第07讲探索勾股定理（第1课时）（8类题型）（原卷版）

第07讲探索勾股定理（第1课时）（8类题型）课程标准学习目标1.勾股定理的证明方法；2.勾股定理的逆定理；3.用勾股定理构造三角形证明；1.掌握勾股定理的证明方法；2.掌握勾股数的概念；3、学会用勾股定理构造图形解决问题；4、勾股定理逆定理；知识点01：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。2.勾股定理的验证方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．【即学即练1】1．（2023秋·浙江宁波·八年级校考阶段练习）若的两边长为和，则第三边长为（

）A． B． C． D．或【即学即练2】2．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（

）

A．8 B．9 C．12 D．20知识点02：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a,b,c，且a2+勾股定理与其逆定理的区别与联系：区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即a2+b2=c联系：（1）两者都与三角形三边关系a2+b2.勾股数满足关系a2+b常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；【即学即练3】3．（2023秋·浙江·八年级专题练习）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．【即学即练4】4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知，，，的对边分别是，，，下列命题的逆命题成立的是（

）A．若，则为直角三角形B．若，则C．若为直角三角形，则D．若，则是直角三角形题型01勾股定理的证明方法1．（2023春·吉林松原·八年级校考阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边，下列四个说法：①；②；③；④．其中说法正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④3．（2023春·河南信阳·八年级统考期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么．

4．（2023春·天津东丽·八年级统考期末）如图，图中的所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，正方形A的边长为，另外四个正方形中的数字x，8，6，y分别表示该正方形面积，则x与y的数量关系是．

5．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）数学活动中，小明和同学动手拼图发现：两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形，可以拼成如图所示的直角梯形．

(1)请你用两种不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c之间有什么数量关系呢？请证明你的发现．(2)若这个直角梯形的上下底之差为，高为，请计算一下的面积．题型02以弦图为背景的计算题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为．则小正方形的边长为（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是（

）

A． B．1 C． D．23．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）东汉初年，我国的《周髀算经》里有“方出于矩”的说法，是证明直角三角形三边数量关系的重要方法，有人进行了如下解释：如图，将两个全等的长方形沿对角线进行分割，得到四个全等的直角三角形，再拼出一个大正方形．设长方形的两边分别为a，b，则拼出的大正方形面积为．

4．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为．

5．（2023春·云南昭通·七年级统考期中）公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形．

(1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________．(2)求图1中直角三角形的斜边长．题型03用勾股定理构造图形解决问题1．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考开学考试）《九章算术》记载：“今有开门去闻（读kŭn，门槛的意思）一尺，不合二寸．问门广几何？”题目大意是：如图，推开双门，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），双门间隙的距离为2寸，问门的宽度是多少？计算得的长是(

)

A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸2．（2023秋·全国·八年级专题练习）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温（

）

A．米 B．米 C．米 D．米3．（2023秋·全国·八年级专题练习）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是尺．

4．（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，在荡秋千时绳索始终处于拉直状态，则绳索的长为．

5．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）为了弘扬“社会主义核心价值观”，政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端距广告牌立柱距离为3米，从点测得广告牌顶端点和底端点的距离分别是5米和米．

(1)求公益广告牌的高度；(2)求的度数．题型04利用勾股定理的逆定理求解1．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）在中，，，的对边分别记为，，，由下列条件不能判定为直角三角形的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）若a，b，c是的三边，且，，，则最长边上的高是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）如图四边形中，，，，则四边形的面积是．

4．（2023春·山东滨州·八年级统考期中）如图，在中，点为的中点，其中，，，则．

5．（2023春·四川广安·八年级校考期末）如图，为的边上的一点，，，，．

(1)求的长；(2)求的面积．题型05用勾股定理解三角形1．（2023春·云南红河·八年级统考期末）如图，在中，，斜边，计算的值等于（

）

A．36 B．72 C．24 D．122．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在中，已知．，点P是线段上的动点，连接，在上有一点M，始终保持，连接，则的最小值为（

）

A． B． C． D．3．（2023春·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为．

4．（2023秋·广东广州·九年级校考开学考试）如图，中，，平分，，若，则点到的距离为．

5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，，，，，垂足为D．(1)求的长；(2)求的长．题型06勾股数问题1．（2023秋·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）下面四组数，其中是勾股数的一组是（）A． B．3，4，5C．，， D．6，7，82．（2023春·重庆忠县·八年级校考阶段练习）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·山东枣庄·八年级校考开学考试）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为5，4，4，9，则最大的正方形G的面积为．

4．（2023秋·全国·八年级专题练习）周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有，(1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论；(2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系；(3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积．题型07勾股定理与网格问题1．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点都在小正方形的格点上，则点A到的距离为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·河南漯河·八年级校考阶段练习）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，的顶点均在正方形格点上，则下列结论：①；②；③；④点到直线的距离是2．其中正确的有（将正确答案的序号填在横线上）．

4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到边的距离等于．5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点、、、均在小正方形的顶点上．

(1)画出一个以为一边的，点在小正方形的顶点上，且，的面积为；(2)画出以为一腰的等腰，点在小正方形的顶点上，且的面积为12；(3)在（1）、（2）的条件下，连接，请直接写出线段的长．题型08勾股定理与折叠问题1．（2023春·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的E点，那么的面积为（

）cm2．

A．9 B．6 C．4 D．32．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（

）

A．4 B．3 C．5 D．23．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）如图所示，在中，，点为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，则的长为．

4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为．

5．（2023春·吉林松原·八年级校考期中）如图，在矩形中，点在边上，把沿直线折叠，使点落在边上的点处，连接，过点作，垂足为．

(1)求证：；(2)若，则线段的长为_______．A夯实基础1．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（

）A．1，， B．，2， C．6，7，8 D．2，3，42．（2023春·江西上饶·八年级统考期中）在中，，，，则该三角形为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形3．（2023秋·河北廊坊·九年级校考开学考试）如图，一场暴雨这后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量，则树高为（

）

A． B． C． D．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）第27届LG杯世界棋王赛决赛将于2023年2月举行，这也是2023年第一个世界围棋大赛决赛．如图是一个围棋棋盘的局部，若棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则黑、白两棋子的距离为（）

A． B． C． D．55．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）勾股定理：如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是．6．（2023春·福建福州·八年级统考期中）在中，，若，则．7．（2023秋·安徽淮南·九年级统考开学考试）如图，在中，，，，点B是延长线上的点，连接，若，则的长为．

8．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期中）如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为.

9．（2023春·云南昆明·八年级统考期末）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．10．（2023春·山东聊城·八年级统考期中）如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从地沿到达地，为10米，第二条路是从地沿折线到达地，为8米，为6米，第三条路是从地沿折线到达地共行走26米，若刚好在一条直线上．

(1)求证：；(2)求和的长．B能力提升1．（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则(

)

A．21 B．3 C．9 D．2．（2023春·新疆阿克苏·八年级校联考阶段练习）若一个直角三角形的两条直角边长分别是和，则斜边上的高为多少（

）

A． B． C． D．3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·八年级校考期中）如图，点A表示的实数是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·河南开封·八年级统考期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（

）

A． B． C． D．5．（2023春·新疆巴音郭楞·八年级校考阶段练习）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形那么的度数是．

6．（2023春·山东潍坊·八年级校考阶段练习）下列结论中，正确的有．A．若的三边长分别为，，，则是直角三角形B．在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为C．在中，若：：：：，则是直角三角形D．若三角形的三边长之比为：：，则该三角形是直角三角形7．（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．

8．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，在中，，以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，，则．

9．（2023春·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，在中，，平分，于E，若，，求的周长．

10．（2023春·贵州黔南·八年级统考期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．

(1)海港C会受台风影响吗？为什么？(2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？C综合素养1．（2023春·山东青岛·七年级统考期末）如图，一个等腰直角三角形零件放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，测得，，则该零