专题8.13二元一次方程组的应用（6）方案设计问题大题专练（重难点培优30题）-2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题

【拔尖特训】20222023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题8.13二元一次方程组的应用（6）方案设计问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第110题）、能力提升题（第1120题）、培优压轴题（第2130题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、解答题1．（2022春·山西大同·七年级校联考阶段练习）疫情期间，某人要将一批抗疫物资运往西安，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如下表：甲种货车（辆）乙种资车（辆）总量（吨）第一次4531第二次3630(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？(2)若有45吨的物资需要运往西安，准备同时租用这两种货车，每辆全部均装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来．【答案】(1)每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨(2)方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车；方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车；方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车【分析】（1）设每辆甲种货车可装x吨货，每辆乙种货车可装y吨货，根据前两次租用这两种货车的记录情况表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车，根据一次要运45吨货，即可得出关于m，n的二元一次方程组，结合m，n均为正整数即可得出结论．【详解】（1）解：设每辆甲种货车能装货x吨，每辆乙种货能装货y吨，由题意得4x+5y=31解得：x=4答：每辆甲种货车能装货4吨，每辆乙种货车能装货3吨．（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．则：4m+3n=45∴n=15−又∵m，n均为正整数．∴m=3n=11，m=6n=7∴共有3种租车方案：方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车．方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车．方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．2．（2022春·湖南张家界·七年级统考期中）某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元．(1)A、B两种奖品每件各多少元?(2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？【答案】(1)A种奖品16元/件，B种奖品4元/件(2)188元【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：6×A奖品价格+1×B奖品价格=100，5×A奖品价格+2×B奖品价格=88，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可；（2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可．（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件，由题意可列方程：{6x+y=100由①得：y=100−6x③将③代入②中得：5x+200−12x=88，解得：{x=16答：A种奖品16元/件，B种奖品4元/件．（2）由题意得：16×8+4×15=188（元），答：总费用为188元．【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意列出等量关系是解题的关键．3．（2020春·江苏·七年级校考期中）疫情期间，学校为了学生在班级将生活垃圾和废弃口罩分类丢弃，准备购买A,B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需270元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用80元．求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？学校购买A型垃圾桶8个，B型垃圾桶16个，共花费多少元？【答案】A型垃圾桶50元，B型垃圾桶60元；共需花费1360元．【分析】设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需270元，购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用80元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，即可求解.【详解】解：设A型垃圾箱每个x元，B型垃圾箱每个y元,依题意列方程组得：{3x+2y=270解之得：{x=50故A型垃圾桶每个50元，B型垃圾桶每个60元；学校购买A型垃圾桶8个，B型垃圾桶16个，共花费8×50+16×60=1360元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组是解题的关键.4．（2022春·浙江绍兴·七年级校考期中）为响应济南市政府发出的创文明城市号召，某校八年级班决定拿出一些班费购买鲜花装饰班级，班委会的同学们购买了康乃馨和玫瑰花共20朵，其中康乃馨每朵3元，玫瑰花每朵5元，总共花费76元，请问康乃馨和玫瑰花各买了多少朵？【答案】康乃馨、玫瑰花各购买了12朵和8朵【分析】购买康乃馨x朵，玫瑰花y朵，根据题意列出x和y的二元一次方程组，解方程组求出x和y的值即可．【详解】设购买康乃馨x朵，玫瑰花y朵，依题意得：x+y=203x+5y=76解得：x=12y=8答：康乃馨、玫瑰花各购买了12朵和8朵．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：方案一：所有商品按标价的九折销售；方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．【答案】(1)A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元；(2)方案二更合算，理由见解析【分析】（1）设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据“A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元”，列出方程组，即可求解；（2）先求得按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案．【详解】（1）解：设A型篮球的标价是x元，B型篮球的标价是y元，根据题意得：x−y=308x+10y=1320解得：x=90y=60答：A型篮球的标价是90元，B型篮球的标价是60元；（2）解：方案二更合算，理由如下：90×20+60×30=3600元，即按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，方案一：总费用为3600×0.9=3240元，方案二：总费用为2000+7∵3240>3120，∴方案二更合算．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键．6．（2022秋·全国·七年级专题练习）聊城于集地区生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元．当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工能力是：粗加工，每天可加工16吨；精加工，每天能加工6吨．但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件的限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此制定了两种方案：（1）尽可能对蔬菜进行精加工，剩余的在市场上直接销售；（2）将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成，你认为选择哪种方案获利多？为什么？【答案】第（2）种，见解析【分析】根据题意可直接求出第（1）种方案加工的总利润W1；设15天内精加工蔬菜x吨，粗加工蔬菜y吨，依题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y，即可求出第（2）种方案加工的总利润W【详解】解：第（1）种方案加工：∵每天精加工6吨，15天可以加工90吨，其余50吨直接销售，则总利润W1第（2）种方案加工：设15天内精加工蔬菜x吨，粗加工蔬菜y吨，依题意得：x+y=140x解得：x=60y=80∴总利润W2根据两种方案的利润可知W1∴第（2）种方案获利最多．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．7．（2022春·福建福州·七年级校考期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．(1)问A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少元？【答案】(1)A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元(2)三种，最大利润为91000元【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据题意列出二元一次方程，然后求解即可确定方案种类，然后求利润即可．【详解】（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得2a+3b=803a+2b=95解得：a=25b=10答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，由题意可得25m+10n=200且m>0，n>0，整理得5m+2n=40，∴m=40−2n5=8−解得n=15m=2或n=10m=4∴该公司共有三种购买方案，当n=15,m=2时，获得的利润为：5000×15+8000×2=91000（元），当n=10,m=4时，获得的利润为：5000×10+8000×4=82000（元），当n=5,m=6时，获得的利润为：5000×5+8000×6=73000（元），由上可得，最大利润为91000元．【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及方案选择问题，理解题意，列出方程是解题关键．8．（2022·全国·七年级专题练习）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员小丽小华月销售件数（件）200150月总收入（元）14001250假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．(1)求x、y的值；(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【答案】(1)x的值为800，y的值为3(2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．【详解】（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．由题意得x+200y=1400x+150y=1250解得x=800y=3即x的值为800，y的值为3；（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．则可列方程组：3x+2y+z=315x+2y+3z=285将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．9．（2022春·广东东莞·七年级校考期中）临近2022年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为300mL和500mL的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要61元，购买3瓶甲种和4瓶乙种消毒液需要(1)求甲、乙两种消毒液的单价；(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将11.2L的消毒液全部装入最大容量分别为300mL和500mL的两种空瓶中(每瓶均装满)【答案】(1)甲种消毒液的单价为18元，乙种消毒液的单价为25元(2)分装成300mL的9瓶，500mL的16瓶时，总损耗最小，此时需要300mL的空瓶9个，500【分析】（1）设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲种和1瓶乙种消毒液需要61元，购买3瓶甲种和4瓶乙种消毒液需要154元”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）设分装300mL的免洗手消毒液m瓶，500mL的免洗手消毒液n瓶，根据需将11.2L的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20mL，列出二元一次方程，结合m，n【详解】（1）解：设甲种消毒液的单价为x元，乙种消毒液的单价为y元，依题意得：2x+y=613x+4y=154解得：x=18y=25答：甲种消毒液的单价为18元，乙种消毒液的单价为25元；（2）设需要300mL的空瓶m个，500mL的空瓶依题意得：300+20m+∴m=35−13∵m，n均为非负整数，∴m=35n=0或m=22n=8当m=35，n=0时，总损耗为20m+n当m=22，n=8时，总损耗为20m+n当m=9，n=16时，总损耗为20m+n∵700>600>500，∴分装成300mL的9瓶，500mL的16瓶时，总损耗最小，此时需要300mL的空瓶9个，500【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：1找准等量关系，正确列出二元一次方程组；2找准等量关系，正确列出二元一次方程．10．（2022春·吉林长春·七年级校考阶段练习）某公司购买了一批物资并安排两种货车运送.调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1900件；4辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输2200件，(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？(2)若6辆小货车，5辆大货车均满载，共可运输多少件？【答案】(1)1辆小货车一次可以满载运输350件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资；(2)6辆小货车，5辆大货车均满载，共可运输4100件【分析】（1）设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，根据“2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1900件；4辆小货车与2辆大货车一次可以满载运输2200件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据（1）的方程，两个方程相加即可求解．（1）解：设1辆小货车一次可以满载运输x件物资，1辆大货车一次可以满载运输y件物资，依题意得：2x+3y=19004x+2y=2200解得：x=350y=400答：1辆小货车一次可以满载运输350件物资，1辆大货车一次可以满载运输400件物资．（2）∵2x+3y=1900∴两式相加得：6x+5y=4100答：6辆小货车，5辆大货车均满载，共可运输4100件．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．11．（2022春·辽宁大连·七年级统考期末）为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户．若医用口罩买600个，洗手液买100个，共需4500元；若医用口罩买800个，洗手液买120个，共需5600元．(1)求医用口罩和洗手液每个各多少元；(2)由于实际需要，该小区除购买医用口罩和洗手液外，还需购买单价为6元的N95口罩，三项总费用为5400元．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，则有几种购买方案，请列方程计算．【答案】(1)医用口罩每个2.5元，洗手液每个30元(2)有三种购买方案【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；（2）根据题意设出二元一次方程组在根据题目条件进行分类即可．（1）设医用口罩每个x元，洗手液每个y元，由题意，得：600x+100y=4500800x+120y=5600解得：x=2.5y=30答：医用口罩每个2.5元，洗手液每个30元．（2）设增加购买N95口罩a个，洗手液b瓶，则医用口罩1200−a个，根据题意得：6a+2.5(1200−a)+30b=5400，化简，得：7a+60b=4800，∴b=80−7a∵a，b都为正整数，∴a为60的倍数，且a≤200，∴a=60b=73，a=120b=66，∴有三种购买方案【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．12．（2022春·辽宁大连·七年级统考期末）今夏，某村小麦喜获丰收某种植户共收获小麦28吨，现计划租用甲、乙两种货车将小麦全部运往外地销售，两辆甲种货车和一辆乙种货车可装小麦11吨，一辆甲种货车和两辆乙种货车可装小麦10吨．(1)一辆甲种货车和一辆乙种货车一次共运货多少吨？(2)若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，这位种植户想同时租用这两种货车，一次运完所有小麦，要求租用的每辆车都需要装满，则应如何选择方案，使运输费最少？最少运费是多少？【答案】(1)一辆甲种货车和一辆乙种货车一次共运货7吨(2)选择甲种货车和乙种货车各4辆费用最少，运费是2160元【分析】（1）设一辆甲种货车可运货x吨，一辆乙种货车可运货y吨，根据等量关系：两辆甲种货车和一辆乙种货车可装小麦11吨；一辆甲种货车和两辆乙种货车可装小麦10吨；列出二元一次方程组计算即可求解；（2）设需要甲种货车m辆，乙种货车n辆，根据同时租用这两种货车，一次运完所有小麦，要求租用的每辆车都需要装满，即可得出关于m，n的不定方程，根据m，n的取值范围，再结合m，n为正整数，即可得出各运货方案；利用总运费=每辆车的运费×租车辆数，可分别求出两种安排方案所需费用，比较后即可得出结论．（1）解：设一辆甲种货车可运货x吨，一辆乙种货车可运货y吨，由题意得：2x+y=11x+2y=10解得x=4y=3∴x+y=4+3=7．故一辆甲种货车和一辆乙种货车一次共运货7吨；（2）解：设需要甲种货车m辆，乙种货车n辆，由题意得：4m+3n=28，∴m=7−34n∵m＞0，n＞0，且m，n为整数，∴n=4或8．当n=4时，m=4，所需费用=300m+240n=300×4+240×4=2160；当n=8时，m=1，所需费用=300m+240n=300×8+240×1=2220；∴选择甲种货车和乙种货车各4辆费用最少，运费是2160元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程；利用总运费=每辆车的运费×租车辆数，分别求出两种安排方案所需费用即可求解．13．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）天气逐渐炎热，商场又迎来了空调的售卖旺季，某商场购进A，B两种型号的空调，A型空调每台进价为m元，B型空调每台进价为n元．5月份该商场购进5台A型空调和6台B型空调共39000元，6月份购进7台A型空调和5台B型空调共41000元．(1)求m，n的值；(2)7月份该商场计划花费54000元购进这两种型号空调（两种型号都要有），试问有哪几种进货方案？【答案】(1)m的值为3000，n的值为4000；(2)共有4种进货方案，方案1：购进A型空调14台，B型空调3台；方案2：购进A型空调10台，B型空调6台；方案3：购进A型空调6台，B型空调9台；方案4：购进A型空调2台，B型空调12台．【分析】（1）根据“5月份该商场购进5台A型空调和6台B型空调共39000元，6月份购进7台A型空调和5台B型空调共41000元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进x台A型空调，y台B型空调，利用进货总价=进货单价×进货数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案．（1）解：依题意得：5m+6n=390007m+5n=41000解得：m=3000n=4000答：m的值为3000，n的值为4000；（2）解：设购进x台A型空调，y台B型空调，依题意得：3000x+4000y=54000，∴x=1843y∵x，y均为正整数，∴x=14y=3或x=10y=6或x=6y=9∴共有4种进货方案，方案1：购进A型空调14台，B型空调3台；方案2：购进A型空调10台，B型空调6台；方案3：购进A型空调6台，B型空调9台；方案4：购进A型空调2台，B型空调12台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．14．（2022春·广东·七年级校考期中）已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案；(3)若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨(2)有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车1辆，B型车8辆(3)最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元【分析】（1）根据“用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨”“用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；（2）由题意理解出：3a+4b＝35，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，分别求出租车费用即可．（1）解：设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得：3x+2y=172x+3y=18解方程组，得：x=3y=4答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．（2）结合题意和（1）得：3a+4b＝35，∴a＝35−4b∵a、b都是正整数∴a=9b=2或a=5b=5答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车1辆，B型车8辆．（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240＝2280(元)方案二需租金：5×200+5×240＝2200(元)方案三需租金：1×200+8×240＝2120(元)∵2280＞2200＞2120∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找出题中的数量关系，正确列出方程或方程组．15．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）2022年4月，某校为传承红色基因，计划组织师生共500人赴泌阳县烈士陵园开展教育活动．现有甲、乙两种型号的客车可租用，已知2辆甲型客车和1辆乙型客车可以满载师生130人，1辆甲型客车和2辆乙型客车可以满载师生140人．(1)求甲、乙型两种客车每辆可分别满载多少人？(2)若计划租用甲型客车a辆，乙型客车b辆，恰好能一次运送所有师生且每辆车都坐满，问共有哪几种租车方案？【答案】(1)甲型客车每辆可满载40人，乙型客车每辆可满载50人(2)见解析【分析】（1）设甲型客车每辆可满载x人，乙型客车每辆可满载y人，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）根据题意得40a+50b=500，根据非负整数解求得a,b的值，进而即可求解．（1）解：设甲型客车每辆可满载x人，乙型客车每辆可满载y人，依题意得：2x+y=130x+2y=140解得：x=40y=50答：甲型客车每辆可满载40人，乙型客车每辆可满载50人．（2）依题意得：40a+50b=500，∴b=10−4又∵a，b均为非负整数，∴a=0b=10或a=5b=6或∴该校共有3种租车方案，方案1：租用乙型客车10辆；方案2：租用甲型客车5辆，乙型客车6辆；方案3：租用甲型客车10辆，乙型客车2辆．【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程或方程组是解题的关键．16．（2021春·河南洛阳·七年级统考期末）某水上公园有两种类型的游船，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时租金为80元，一条6座游船每小时租金为110元．某校七三班的56名同学到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且1小时共花费租金1040元．求该班租用4座船和6座船各多少只？【答案】租用4座船2只，6座船8只【分析】设该班租用4座船x只，6座船y只，根据“租用的船正好乘坐56名同学，且1小时共花费租金1040元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】设该班租用4座船x只，6座船y只，依题意得：4x+6y=5680x+110y=1040解得：x=2y=8答：该班租用4座船2只，6座船8只．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．17．（2022春·吉林白山·七年级统考期中）某球迷协会组织36名球迷租车去观看足球比赛，一种车每辆可乘8人，另一种车每辆可乘4人，要求租用的车不留空座，也不能超载．请你给出不同的租车方案（至少三种）．【答案】4座车9辆；8座车1辆，4座车7辆；8座车2辆，4座车5辆，8座车3辆，4座车3辆．【分析】设8座车租x辆，4座车租y辆，根据题意列出方程，结合x，y为非负整数，即可求解．【详解】解：设8座车租x辆，4座车租y辆，根据题意得：8x＋4y＝36，∴2x＋y＝9，由题意得：x，y为非负整数，所以x＝0时，y＝9；x＝1时，y＝7；x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝3；x＝4时，y＝1；∴租车方案可以有：4座车9辆；8座车1辆，4座车7辆；8座车2辆，4座车5辆，8座车3辆，4座车3辆．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．18．（2022春·湖南永州·七年级统考期末）据永川区农业信息中心介绍，去年永川生态枇杷园喜获丰收，个体商贩张杰准备租车把枇杷运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满枇杷一次可运货12吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满枇杷一次可运货17吨．现有15吨枇杷，计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满枇杷一次可分别运货多少吨？(2)若甲型车每辆需租金180元/次，乙型车每辆需租金200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．【答案】(1)1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨(2)租用5辆甲型车最省钱，最少租车费用为900元．【分析】（1）设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，根据题意列出方程组，解方程即可求解；（2）根据计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，列二元一次方程，根据整数解解方程，进而即可求解．【详解】（1）解：设1辆甲型车装满枇杷一次可运货x吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货y吨，依题意，得：2x+3y=123x+4y=17解得：x=3y=2答：1辆甲型车装满枇杷一次可运货3吨，1辆乙型车装满枇杷一次可运货2吨．（2）解：计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆，一次运完，且恰好每辆车都装满枇杷，∴3m+2n=15m,n为正整数，∴m=3n=3或m=1∴方案1：租用甲型车3辆，乙型车3辆，所需租金180×3＋200×3＝1140（元）；方案2：租用甲型车1辆，乙型车6辆，所需租金180×1＋200×6＝1380（元）．方案3：租用甲型车5辆，乙型车0辆，所需租金180×5＝900（元）．∵900＜1140＜1380，∴租用5辆甲型车最省钱，最少租车费用为900元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．19．（2022春·江苏泰州·七年级统考阶段练习）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车与1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费400元，每辆B货车一次运货花费350元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．【答案】(1)1辆A货车一次远货20吨，1辆B货车一次运货15吨(2)共有三种方案：方案一A货车8辆，B货车2辆；方案二A货车5辆，B货车6辆；方案三A货车2辆，B货车10辆．方案运输费用最少【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．（1）解：设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意得：3x+2y=905x+4y=160，解得：x=20答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）解：设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得：20m+15n=190，即m=38−3n又∵m，n均为正整数，∴m=8n=2或m=5n=6或∴共有3种运输方案，方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．方案1所需费用：400×8+350×2=3900(元)；方案2所需费用：400×5+350×6=4100(元)；方案3所需费用：400×2+350×10=4300(元)；∵3900＜4100＜4300，∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为3900元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=400×安排A型车的辆数+350×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．20．（2022春·山东聊城·七年级统考期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计50万元；3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计120万元．(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几种购买方案？【答案】(1)A型号的汽车每辆进价为20万元，B型号的汽车每辆进价15万元(2)共有三种购买方案：购买A型号的汽车1辆，B种型号的汽车12辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车8辆；购买A型号的汽车7辆，B种型号的汽车4辆【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解；（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为200万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案．（1）解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得a+2b=503a+4b=120解得a=20b=15经检验，方程组的解符合题意．答：A型号的汽车每辆进价为20万元，B型号的汽车每辆进价15万元；（2）解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，由题意可得20m+15n=200，∴m=40−3n∵m>0，n>0，m和n均为整数，∴m=1n=12或m=4n=8或答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车1辆，B种型号的汽车12辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车8辆；购买A型号的汽车7辆，B种型号的汽车4辆．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．21．（2022春·福建福州·七年级统考期中）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：月份销售量/件销售额/元冰墩墩雪容融第1个月1006014800第2个1)问：每个“冰墩墩”和每个“雪容融”玩具的价格分别是多少？(2)某中学要在该冬奥官方特许商品零售店购买两种该批次的“冰墩墩”和“雪容融”玩具（两种玩具都购买）作为“北京冬奥会我参与”的征文比赛奖品，花费总额2000元整，请你帮该中学设计购买方案．【答案】(1)每个“冰墩墩”的零售价为100元，每个“雪容融”的零售价为80元(2)共有四种购买方案，分别为：方案1：购买16个“冰墩墩”和5个“雪容融”；方案2：购买12个“冰墩墩”和10个“雪容融”；方案3：购买8个“冰墩墩”和15个“雪容融”；方案4：购买4个“冰墩墩”和20个“雪容融”【分析】（1）设每个“冰墩墩”的零售价为x元，每个“雪容融”的零售价为y元．根据题意，列出方程组，即可求解；（2）设购买“冰墩墩”的数量为a个，“雪容融”的数量为b个．根据题意，列出方程，即可求解．（1）解：设每个“冰墩墩”的零售价为x元，每个“雪容融”的零售价为y元．由题意得：100x+60y=14800150x+120y=24600解得x=100y=80答：每个“冰墩墩”的零售价为100元，每个“雪容融”的零售价为80元；（2）解∶设购买“冰墩墩”的数量为a个，“雪容融”的数量为b个．由题意得：100a+80b=2000，解得：a=100−4b∵a，b为正整数，∴a=16b=5，a=12b=10，a=8答：共有四种购买方案，分别为：方案1：购买16个“冰墩墩”和5个“雪容融”；方案2：购买12个“冰墩墩”和10个“雪容融”；方案3：购买8个“冰墩墩”和15个“雪容融”；方案4：购买4个“冰墩墩”和20个“雪容融”．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．22．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）制作某产品有两种用料方案，方案1：用5块A型钢板，9块B型钢板；方案2：用4块A型钢板，10块B型钢板．(1)若方案1中用料总面积为33平方米，方案2中用料总面积为32平方米，求每块A、B钢板的面积分别为多少平方米？(2)设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y．从省料角度考虑，应选哪种方案？【答案】(1)每块A、B钢板的面积分别为3平方米，2平方米；(2)当x＞y时，应选方案2；当x=y时，两种方案一样；当x<y时，应选方案1．【分析】（1）设每块A、B钢板的面积分别为x平方米，y平方米，根据“5块A型钢板，9块B型钢板用料总面积为33平方米；4块A型钢板，10块B型钢板用料总面积为32平方米”列方程组解得即可；（2）分别列出方案1和方案2用料面积的代数式，利用“求差法”进行解答即可．（1）解：设每块A、B钢板的面积分别为x平方米，y平方米，根据题意得：5x+9y=334x+10y=32，解得：x=3y=2，答：每块A、（2）解：∵每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，∴方案1用料：5x+9y，方案2用料：4x+10y，（5x+9y）（4x+10y）=5x+9y4x10y=xy，当x＞y时，则5x+9y＞4x+10y，∴从省料的角度考虑，应选方案2；当x=y时，则5x+9y=4x+10y，∴从省料的角度考虑，两种方案一样；当x<y时，则5x+9y<4x+10y，∴从省料的角度考虑，应选方案1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式以及比较两个代数式的大小，解答（1）的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的思想解答；解答（2）的关键是理解并运用“求差法”比较两个代数式的大小．23．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）2021年是中国共产党成立100年，某校举行了“请党放心，强国有我”党史知识竞赛，并计划购买A、B两种奖品奖励获奖学生，若买2件A奖品和1件B奖品用了90元，买3件A奖品和2件B奖品用了160元．(1)求A、B两种奖品每件各是多少元？(2)如果学校准备用400元购买A、B两种奖品(400元恰好用完，两种奖品都有)，请问有哪几种购买方案？【答案】(1)A、B两种奖品每件分别是20元、50元(2)有3种购买方案：方案一：购买A种奖品15件，B种奖品2件；方案二：购买A种奖品10件，B种奖品4件；方案三：购买A种奖品5件，B种奖品6件【分析】（1）设A奖品每件x元，B奖品每件y元，根据“买2件A奖品和1件B奖品用了90元，买3件A奖品和2件B奖品用了160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A奖品m件，B奖品n件，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出购买方案的个数．（1）解：设A、B两种奖品每件分别是x元、y元，依题意，得2x+y=903x+2y=160，解得x=20y=50，答：A、（2）解：设分别购买A，B两种奖品a件、b件，依题意，得20a+50b=400，∴a=2052b，∵a、b均为正整数∴当b=2时，a=15；当b=4时，a=10；当b=6时，a=5．∴有3种购买方案：方案一：购买A种奖品15件，B种奖品2件；方案二：购买A种奖品10件，B种奖品4件；方案三：购买A种奖品5件，B【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．24．（2022春·云南昆明·七年级统考期末）为更好地落实“双减”要求．提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材．(1)七（1）班准备统一购买新的足球和跳绳．请你根据下图中班长和售货员的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；(2)由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球a个a>15和跳绳b根，恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？【答案】(1)足球单价为100元，跳绳单价为20元(2)有2种方案，方案一：买足球18个时，跳绳24条；方案二：买足球20个时，跳绳8条【分析】（1）设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解；（2）根据题意列出方程，然后根据若1800元全买足球，可求出15<a<22.5，从而得到a取16，17，18，19，20，21，22，即可求解．(1)解：设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意得∶12x+10y=140012y+10x=1240，解得：x=100答：足球单价为100元，跳绳单价为20元；(2)解：80a+15b=1800a>15若1800元全买足球，1800÷80=22.5（个）∴15<a<22.5，∵a，b均为正整数，∴a取16，17，18，19，20，21，22，当a=16时，b=104当a=17时，b=88当a=18时，b=24，当a=19时，b=56当a=20时，b=40当a=21时，b=8，当a=22时，b=8综上所述：有2种方案，方案一：买足球18个时，跳绳24条；方案二：买足球20个时，跳绳8条．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．25．（2022春·云南昆明·七年级统考期末）学校要开展篮排球比赛，决定购买一批篮排球作为奖品．已知购买20个篮球，30个排球共需3600元；购买30个篮球，20个排球共需3900元．(1)求篮球、排球的单价各是多少元？(2)学校要求购买篮球、排球共60个，且篮球的数量不少于排球数量的23【答案】(1)篮球的单价为90元/个，排球的单价为60元/个(2)最省钱的购买方案是篮球24个，排球36个【分析】（1）设篮球的单价为x元/个，排球的单价为y元/个，根据“购买20个篮球，30个排球共需3600元；购买30个篮球，20个排球共需3900元．”列出方程组，即可求解；（2）设学校购买篮球m个，则购买排球60−m个，根据“篮球的数量不少于排球数量的23(1)解：设篮球的单价为x元/个，排球的单价为y元/个，由题意，得20x+30y=360030x+20y=3900解得x=90y=60答：篮球的单价为90元/个，排球的单价为60元/个．(2)解：设学校购买篮球m个，则购买排球60−m个，由题意，得m≥2解得m≥24，∵篮球的单价高，∴购买篮球越少越省钱，∵m为整数，∴m的最小值为24，∴60−m=60−24=36答：最省钱的购买方案是篮球24个，排球36个．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键．26．（2022春·湖南怀化·七年级统考期末）一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒3小盒共装76瓶．(1)大盒与小盒每盒各装多少瓶？(2)已知这种商品一大盒的价格为40元，一小盒的价格为24元，小明购买这种商品共花费200元，试确定小明可能有哪些购买方案．【答案】(1)每大盒装20瓶，每小盒装12瓶．(2)有两种购买方案：①2大盒，5小盒；②5大盒．【分析】（1）设每大盒装x瓶，每小盒装y瓶，由题意易得3x+4y=1082x+3y=76（2）设小明买了a大盒，b小盒，然后可得40a+24b=200，进而根据a、b为非负整数可进行求解．(1)解：设每大盒装x瓶，每小盒装y瓶，根据题意得：3x+4y=1082x+3y=76解得：x=20y=12答：每大盒装20瓶，每小盒装12瓶．(2)解：设小明买了a大盒，b小盒．由题意得：40a+24b=200，化简，得：5a+3b=25，因为a、b为非负整数，所以方程的非负整数解为a=2b=5、a=5所以有两种购买方案：①2大盒，5小盒；②5大盒．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．27．（2022·全国·七年级假期作业）某厂计划生产A，B两种产品600件，已知两种产品的成本价和销售价如下表：A种产品B种产品成本价（元／件）2.54.5销售价（元／件）36(1)若该厂生产600件A，B两种产品时，恰好用了2300元，求两种产品各生产了多少件？(2)若该厂销售完600件A，B两种产品时，利润恰好是成本价的30％，应如何安排生产？此时利润为多少元？（利润＝销售价成本价）【答案】(1)生产了A种产品200件，B种产品400件；(2)生产了A种产品225件，B种产品375件，此时利润为675元．【分析】（1）设生产了A种产品x件，B种产品y件，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设生产了A种产品a件，B种产品（600a）件，根据“获得的利润恰好是成本的30%”列出a的一元一次方程，求出a的值即可．(1)解：设生产了A种产品x件，B种产品y件，由题意得：x+y=6002.5x+4.5y=2300解得：x=200y=400答：生产了A种产品200件，B种产品400件；(2)解：设生产了A种产品a件，B种产品（1200a）件，由题意，得：（32.5）a+（64.5）（600a）=[2.5a+4.5（600a）]×30%，解得：a=225，B种产品600225=375（件），0.5a+1.5（600a）=675（元），答：生产了A种产品225件，B种产品375件，此时利润为675元．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．28．（2022春·河北唐