n=3∴y=-x+3，设Da，-a+3DE=-a∴DE最大值为94（3）对称轴与x轴交于点F，∵y=-x2+2x+3∴OM≠MB，①当OM=OB=3时，△MOB是等腰三角形，MF=O∴M1，2②当BM=OB=3时，△MOB是等腰三角形，MF=B∴M1，5∴M1，22或1，【点睛】本题主要考查二次函数的应用、一次函数应用，勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．14．（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-2,0，B4，0，与y轴正半轴交于点C，且OC=2OA，对称轴交x轴于点E

(1)求抛物线及直线BC的函数表达式；(2)点F是直线BC上方抛物线上一点，是否存在点F使△FBC的面积最大，若有则求出点F坐标及最大面积；(3)连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP=tan【答案】(1)抛物线解析式y=-12x2(2)F的坐标为2,4；△FBC最大值为4(3)P点坐标为7，1【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；（2）过点F作FQ∥y轴，交BC于点Q，设点F的坐标为m,-12m2+m+4，点Q的坐标为m,-m+4，用m表示出△FBC的面积为S△FBC=-（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐标，代入y=-x+4即可．【详解】（1）解：∵A-2,0∴OC=2OA=4，C点坐标为0,4，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A-2,0，把0,4代入，得4=a(0+2)(0-4)，解得，a=-1抛物线解析式为y=-1即y=-1设BC的解析式为y=kx+n，把B4,0，0,4得0=4k+n4=n解得k=-1n=4∴BC的解析式为y=-x+4；（2）解：过点F作FQ∥y轴，交BC于点

设点F的坐标为m,-12m2+m+4∴FQ=-1∴S=-=-m-2∴当m=2时，S△FBC有最大值，且最大值为4此时点F的坐标为2,4；（3）解：由（1）得，tan∠EQP=∴EPQE作QM⊥DE于M，PN⊥DE于N，∵∠QEP=90°，∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，∴∠MQE=∠PEN，∴△MQE∽∴QMEN如图1，设P点坐标为m，则PN=m-1，EN=-12m2+m+4则Q点坐标为-m代入y=-x+4，得2-解得，m1=7把m1=7代入y=-故P点坐标为7，

如图2，设P点坐标为(m，同理可证得：△MQE∽∴QM∵PN=m-1，EN=-12∴EM=2m-2，MQ=-m则Q点坐标为m2代入y=-x+4，得2m-解得，m1=13把m1=13代入y=-故P点坐标为13，综上，P点坐标为7，12

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程．15．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴分别交于点A（-3，

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为CD右侧抛物线上的一个动点（点P与顶点D不重合），PQ⊥CD于点Q，当△PQD与△ACD相似时，求点P的坐标．【答案】(1)y-(2)点P的坐标为（1，【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出AC及CD的长，再设点P的坐标为m，-m2-2m+3m＞-1，求出DQ及【详解】（1）解：将点A（-3，9∴解得a=-1∴抛物线的解析式为y=-x（2）解：抛物线与x轴分别交于点A（∴抛物线的对称轴为直线x=-3＋∴AC=-1--3把x=-1代入y=-x2-2x∴CD=4．设点P的坐标为m，∴PQ⊥CD，∴Q点的坐标为（-1∴DQ=4--PQ=m-（①当△PQD∽△ACD时，PQ即m+1解得m1=-1（舍去），当m=1时，-m∴点P的坐标为（1②当△DQP∽△ACD时，DQ即m解得m1=-1当m=-12∴点P的坐标为-1∴点P的坐标为（1，0【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、直线与抛物线的交点坐标、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．16．（2022上·山东济宁·九年级统考期末）如图①，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交与A(1)求该抛物线的解析式；(2)设抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点M从B点以每秒43个单位长度沿BA方向向点A运动，同时，点N从C点以每秒2个单位沿CB方向向点B运动．设运动时间为t秒，当t为何值，以B，M，N为顶点的三角形与△OBC相似【答案】(1)y=-(2)存在，-1(3)97秒或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式确定点C0,3，设直线BC的解析式为：y=kx+t，确定一次函数解析式，连接BC，BQ，QC，AC，根据轴对称的性质及勾股定理得出当点B、Q、C三点共线时，有QB+QC最小，且为BC（3）根据题意分两种情况分析：①∠BMN=90°时，②∠【详解】（1）解：将A1,0、B有：-1+b+c=0-9-3b+c=0解得：b=-2c=3即抛物线解析式为：y=-x（2）解：存在，理由如下：令x=0，即有：y=3，则C点坐标为：C0,由y=-x2-2x+3设直线BC的解析式为：y=kx+t，代入C0,3、t=3-3直线BC的解析式为：y=x+3，如图，连接BC，BQ，QC，AC，∵A1,0、B∴AC=(1-0)∴△QAC的周长为：QA+AC+QC=QA+QC+10∵A、B两点关于抛物线对称轴对称，点Q在抛物线的对称轴x=∴QA=BQ，∴QA+QC+10即当点B、Q、C三点共线时，有QB+QC最小，且为BC，此时即可得到△QAC的周长最小，且为BC+10如图，∵点Q在抛物线的对称轴x=∴将x=-1代入直线BC有：y=x+3=-1+3=2，即Q点坐标为：-1,（3）在Rt△OBC中，BC=运动t秒时，BM=43①∠BMN=90°∵△MBN∽△OBC，∴BMOB解得t=9②∠BNM=90°∵△NBM∽△OBC∴BMBC=解得t=9综上所述，t为97秒或95时以B，M，N为顶点的三角形与【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短路径问题，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握二次函数的基本性质进行分类讨论是解题关键．五、抛物线的平移、旋转、对称（共3小题）17．（2023上·重庆开州·九年级统考期末）如图1，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0，B

(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求(3)如图3，将抛物线y=ax2+bx-3a≠0先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、【答案】(1)抛物线的解析式为y(2)当a=1时，(PM+QN)max=4(3)E-1,-2或5,-2或1,-3-【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设Pa,a2-2a-3，则Qa+1,a2（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把A-1,0和B3,0代入a-b-3=0∴抛物线的解析式为y=（2）解：设Pa,a2又l∴Ma,a-3，∴PM=-a2∴PM+QN=-2∴当a=1时，(PM+QN)∴Q2,-3（3）解：由题意可得：y'∴y'的对称轴为∵抛物线y=ax2+bx-3a≠0与∴C0,-3∵B3,0∴OC=OB=3,∠BCO=∠CBO=45°；如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴，∵D在y'的对称轴为x=2∴FD=2，∴CF=FD=2,OF=3+2=5,即点D2,-5∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到E5,-3

如图：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x=2与x轴交于F∵D在y'的对称轴为x=2∴FO=2，∴BF=3-2=1，∵∠CBO=45°，即∠DBO=45°，∴BF=FD=3-2=1,即点D2,1∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E-1,-2

如图：当BC为矩形对角线时，设D2,d，E∴BC的中点F的坐标为32∴2+m2=又∵DE=BC,∴2-12+d-n联立d-n=±17d+n=3，解得：∴点E的坐标为1,-3-172

综上，存在E-1,-2或5,-2或1,-3-172或1,-3+172使以点B【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．18．（2021上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A2,0、B两点，与y轴交于点C，顶点D的坐标为4,-2

(1)求抛物线的解析式；(2)已知直线l：y＝34x与抛物线交于E、F两点（点E在F的左侧），点G为线段EF上的一个动点，过G作y轴的平行线交抛物线于点H，求GH+GF(3)在（2）的条件下，如图2，若点G是OF的中点，将△OBG绕点O旋转，旋转过程中，点B的对应点为B'、点G的对应点为G'，将抛物线沿直线AF的方向平移（两侧均可），在平移过程中点D的对应点为D'，在运动过程中是否存在点B'和点D'关于△ABF的某一边所在直线对称（B【答案】(1)y=(2)当m=78时，GH+GF(3)存在，B'17-1,17+1【分析】（1）设抛物线顶点式，代入点的坐标即可求解；（2）设G(4m,3m)，求出GH+GF关于（3）分为B'与D'关于AF，BF，AB对称三种情形，设【详解】（1）设抛物线解析式为y=ax-4把x=2，y=0代入，得：4a-2=0，∴a=1∴y=1（2）设Fx∴1∴x=8，∴F(8,设G(4m,∴H∴GH=3m-124m-4∴GH+GF=-8m∴当m=78时，GH+GF最大=81（3）A(2,∴设直线AF的解析式为y=kx+b，把A(2,0)解得，k=1∴直线AF：同理可求直线BD：y=x-6，直线AD：若B'与D'关于AF对称，如图

∴BI=DI=AD=2在等腰Rt△IJB'∴JB=AB=4，设B'∴Jk=AK=a-2，∴b=KB由OB'=6∴a=17-1或∴B'17-1

②当B'与D'关于AB对称时，如图∴直线BB∴B'∴x2∴x=0，或x=6（舍去）∴B'③当B'与D'关于BF对称时，如图

设B'∴a2∵B'∴k∴直线B'D的函数关系式是：设D'∴13∴4x=a+3b+18，∵Px+a∴3×x+a∴2x=30-3a+b，∴4x=a+3b+18∴7a+b=42，∴a∴50a∴a1=14425∴B'综上所述B'17-1,17+1【点睛】本题考查了以二次函数为背景下求二次函数的最值，结合图形的旋转、翻折（对称）、平移求满足一定条件下的点的坐标，解决问题的关键是设点的坐标，根据条件列出方程组．19．（2023下·广西·八年级南宁十四中校考期末）如图1，抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A-2,0，B4,0

(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的−个动点，使△PBC的面积等于△ABC面积的14，求点P(3)过点C作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象（如图2），请你结合新图象解答：当直线y=-12x+d与新图象只有一个公共点Q【答案】(1)抛物线的解析式为y=-1(2)点P的坐标为1，92(3)当-5≤d<4或d>418时，直线y=-12x+d【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC的解析式，求得作PQ∥y交直线BC于点Q，设Px，-12（3）分当直线y=-12x+d【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A∴4a-2+c=016a+4+c=0，解得a=-∴抛物线的解析式为y=-1（2）解：当x=0时，y=4，∴C0∴△ABC的面积=1∵B4,0，C设直线BC的解析式为y=kx+4，∴0=4k+4，解得k=-1，∴直线BC的解析式为y=-x+4，作PQ∥y交直线BC于点

设Px，-∴PQ=-1由题意得：12解得x1=1，∴点P的坐标为1，92（3）解：当直线y=-12x+d当n=-8时，则-8=-1解得x1=-4（舍去），∴Q6，-8，代入y=-解得d=-5，当直线y=-12x+d经过点C解得d=4，∴当-5≤d<4时，直线y=-12x+d与新图象当直线y=-12x+d解方程组y=-12x+d由题意得Δ=9-42d-8=0∴当d>418时，直线y=-12x+d综上，当-5≤d<4或d>418时，直线y=-12x+d【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，以及与二次函数相关的新函数的图象性质，通过数形结合的方法找到图象交点的特殊位置是解题的关键．六、利用二次函数求最短路径（共3小题）20．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期末）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,0，B3,0

(1)填空：b=___________，c=___________；(2)求直线BC的解析式；(3)将抛物线y=x2+bx+c位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方，得到如图2所示的新图像，平移直线BC得到函数y=mx+n，当直线y=mx+n【答案】(1)-4；3(2)y=-x+3(3)n=3或n=【分析】（1）将A1,0，B3,0两点，代入y=x2+bx+c（2）用待定系数法求值BC的解析式即可；（3）分两种情况，当直线y=mx+n过点B或直线y=mx+n与抛物线y=-x-22+1【详解】（1）解：将A1,0，B3,0两点，代入1+b解得：b=-4c=3故答案为：-4；3．（2）解：抛物线解析式为y=x把x=0代入y=x2-4x+3∴点C的坐标为0,3，设直线BC的解析式为y=kx+b把B3,0，C3k解得：k=-1b∴直线BC的解析式为y=-x+3．（3）解：∵直线y=mx+n由直线BC平移得到，∴m=-1，抛物线y=x2-4x+3=x-22-1y=-x-2如图，当直线y=mx+n过点B或直线y=mx+n与抛物线y=-x-22+1

当直线y=mx+n过点B时，把B3,0代入y=-x+n-3+n=0，解得：n=3；当直线y=mx+n与与抛物线y=-x-2联立y=-x+ny=--x+n=-x-2整理得：x2Δ=解得：n=13综上分析可知，n=3或n=13【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解题的关键是熟练直线的平移特点，数形结合，注意分类讨论．21．（2023上·山西大同·九年级统考期末）综合与探究：如图，抛物线y=38x2-34x-3与x轴交于

(1)求点A,B,C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PA+PC的值最小．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求点N的坐标．【答案】(1)A-2,0,B(2)存在，P(3)N【分析】（1）令y=0，求出x的值，得到点A，B的坐标．令x=0，求出y的值，得到点C的坐标；（2）由点A，B的坐标可得抛物线对称轴为直线x=1，连接BC，与对称轴相交于点P，则点P为所求．利用待定系数法求出直线BC的解析式，再令x=1，即可得到点P（3）根据三角形的面积公式可得S△NAB=S△ABC=9，即12AB⋅yN=9，从而得到点N的纵坐标yN【详解】（1）在抛物线y=3当y=0时，38解得x1∴A-2,0当x=0时，y=∴C0,-3（2）由题可知，抛物线经过点A-2,0由抛物线的对称性可知，对称轴为直线x=1．设直线BC与抛物线的对称轴交于点P，则PA=PB，此时PA+PC=PB+PC=BC为最短，∴点P即为所求．设直线BC的解析式为y=kx+b，把点B4,0,C解得k=3∴y=3当x=1时，y=3∴P1,-（3）∵A-2,0，B4,0∴AB=6，CO=3，S∴S△NAB=∴yN∴yN=3或当yN=3时，解得x1∴N1当yN=-3时，解得x3∵C0,-3∴N3综上所述，点N的坐标为N【点睛】本题考查抛物线与几何问题，最短路径问题，熟练运用相关的知识是解题的关键．22．（2020上·浙江杭州·九年级期末）如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【答案】（1）y=x22x3，（1，4）；（2）M（1，2）【分析】（1）把A的坐标代入函数的解析式，即可求得b的值，然后利用配方法即可求得顶点坐标；（2）直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，BC的长就是最小值．【详解】解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=x2+bx3上，∴b=2，∴抛物线解析式y=x22x3，∵抛物线y=x22x3=（x1）24，∴顶点D的坐标（1，4）；（2）对于y=x22x3，当x=0时，y=3，∴C（0，3），当y=0时，0=x22x3，解得：x=3或1，∴B（3，0），由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴连接BC交函数的对称轴于点M，此时AM+CM=BC为最小值，而AC的长度是常数，故此时△ACM的周长最小，设直线BC的表达式为y=mx+n，则0=3m+nn=-3解得：m=1n=-3故直线BC的表达式为y=x3，当x=1时，y=2，故点M（1，2）．【点睛】本题考查了利用配方法确定二次函数的顶点坐标以及对称点的作法，正确确定直线BC与抛物线的对称轴的交点就是使CM+AM取得最小值的M的点，是本题解题的关键．七、由实际问题抽象出二次函数模型（共3小题）23．（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）火流星过山车是倍受人们喜爱的经典娱乐项目．如图所示，F→E→G为火流星过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中OE=4米，OF=8米（轨道厚度忽略不计）．

(1)直接写出抛物线F→E→G的函数关系式；(2)在轨道距离地面4.5米处有两个位置P和G，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，又进入下坡段K→H（K接口处轨道忽略不计，点H为轨道与地面交点）．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，在G到Q的运动过程中，求OH的距离；(3)现需要在轨道下坡段F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架AM、CM、BN、DN，且要求OA=AB．已知这种材料的价格是80000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少元？【答案】(1)抛物线F→E→G的函数关系式为y=(2)OH的距离为15米(3)当OA=AB=95时，造价最低，最低造价为【分析】（1）根据题意，由OE=4，OF=8，得到E4,0（2）先求出P，G坐标，再求出PG长度，当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，即可知GK=5，再通过抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，即可得结论；（3）先设出A，B横坐标，再代入解析式，分别求出M，N的纵坐标，然后求出AM，CM，BN，DN之和的最小值，从而求出最低造价．【详解】（1）解：∵OE=4，OF=8，∴E4,0∴由图像可设抛物线解析式为y=ax-4把F0,8代入y=ax-42得8=a∴抛物线F→E→G的函数关系式为y=1（2）解：当y=4.5时，92=12x-4∴P1,92，G∵当过山车运动到G处时，平行于地面向前运动了5米至K点，∴GK=5，∵抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，如图所示：

∴YH=BE=1∴OH=OX+GK+YH=7+5+3=15，即在G到Q的运动过程中，求OH的距离15米；（3）解：设OA=AB=a，则A(a,0)，B(2a,0)，∴yM=1∴AM+CM+BN+DN====5∵5∴开口向上，∴当a=95时，AM+CM+BN+DN最短，最短为∴8000×7910=63200∴当OA=AB=95时，造价最低，最低造价为【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、函数求值及求二次函数最值等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．24．（2020·浙江·九年级期末）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A32,(1)求抛物线C1(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？【答案】(1)y=-1(2)最大高度未达到要求，理由见解析；(3)1.75米．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线C1（2）将抛物线C1表达式化为顶点式，得到顶点坐标1,（3）由（1）可知，a=-12，得到抛物线C3表达式为y=-x2+bx，进而得到对称轴为直线x=b2，顶点坐标为b2,b【详解】（1）解：∵抛物线C1表达式为y=ax2∴3解得：a=-1∴抛物线C1的函数表达式为：（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：由（1）得，抛物线C1的函数表达式为y=-∵y=-1∴抛物线C1的顶点坐标为1,∵O处离地面的距离为1米，∴球在运动中离地面的最大高度为1+1∴最大高度未达到要求；（3）解：由（1）可知，a=-1∵抛物线C3表达式为y=-∴对称轴为直线x=b2，顶点坐标为∵球在运动中离地面的最大高度达到要求，∴b∴b≥2或b≤-2，∵对称轴在x轴负半轴，∴b<0，∴b≤-2，∵点B的横坐标为-3∴y∴当b=-2时，yB有最小值，最小值为-∴点B离地面的高度至少为1+3【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．25．（2023上·江苏南京·九年级统考期末）某塑料大棚如图①所示，其截面如图②，其中曲线部分可近似看作抛物线形，现测得AB=6m，最高点D到地面AB的距离为2.5m，点D到墙BC的距离为1m【答案】2.4m【分析】建立合适的直角坐标系，由题意可得出点A与点D的坐标，利用待定系数法求解抛物线解析式，再代入求出点C的坐标即可．【详解】解法一：过点D作DO⊥x轴，垂足为O建立如图所示的平面直角坐标系．根据题意，有DO=2.5m∵AB=6m∴A(-5,0)，∵该抛物线的最高点D的坐标是(0,2.5)，∴可设该二次函数的表达式为y=ax∵该二次函数的图像与x轴的交点坐标是A(-5,0)，∴0=(-5)2a+2.5∴该二次函数的表达式为y=-0.1x将x=1代入，得y=-0.1×1所以墙高BC为2.4m．解法二：建立如图所示的平面直角坐标系．过点D作DE⊥x轴，垂足为E．根据题意，有DE=2.5m∵AB=6m∴AE=AB-EB=6-1=5m∴A(0,0)，∵该抛物线的最高点D的坐标是(5,2.5)，∴可设该二次函数的表达式为y=a(x-5)∵该二次函数的图像与x轴的交点坐标是A(0,0)，∴0=a(-5)2+2.5∴该二次函数的表达式为y=-0.1(x-5)将x=6代入，得y=-0.1×(6-5)所以墙高BC为2.4m．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，建立合适的直角坐标系以及熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．八、根据二次函数特征求参数取值范围（共3小题）26．（2022上·吉林长春·九年级期末）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．(1)该二次函数图象的对称轴是直线；(2)若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为112，求点M和点N(3)已知线段PQ的两个端点坐标分别为P（0，﹣4）、Q（3，﹣4），当此函数图像与线段PQ只有一个交点时，直接写出a的取值范围．(4)对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2≥3时，y1≥y2恒成立，设t≤x1≤t+1，请结合图象，直接写出t的取值范围【答案】(1)x=1；(2)M(5,11(3)a=2或a≤-2(4)-1≤t≤2【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）根据抛物线顶点坐标及x的取值范围可得顶点（1，a2）为图象最低点N，最高点M（5，15a2），由点M的坐标为112（3）通过二次函数解析式可得抛物线经过定点（0，2），然后分类讨论：a>0与a<0求解．（4）由x2≥3时，y1≥y2恒成立可得抛物线开口向下，则x=3时，y2取最大值，直线x=3关于对称轴为直线x=1，所以1≤x1≤3，进而求解．【详解】（1）y＝ax2﹣2ax﹣2=a（x1）2a2，∴函数的对称轴为直线x=1，故答案为：x=1；（2）解：∵y=a（x1）2a2，∴抛物线顶点坐标为（1，a2），∵抛物线开口向上，∴a>0，顶点（1，a2）为图象最低点N，∵51>1（1），∴直线x=5与抛物线交点为最高点M，把x=5代入代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：y=15a2，∴M（5，15a2），∵点M的坐标为112∴15a-2=11∴a=1∴M(5,11（3）解：y=ax22ax2=ax（x2）2，∴当x=0或x=2时，y=2，∴抛物线经过定点（0，2），（2，2），当a>0时，抛物线开口向上，如图，当顶点（1，a2）落在PQ上时，满足题意，此时a2=4，解得a=2，当a<0时，抛物线开口向下，∵抛物线经过定点（0，2），∴抛物线不经过点P，如图，当抛物线经过点Q时，将（3，4）代入y=ax22ax2，得：4=3a2，解得：a=-2∴a=2或a≤-2（4）解：当x2≥3时，y1≥y2，即抛物线开口向下，点A（x1，y1）在点B（x2，y2）上方，∴点A到对称轴距离小于等于点B到对称轴距离，∵抛物线对称轴为直线x=1，∴x=3时，y2取最大值，直线x=3关于对称轴对称后为直线x=1，∴-1≤x∵t≤x1≤t+1，∴-1≤tt+1≤3∴-1≤t≤2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合方法求解．27．（2020上·浙江杭州·九年级期末）已知二次函数y=x2+2n-mx-2mn（1）求m，n之间的关系式；（2）记该函数与y轴的交点为C0,c，求c（3）若点a,y1和点a+2,y2均落在该函数的图象上，若要满足【答案】（1）m2n=10；（2）25；（3）a＜3或3＜a＜4【分析】（1）根据二次函数解析式得到对称轴，再根据经过的两点的坐标得到对称轴，即可得到关于m和n的关系式；（2）令x=0，结合m=2n+10，得到c=-4n+52（3）分两点均在对称轴的左侧，两点在对称轴的两侧以及两点均在对称轴的右侧，三种情况，结合二次函数的性质进行讨论．【详解】解：（1）∵y=x∴对称轴为直线x=-b∵二次函数经过（n+3，t）和（7n，t），∴对称轴为直线x=n+3+7-n2=5∴m-2n2∴m2n=10，∴m，n的关系为m2n=10；（2）由（1）可知：m2n=10，∴m=2n+10，令x=0，∴y=-2mn=-2×2n+10∴c=-4n+当n=-52时，c的最大值为（3）由（1）得：对称轴为直线x=5，∵a=1＞0，则开口向上，若点a,y1和点∴x≤5时，y随x的增大而减小，若y1>y2，则a＜a解得：a＜3；若点a,y1和点则a,y1关于x=5对称点为若要y1>y2，在对称轴的右侧，∴10a＞a+2＞5，解得：3＜a＜4．若点a,y1和点∴x≥5时，y随x的增大而增大，若y1>y2，则a＞a综上：a＜3或3＜a＜4．【点睛】本题是二次函数综合题，涉及二次函数的基本性质，以及函数的最值，解题的关键是熟练掌握函数基本性质，结合图像，分类讨论解答．28．（2019上·全国·九年级统考期末）抛物线y=ax2（1）求a、b的取值范围；（2）若与x轴交于(a-1, 0)，且顶点在y=-ax上，求a、b的值．【答案】（1）a>0，b≥0；（2）a=1，b=0或a=7，b=6或a=13，b=6．【分析】(1)将抛物线解析式转化为两点式方程,根据题意得到:抛物线与x轴的两个交点在y轴的右侧且开口方向向上;(2)分类讨论:b=0和b≠0两种情况,将抛物线的顶点坐标代入直线y=ax可以求得a、b的值.【详解】解：（1）由抛物线得y=a(x-b)(x-2b)，可见其与x轴必有交点，且在y轴同侧，∵不经过第三象限，∴开口必然向上，与x轴必有交点且在同侧，∴a>0，ab≥0，∴a>0，b≥0；（2）①若b=0，则a=1，其顶点为(0, 0)，该顶点在y=-x上，所以成立；②若b>0，顶点(3b2, -∴-a解得b=6，∵由（1）得，抛物线的解析式为y=a(x-b)(x-2b)，∴a-1=b=6或a-1=2b=12，∴a=7或13．综上，a=1，b=0或a=7，b=6或a=13，b=6．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系.解答该题需要熟悉二次函数图象的性质,抛物线顶点坐标公式和一次函数图象上点的坐标特征.九、二次函数与动点问题（共3小题）29．（2023上·广东汕头·九年级校联考期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于B、C两点（点B在左，点C在右），交y轴于点A，且OA=OC

图1

图2

图3(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2，点D为抛物线的顶点，连接CD，点P是抛物线上－一动点，且在C、D两点之间运动，过点P作PE∥y轴交线段CD于点E，设点P的横坐标为t，线段PE长为d，写出d与t的关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BD，在BD上有一动点Q，且DQ=CE，连接EQ，当∠BQE+∠DEQ=90°时，求此时点P的坐标．【答案】(1)y=-(2)d=-(3)P【分析】（1）由OA=OC且OA=3知C3，0（2）待定系数求出直线CD解析式y=-2x+6，据此可得Et，-2t+6（3）先利用等腰三角形性质知∠BDK=∠CDK，由∠BQE=∠QDE+∠DEQ、∠BQE+∠DEQ=90°得2∠CDK+2∠DEQ=90°，即∠RNE=45°，从而得出QM=ME，再证△DQT≌△ECH得DT=EH、QT=CH，从而用含t的式子表示出QM、【详解】（1）解：当x=0时，则y=3，∴A0，3∵OA=OC，∴OC=3，∴C3∵抛物线y=ax2+bx+3经过点∴a-b+3=09a+3b+3=0解得：a=-1b=2∴抛物线的解析式为：y=-x（2）解：如图1，延长PE交x轴于点H，∵y=-x∴D1设直线CD的解析式为y=kx+b，将点C3，0得：k+b=4解得：k=-2b=6∴y=-2x+6，∴E∴PH=-t2+2t+3∴d=PH-EH=-t（3）解：如图，作DK⊥OC于点K，作QM∥x轴交DK于点T，延长PE、EP交OC于H、交QM于M，作ER⊥DK于点R，记QE与DK的交点为∵D1，4，B∴BK=2，KC=2，∴DK垂直平分BC，∴BD=CD，∴∠BDK=∠CDK，∵∠BQE=∠QDE+∠DEQ，∠BQE+∠DEQ=90°，∴∠QDE+∠DEQ+∠DEQ=90°，即2∠CDK+2∠DEQ=90°，∴∠CDK+∠DEQ=45°，即∠RNE=45°，∵ER⊥DK，∴∠NER=45°，∴∠MEQ=∠MQE=45°，∴QM=ME，∵DQ=CE，∠DTQ=∠EHC，∠QDT=∠CEH，∴△DQT≌△ECH∴DT=EH，QT=CH，∴ME=4-2-2t+6QM=MT+QT=MT+CH=t-1+3-t4-2-2t+6解得：t=5∵P∴把t=52代入-∴P5【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，二次函数的图象性质以及求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．30．（2022上·云南红河·九年级统考期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4a≠0的图象交x轴于点A1,0

(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；(3)直线x=m（不经过点B,C）分别交直线BC和抛物线于点M、N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出【答案】(1)y=(2)△BCP的面积最大值为8(3)m的值为2或1或2或-【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）由题意得C0,4，设直线BC的解析式为y=kx+n，求出直线BC的解析式，过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D、交AB于点E，设Pt,t2-5t+4，则Dt,-t+4，得到（3）依题意Mm,-m+4,Nm,m2-5m+4，B4,0，利用勾股定理得到BM2=2(4-m)2，BN【详解】（1）解：将点A1,0,B4,0∴a+b+4=0解得a=1b=-5∴y=x2（2）解：令x=0，则y=4，∴C0,4设直线BC的解析式为y=kx+n，∴4k+n=0解得k=-1n=4∴y=-x+4，过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D、交AB于点E，

设Pt,t2∴PD=-t+4∵S△BCP∴S∴当t=2时，△BCP的面积最大值为8；（3）解：依题意Mm,-m+4∵B4,0∴BM2=2(4-m当BM=BN时，2(4-m)解得m=0（舍）或m=2；当MB=MN时，2(4-m)解得m=±2当BN=MN时，(4-m)2解得m=1；综上所述：m的值为2或1或2或-2【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了求函数的解析式，二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．31．（2022上·河北保定·九年级统考期末）已知抛物线y=-x2+bx+c如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A-1，

(1)求抛物线对应的函数表达式及与x轴的另一个交点B的坐标．(2)根据图象回答：当x取何值时，y<0．(3)在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2(2)x<-1或x>3(3)PA+PC的最小值为32，此时【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即可；（2）根据函数图象即可得到答案；（3）如图所示，连接BC，PB，由抛物线的对称性可得PB=PA，则当P、B、C三点共线时，PC+PB最小，即PA+PC最小，最小值为BC，求出抛物线对称轴为直线x=1，OC=OB=3，则BC=OC2+OB【详解】（1）解：把A-1，0，C0，∴b=2c=3∴抛物线解析式为y=-x在y=-x2+2x+3中，当y=-x2∴B3（2）解：∵抛物线开口向下，且与x轴的两个交点坐标分别为-1，∴当y<0时，x<-1或x>3；（3）解：如图所示，连接BC，由抛物线的对称性可得PB=PA，∴PA+PC=PB+PC，∴当P、B、C三点共线时，PC+PB最小，即∵抛物线解析式为y=-x∴抛物线对称轴为直线x=1，∵B3∴OC=OB=3，∴BC=O∴PA+PC的最小值为32设直线BC解析式为y=kx+b∴3k+b∴k=-1b∴直线BC解析式为y=-x+3，在y=-x+3中，当x=1时，y=2，∴P1∴PA+PC的最小值为32，此时P

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式中，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．十、利用相似三角形的性质与判定求长度（共2小题）32．（2019上·江苏南通·九年级南通田家炳中学校考期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=mm>1，点E是AD边上一定点，且AE=1(1)当m=3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度．(2)对于每一个确定的m的值AB上存在几个点F使得△AEF与△BCF相似?【答案】(1)AF=1或3；(2)当1<m<4且m≠3时，有3个；当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m>4时，有1个．【分析】（1）分△AEF∽△BFC和△AEF∽△BCF两种情形，分别构建方程即可解决问题；（2）根据题意画出图形，交点个数分类讨论即可解决问题；【详解】解：（1）当∠AEF=∠BFC时，要使△AEF∽△BFC，需AEBF=AF解得AF=1或3；当∠AEF=∠BCF时，要使△AEF∽△BCF，需AEBC=AF解得AF=1；综上所述AF=1或3．（2）如图，延长DA，作点E关于AB的对称点E′，连结CE′，交AB于点F1；连结CE，以CE为直径作圆交AB于点F2、F3．当m=4时，由已知条件可得DE=3，则CE=5，即图中圆的直径为5，可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离为2.5，等于所作圆的半径，F2和F3重合，即当m=4时，符合条件的F有2个，当m＞4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在，即此时符合条件的F只有1个，当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个，综上所述：当1＜m＜4且m≠3时，有3个；

当m=3时，有2个；当m=4时，有2个；当m＞4时，有1个．【点睛】本题考查作图相似变换，矩形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．33．（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，AB=4，BC=6，

【答案】3【分析】如图，过O作OG∥CD，交BC于G，则△BOG∽△BDC，OGCD=BGBC=BOBD，由平行四边形的性质可得OG4=BG6【详解】解：如图，过O作OG∥CD，交BC于G，

∴△BOG∽△BDC，∴OGCD∵▱ABCD，∴OG4=BG6=∴CG=3，∵OG∥CD，∴∠OFG=∠EFC，∵∠OFG=∠EFC，∠OFG=∠EFC，OG=2=CE，∴△OFG≌△EFCAAS∴CF=FG=1∴CF的长为32【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．一十一、利用相似三角形的性质与判定求面积（共2小题）34．（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）如图，图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．

(1)如图1，当点E为AB的中点时，请在AD上找到一点P（点P在小正方形的顶点上且不同于点F），连接EP，CP，使得△EPC为Rt△，且∠EPC=90°(2)请在图2中以EG为一边画矩形EGMQ（非正方形），使点M、Q均在小正方形的顶点上并直接写出矩形EGMQ的面积．【答案】(1)答案见解析(2)图见解析，10【分析】（1）根据小正方形对角线平分直角即可得解；（2）根据相似三角形对应角相等即可找出矩形，利用勾股定理即可求出矩形的边长，进而求出面积．【详解】（1）解：如图所示，∠APE=∠DPC=45°，∠EPC=90°，△EPC为直角三角形．

（2）解：如图所示，

∵AGEB=∴△AEG∼△BQE，∴∠AEG=∠BQE，∵∠BQE+∠BEQ=90°∴∠AEG+∠BEQ=90°，∴∠GEQ=90°，同理可得∠EGM=∠GMQ=∠MQE=∠GEQ=90°，则四边形EGMQ为矩形，∵EG=12+∴SEGMQ【点睛】本题考查了方格纸中的作图、勾股定理、相似三角形性质与判定的应用，掌握相关知识是解题关键．35．（2023上·河南周口·九年级统考期末）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AE交BD于点

(1)若BD=24cm，求OF(2)若S△BEF=6cm【答案】(1)OF=4(2)72【分析】（1）首先根据平行四边形的对角线互相平分，得出OB=12BD=12，再证明OE∥AB,OE=12（2）首先证明△BEF∽△DAF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出s△DAF=4S△BEF，又BF:FD=1:2，根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出S△ABF【详解】（1）如图，连接OE，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，OB=1在▱ABCD中，∵点E是BC的中点，点O是AC的中点，∴OE∥AB,OE=∴△OFE∽△BFA，∴OF∴OF=1∴OF=1（2）∵BE:DA=BF:DF，∠EBF=∠ADF∴△BEF∽△DAF，∴S∵Ss△又BF:FD=1:2，∴S∴S∴S【点睛】本题主要考查了平行四边形性质、三角形中位线性质及相似三角形的判定及性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质．一十二、利用相似三角形的性质与判定解决动点问题（共3小题）36．（2023上·山东青岛·九年级莱西市第四中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动t秒(0<t<5)后，四边形ABQP的面积为S平方米．(1)当t为何值时，PQ垂直BC？(2)求面积S与时间t的函数关系式；(3)在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，直接写出此时点P的位置；若不能，请说明理由；(4)若△PQC为等腰三角形，直接写出t的值【答案】(1)t=(2)S=(3)不能，理由见解析(4)t的值为103秒或259秒或【分析】（1）当AB⊥BC时，△CPQ∽△CAB，然后根据相似三角形的性质求解；（2）过点P作PE⊥BC于E，利用勾股定理求出AC的长，AP=2t，CQ=t，则PC=10-2t，又PE∥AB，根据平行线分线段成比例列出比例式即可得出PE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（3）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则S△PCQ（4）有三种情况：①PC=QC，②PQ=QC，③PQ=PC，代入得出关于t的方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：当PQ⊥BC时，如图，在矩形ABCD中，∵AB⊥BC,∴AB∥PQ,∴△CPQ∽△CAB,∴CP在Rt△ABC中，AB=6，BC=8∴AC=A∴CQ=t，CP=10-2t，即10-2t10解得：t=40∴当t=4013时，PQ垂直（2）过点P作PE⊥BC于E．Rt△ABC中，AC=AB由题意知：AP=2t，CQ=t，则PC=10-2t由AB⊥BC，PE⊥BC得PE∥AB∴PEAB即：PE6∴PE=3又∵S∴S=S即：S=3（3）假设四边形ABQP与△CPQ的面积相等，则有：3即：t∵∴方程无实根∴在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积不能相等．（4）①当PC=QC时，有t=10-2t，t=10②当PQ=QC时，有12(10-2t)t③当PQ=PC时，有12t10-2t所以，当t为103秒、259秒、8021【点睛】本题主要考查对等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，二次函数的关系式，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．37．（2019上·广东佛山·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为20,0和0,15，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线

(1)求t=9时，△PEF的面积；(2)直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时(3)当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【答案】(1)36(2)不存在，理由见解析(3)当t=6s或t=8011s时，【分析】（1）由于EF//x轴，则S△PEF=12⋅EF⋅OE,t=9时，OE=9，关键是求EF.易证△BEF∽△BOA，则EF（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．即可得解．【详解】（1）∵EF//OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EF当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，BE=OB-OE=15-9=6，∴EF=20×6∴S（2）不存在．理由：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE⋅OA∴1整理，得t2∵△=15∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA=解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB=解得t=80∴当t=6s或t=8011s时，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．38．（2022上·安徽·九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线BD所在的直线是y=12x+1，函数y=kx在第一象限内的图象与对角线BD交于点E2，n，与边

(1)求k的值；(2)设P是线段BD上的点，且满足以C、D、P为顶点的三角形与△DEF相似，求点P的坐标；(3)若M是边AD上的一个动点，将△ABM沿BM对折成△NBM，求线段DN长的最小值．【答案】(1)k=4(2)点P的坐标为1，3(3)DN的长的最小值为35【分析】（1）将点E2，n代入y=（2）过点E作EG⊥DF于点G，过点P作PH⊥DC于点H，过点F作FN⊥DE于点N，连接EF、PC，分△DEF∽△DPC和（3）当点N在线段BD上时，DN的长最小，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵点E2，n∴n=1将点E2，2代入y=解得k=4；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴点D的横坐标与F的横坐标相同都是4，当x=4时，y=1∴点D4，3，由（1∵点F4，m也在函数∴m=44=1如图所示，过点E作EG⊥DF于点G，过点P作PH⊥DC于点H，过点F作FN⊥DE于点N，连接EF、

则DF=3-1=2，DG=3-2=1，GF=2-1=1，在△DEF中，EG⊥DF，且DG=GF，∴△DEF为等腰三角形，ED=EF，∴以C、D、P为顶点的三角形与△DEF相似有2种情况．∵G(4，2)，E(2，∴在Rt△EFD中，ED=又∵△DEF的面积为2，∴S解得NF=4设点P的坐标为x，①当△DEF∽△DPC时，DFDC即23=2则x=1，将x=1代入y=12∴点P的坐标为1，②当△DEF∽△DCP时，DEDC即53=4则x=4-125=85，将x=∴点P的坐标为85综上所述，点P的坐标为1，32（3）解：对于y=1当y=0时，0=1解得x=-2，则B-2，0∴BC=4-(-2)=6，由勾股定理得DB=B由折叠的性质知BN=BA=3，当B、N、D构成三角形，ND>BD-BN，∴当点N在线段BD上时，DN的长最