专题34反比例函数中的矩形和菱形（原卷版）

专题34反比例函数中的矩形和菱形1．（江苏省淮安市涟水县20212022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．(1)求点A和点C的坐标；(2)如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；(3)在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．（江苏省苏州市姑苏区草桥中学20202021学年八年级下学期期末数学试卷）如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于、两点，交x轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x的取值范围是什么？（3）若点P在x轴上，点Q在坐标平内面，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形时，求出点P的坐标．3．（江苏省淮安市洪泽区20212022学年八年级下学期期末数学试题）如图1，一次函数的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点，点C是线段AB上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，与x轴交于点H，连接OC、OD．(1)一次函数表达式为_________；反比例函数表达式为_______；(2)在线段CD上是否存在点E，使点E到OD的距离等于它到x轴的距离？若存在，求点E的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将沿射线BA方向平移一定的距离后，得到．①若点O的对应点恰好落在该反比例函数图像上（如图2），求出点、的坐标；②如图3，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，若以、、F﹑Q为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标．4．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数的图像与正比例函数的图像交于点A、点C，与正比例函数的图像交于点B、点D，设点A、D的横坐标分别为s，t()．(1)如图1，若点A坐标为(2，4)．①求m，k的值；②若点D的横坐标为4，连接AD，求△AOD的面积．(2)如图2，依次连接AB，BC，CD，DA，若四边形ABCD为矩形，求mn的值．(3)如图3，过点A作轴交CD于点E，以AE为一边向右侧作矩形AEFG，若点D在边GF上，试判断点D是否为线段GF的中点？并说明理由．5．（江苏省连云港市东海县20212022学年八年级下学期期末数学试题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，两点，分别连接，．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)请根据函数图像的轴对称性，直接写出点的坐标为____________，当，则自变量的取值范围是______________；(3)在平面直角坐标系内，是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022春·四川遂宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．(1)求反比例和一次函数解析式．(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．7．（江苏省淮安市淮阴区20212022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．8．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点A的坐标为，点B的横坐标为6．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连结，求的面积；（3）若点C在x轴上，D点在坐标平面内，是否存在点C，使得以为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点D的坐标；求出点的坐标；若不存在，请说明理由．9．（江苏省扬州市邗江区20212022学年八年级下学期期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点．(1)点D的坐标为______，点E的坐标为______；(2)动点P在第一象限内，且满足①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，D是BC边上的一点，OC：CD＝5：3，DB＝6．反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D，交AB于点E，AE：BE＝1：2．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）动点P在矩形OABC内，且满足S△PAO＝S四边形OABC．①若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；②若点Q是平面内一点使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形求点Q的坐标．11．如图，四边形ABCO是平行四边形，且点C（－4,0），将□ABCO绕点A逆时针旋转得到□ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A，D在反比例函数y=的图像上.（1）填空：∠AOF=°，k=；（2）点G为x轴上一点,点K是平面内一点，请求出当点A、C、G、K四点构成的四边形恰是菱形时点G的坐标.12．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为其中．四边形ABCD的是______填写四边形ABCD的形状当点A的坐标为时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．13．（2022春·浙江嘉兴·八年级统考期末）如图，经过坐标原点O的直线交反比例函数的图象于点，B．点C是x轴上异于点O的动点，点D与点C关于y轴对称，射线交y轴于点E，连结，，．(1)①写出点B的坐标．②求证：四边形是平行四边形．(2)当四边形是矩形时，求点C的坐标．(3)点C在运动过程中，当A，C，E三点中的其中一点到另两点的距离相等时，求的值．14．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）（1）下列关于反比例函数的性质，描述正确的有________．（填所有描述正确的选项）A．y随x的增大而减小B．图像关于原点中心对称C．图像关于直线成轴对称D．把双曲线绕原点逆时针旋转可以得到双曲线（2）如图，直线、经过原点且与双曲线分别交于点A、B、C、D．点A、C的横坐标分别为，连接、、、．①判断四边形的形状，并说明理由；②若点A的横坐标，四边形的面积为S，求S与n之间的函数表达式；③当m、n满足怎样的数量关系时，四边形是矩形？并说明理由．15．（2022春·江苏苏州·八年级校联考期中）如图，矩形AOCB的顶点B在反比例函数，x＞0）的图像上，且AB=3，BC=8．若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）求反比例函数的表达式．（2）当t=1时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．（3）在双曲线上是否存在一点M，使以点B、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出满足条件t的值；若不存在，请说明理由．16．（2021春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点.已知AB=6，AD=8，∠DAB=60°，点B的坐标为（6，0）．（1）求点D和点M的坐标；（2）如图①，将□ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点和点M的对应点恰好在反比例函数（x>0）的图像上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．17．如图，在平面直角坐标系中，A(16，0)、C(0，8)，四边形OABC