第27章《相似》（教师版）

20232024学年人教版数学九年级下册易错题真题汇编（提高版）第27章《相似》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023•中牟县二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（ParthenonTemple），我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD：DC≈0.618，这体现了数学中的（）A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割解：神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（ParthenonTemple），我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD：DC≈0.618，这体现了数学中的黄金分割，故选：D．2．（2分）（2023•龙华区一模）下列说法正确的是（）A．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则AC＝﹣1 B．平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 C．两个正六边形一定位似 D．菱形的两条对角线互相垂直且相等解：A、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，当AC＞BC时，AC＝﹣1，当AC＜BC时，AC＝3﹣，本选项说法错误；B、平面内，经过矩形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，本选项说法正确；C、两个正六边形不一定位似，本选项说法错误；D、菱形的两条对角线互相垂直，但不一定相等，本选项说法错误；故选：B．3．（2分）（2023•沙依巴克区模拟）如图，两个全等的四边形ABCD和OA′B′C′，其中四边形OA′B′C′的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点O．若四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，AD＝a，DC＝b，则下列数量关系中正确的是（）A．OE＝OF B． C．BE+BF＝DB D．重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的解：过O点作OM⊥AB于M点，ON⊥BC于N点，如图，∵四边形ABCD和OA′B′C′都是矩形，∴∠ABC＝∠EOF＝90°，OA＝OB＝OC，∴AM＝BM，CN＝BN，四边形OMBN为矩形，∴OM＝AD＝a，ON＝CD＝b，∠MON＝90°，∵∠MOE+∠EON＝90°，∠EON+∠NOF＝90°，∴∠MOE＝∠NOF，∵∠OME＝∠ONF＝90°，∴△OME∽△ONF，∴＝＝＝，所以B选项符合题意；只有当四边形ABCD为正方形时，△OME≌△ONF，则OE＝OF，则△AOE≌△BOF，此时AE＝BF，所以BE+BF＝BE+AE＝AB＝BD，四边形OEBF的面积等于三角形OAB的面积，即重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的，所以A选项、C选项、D选项不符合题意．故选：B．4．（2分）（2023•遵义三模）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，称为最早的有关黄金分割的论著．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图，点C把线段AB分成两份，如果BC：AC＝AC：AB，那么称点C是线段AB的黄金分割点．冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，若玩偶身高2m，则玩偶嘴巴离地高度是（）m．A． B． C． D．解：∵他泛着可爱笑容的嘴巴位于黄金分割点处，玩偶身高2m，∴玩偶嘴巴离地高度＝×2＝（﹣1）m，故选：D．5．（2分）（2023•安徽模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，连接DE交AC于点F，过点F作FG⊥DE交AB于点G，则下列结论正确的是（）A．AG＝GF B． C． D．解：在矩形ABCD中，AB＝2BC，点E是边AB的中点，∴DA＝AE＝BE＝BC，AB∥DC，∴△DCF∽△EAF，∴DF：FE＝DC：AE＝2，即DF＝2EF，故B不符合题意；∵DF＝2EF，∴EF＝DE，在Rt△ADE中，∠DAE＝90°，DA＝EA，∴∠ADE＝∠AED＝45°，DE＝AE，则AE＝EF，∵FG⊥DE，∴△EFG为等腰直角三角形，即EF＝FG，GE＝EF，∴AG＝AE﹣GE＝EF﹣EF＝EF≠GF，故A不符合题意；∴AG+FG＝EF+EF＝EF，在Rt△ADG中，∠DAG＝90°，DA＝EA＝EF，AG＝EF，∴DG＝EF，∴AG+FG≠DG，故C不符合题意；∵AG＝EF，GE＝EF，∴＝＝，即AG＝AE，∵AE＝DC，∴＝＝，即AG＝DC，故D符合题意；故选：D．6．（2分）（2023•莲都区一模）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为5等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（）A． B．2cm C． D．1cm解：∵DE∥AB，∴∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠CED，∴△ABC∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DE＝，故选：A．7．（2分）（2023•开福区校级二模）我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（）​A． B． C． D．解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BC＝BD，∴△BDC是“黄金三角形”，∴＝，∵BC＝2，∴DC＝﹣1，故选：A．8．（2分）（2023•昆明模拟）在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（≈0.618，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（）A． B． C． D．解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于，∴该雕像的下部设计高度＝×2＝（﹣1）m，故选：A．9．（2分）（2023•防城区二模）如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2 B．3 C． D．解：∵MN＝MP，∴∠MNP＝∠MPN，∴∠CPN＝∠ONM，由折叠可得，∠ONM＝∠CNM，CN＝ON＝6，∴∠CPN＝∠CNM，又∵∠C＝∠C，∴△CPN∽△CNM，＝，即CN2＝CP×CM，∴62＝CP×（CP+5），解得CP＝4，又∵＝，∴＝，∴PN＝，故选：D．10．（2分）（2021秋•宁安市期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点，连接AE交BD于点F，连接CF，∠AFD＝90°，则下列结论：①∠AED＝∠OBC；②AF＝CF③S△ADF＝S△AFC；④CD2＝4AE•EF，其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AD∥BC，∴∠DAE+∠AED＝90°，∠ADB＝∠OBC，∵∠AFD＝90°∴∠DAE+∠ADB＝90°，∴∠DAE+∠OBC＝90°，∴∠AED＝∠OBC，即①正确；②∵∠ADF+∠EDF＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，∴∠EDF＝∠DAF，∵∠ADE＝∠AFD＝90°，∴△DAE∽△FDE，∴DE：FE＝AE：DE，又∵DE＝EC，∴EC：FE＝AE：EC，∵∠AEC＝∠FEC，∴△AEC∽△CEF，∴∠FAC＝∠ECF，∵∠ACF＝∠ECF不一定成立，∴∠ACF＝∠FAC不一定成立，∴AF不一定等于FC，即②错误；③如图，过C作CH⊥AE交AE的延长线于H，∴∠DFE＝∠CHE＝90°，∠DEF＝∠CEH，∵DE＝CE，∴△DEF≌△CEH（AAS），∴DF＝CH，∴AF•DF＝AF•CH，∴S△ADF＝S△AFC；④由②得出DE：FE＝AE：DE，即DE2＝AE•EF，∵DE＝CD，∴（）2＝AE•EF，即CD2＝4AE•EF，故④正确；综上，正确的有3个．故选：C．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）11．（2分）（2023春•广饶县期末）△ABC中，AB＝9cm，AC＝6cm，D是AC上的一点，且AD＝2cm，过点D作直线DE交AB于点E，使所得的三角形与原三角形相似，则AE＝或3cm．解：①如图2，当△ADE∽△ABC时，有AD：AE＝AB：AC∵AB＝9cm，AC＝6cm，AD＝2cm∴AE＝cm；②如图1，当△AED∽△ABC时，有AD：AE＝AC：AB∵AB＝9cm，AC＝6cm，AD＝2cm∴AE＝3cm∴AE为cm或3cm．12．（2分）（2023•灞桥区模拟）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体，如图，舞台长AB＝10米，点C是线段AB的黄金分割点（即），则BC的长是（15﹣5）米．解：∵点C是线段AB的黄金分割点（即），AB＝10米，∴AC＝AB＝×10＝（5﹣5）米，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣（5﹣5）＝10﹣5+5＝（15﹣5）米，故答案为：（15﹣5）米．13．（2分）（2023•雁塔区校级模拟）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作△OCD，使它与△OAB位似，且相似比为，则点C的坐标为（﹣，﹣1）．解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作△OCD，使它与△OAB位似，且相似比为，点A的坐标为（4，3），∴点C的坐标为（﹣，﹣1），故答案为：（﹣，﹣1）．14．（2分）（2022秋•包头期末）如图，在“黄金三角形”ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为．（顶角为36°，两底角分别为72°的等腰三角形就是黄金三角形）解：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是黄金三角形，∴＝，∵CD＝1，∴BD＝，∴AD＝BD＝，∴AC＝AD+CD＝+1＝，故答案为：．15．（2分）（2023•小店区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是．​解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点D作DH∥BC，交AE于点H，∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，∵AE平分∠BAC，∴EC＝EG，∵△ABC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，∴5×12＝5CE+13EG，∴CE＝CG＝，∴BE＝BC﹣CE＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵D是AB的中点，DH∥BC，∴AH＝HE＝AE＝，∴DH是△ABE的中位线，∴DH＝BE＝，∵DH∥CE，∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，∴△DHF∽△CEF，∴＝＝＝，∴EF＝EH＝×＝，故答案为：．16．（2分）（2023•大同模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，BC＝18，D为AB上一点，且BD＝2AD，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥BC于点F，AF与DE交于点G，则AG的长为．解：过点B作BH⊥AC，垂足为H，∵AB＝AC＝15，BC＝18，AF⊥BC，∴BF＝CF＝BC＝9，∴AF＝＝＝12，∵AF⊥BC，BH⊥AC，∴∠AFC＝∠AFB＝∠BHC＝90°，∴∠C+∠FAC＝90°，∠C+∠HBC＝90°，∴∠HBC＝∠FAC，∴△BFP∽△AFC，∴＝，∴＝，∴FP＝，∴AP＝AF﹣FP＝，∵BD＝2AD，∴＝，∵DE⊥AC，BH⊥AC，∴DE∥BH，∴∠ADG＝∠ABP，∠AGD＝∠APB，∴△ADG∽△ABP，∴＝，∴＝，∴AG＝，故答案为：．17．（2分）（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm．（结果保留根号）​解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，故答案为：（80﹣160）．18．（2分）（2023•潍坊三模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝6，延长AB至D，使得BD＝AB，点P为动点，且PB＝PC，连接PD，则PD的最小值为．​解：如图：∵AB＝AC＝10，PB＝PC，∴直线AP是BC的垂直平分线，∴BE＝BC＝3，BC⊥AP，∴当DP⊥AP时，DP最短，∴∠APD＝∠AEB＝90°，∵BD＝AB，∴AD＝AB＝15，∵∠EAB＝∠PAD，∴△AEB∽△APD，∴＝，∴＝，∴DP＝，∴PD的最小值为，故答案为：．三．解答题（共9小题，满分64分）19．（6分）（2023春•高新区期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当＝时，△BPQ∽△BAC，即＝，解得t＝2（s）；当＝时，△BPQ∽△BCA，即＝，解得t＝0.8（s）；即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．20．（6分）（2023•靖边县校级模拟）铜川市【铜川1958】雕塑群体展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆．某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度AB．如图，小组同学在D处竖立一根可伸缩的标杆，甲站在G处恰好看到标杆顶端E和人物铜像底端B在一条直线上，DG＝3米，CD＝33米；甲站在G处不动，小组同学调整标杆的高度，当标杆的顶点恰好在F处时，甲看到标杆顶端F和人物铜像顶端A在一条直线上，EF＝1米，AC⊥CG，FD⊥CG，HG⊥CG，点B在AC上，点E在DF上，点C、D、G在一条水平线上，请根据以上测量数据与方法求出人物铜像的高度AB．​解：过点H作HM⊥DF，垂足为M，并延长HM交AC于点N，由题意得：NC＝MD＝HG，HM＝DG＝3米，CD＝NM＝33米，∴HN＝HM+NM＝36（米），∵∠BNH＝∠EMH＝90°，∠BHN＝∠EHM，∴△BNH∽△EMH，∴＝，∴EM•NH＝BN•MH，∵∠ANH＝∠FMH＝90°，∠AHN＝∠FHM，∴△ANH∽△FMH，∴＝，∴＝，∴MH（AB+BN）＝NH（EF+EM），∴MH•AB+MH•BN＝NH•EF+NH•EM，∴MH•AB＝NH•EF，∴3AB＝36×1，∴AB＝12米，∴人物铜像的高度AB为12米．21．（6分）（2022•拱墅区校级二模）如图．已知BD是∠ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点且AE＝AB．（1）求证：△ADE∽△CDB；（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD．∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠E．∴∠E＝∠CBD．∵∠EDA＝∠BDC，∴△ADE∽△CDB．（2）解：∵AE＝AB，AB＝6，∴AE＝6．∵△ADE∽△CDB，∴＝．∵BD＝4，DE＝5，∴＝．∴BC＝．22．（6分）（2021秋•峨边县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停．（1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2；（2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似．解：（1）设经过t秒钟S△PCQ＝2cm2，由题意得，AP＝2t，CQ＝t，则PC＝8﹣2t，由题意得，×（8﹣2t）×t＝2，整理得，t2﹣4t+2＝0解得，t＝2±，则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ＝2cm2；（2）设再经过n秒△PCQ与△ACB相似由题意得，AP＝2n，CQ＝2+n，则PC＝8﹣2n，当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝，解得，n＝1.6，当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝，解得，n＝，综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似．23．（8分）（2023•蒲城县模拟）常乐宝塔（如图1），本名金陵寺宝塔，是一座典型宋代砖塔．某数学小组为了测量常乐宝塔的高度，利用休息时间进行了实地测量：如图2，首先把长为2米的标杆CD垂直立于地面上的点C处，当塔尖B、标杆顶端D与地面上的点E在同一直线上时，EC＝3米；再将标杆沿AC方向平移11米至点G处（即CG＝11米，GH＝2米），当塔尖B、标杆顶端H与地面上的点F在同一直线上时，FG＝4米，已知BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，点A、C、E、G、F在同一水平直线上，请你帮助这个数学小组求出常乐宝塔的高度AB．解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，HG⊥AF，∴∠BAC＝∠DCE＝∠HGF＝90°，∵∠DEC＝∠BEA，∴△EDC∽△EBA，∴＝，∴＝，∵∠HFG＝∠BFA，∴△HFG∽△BFA，∴＝，∴＝，∴＝，∴AC＝33米，∴＝，∴AB＝24米，∴常乐宝塔的高度AB为24米．24．（8分）（2022秋•甘井子区期末）【阅读理解】小白同学遇到这样一个问题：△ABC中，D是BC的中点，E是AB上一点，延长DE、AC交于点F，DE＝EF，AB＝5，求AE的长．小白的想法是：过点E作EH∥BC交AC于H，再通过相似三角形的性质得到AE、BE的比，从而得出AE的长，请你按照小白的思路完成解答．【解决问题】请借助小白的解题经验，完成下面问题：△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，E为AB边上一点，AE＝AD，H、Q为BC上两点，CQ＝DH，DQ＝mDH，G为AC上一点，连接EQ交HG、AD于F、P，∠EFG+∠EAD＝180°，猜想并验证EP与GH的数量关系．解：【阅读理解】如图1，过点E作EH∥BC交AC于H，∴∠FEH＝∠FDC，∠FHE＝∠C，∴△FEH∽△FDC，∴，∵DE＝EF，∴，∵BD＝DC，∴，同理得：△AEH∽△ABC，∴，∵AB＝5，∴AE＝；【解决问题】猜想：＝，理由是：如图2，过D作DM∥GH，交AC于M，∴∠CMD＝∠CGH，∠CDM＝∠CHG，∴△CDM∽△CHG，∴，设DH＝CQ＝x，则DQ＝mx，∴＝＝，∵AD平分∠BAC，∴∠EAP＝∠DAM，∵∠EFG+∠EAD＝180°，∴∠AEP+∠ANF＝180°，∵GH∥DM，∴∠ADM+∠DNG＝∠ADM+∠ANF＝180°，∴∠ADM＝∠AFP，∵AE＝AD，∴△AEP≌△ADM，∴EP＝DM，∴＝．25．（8分）（2022秋•惠来县期末）综合实践活动在现实生活中，对于较高的建筑物，人们通常用图形相似的原理测量建筑物的高度．如图，九（1）班数学活动小组的同学们在综合实践课里测量学校里一栋教学楼MN的高度，他们在教学楼前的D处竖立一个长度为4米的直杆CD，测得DN等于18米，让同学调整自己的位置，使得他直立时眼睛A、直杆顶点C和高楼顶点M三点共线．此时测量人与直杆的距离BD＝3.2米，眼睛高度AB＝1.6米．请你根据以上测量数据求出这栋教学楼MN的高度．解：如图：过点A作AH⊥MN于点H，交CD于点E，则四边形ABDE，四边形ABNH都是矩形．∴NH＝DE＝AB＝1.6米，AE＝BD＝3.2米，EH＝DN＝18米，∵CD＝4米，∴CE＝CD﹣DE＝4﹣1.6＝2.4（米），∵CE∥MH，∴△ACE∽△AMH，∴＝，∴＝，∴MH＝15.9（米），∴MN＝MH+NH＝15.9+1.6＝17.5（米）．答：这栋教学楼MN的高度是17.5米．26．（8分）（2022秋•济阳区期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，D是AB的中点．动点P从点A出发，沿线段AC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．（1）当t为多少秒时，以点A、D、P为顶点的三角形与△ABC相似？（2）若△APD为钝角三角形，请直接写出t的取值范围．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝AB＝5，根据题意可知：AP＝2t，则PC＝AC﹣AP＝8﹣2