第10讲位置与坐标

第10讲位置与坐标认识到建立平面直角坐标系的必要性，并能掌握平面直角坐标系的相关概念.在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出点的坐标.3.经历画平面直角坐标系、描点、连线、看图及由点找坐标的过程，体会数形结合思想.知识点1：坐标确定位置坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。知识点2平面直角坐标1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(xaxis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（yaxis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。点坐标（1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。（2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。（3）点到轴及原点的距离：点到x轴的距离为|y|；点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。象限第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数5.坐标与图形性质（1）一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。（2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。（3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。（4）y轴上的点，横坐标都为0。（5）x轴上的点，纵坐标都为0。6.关于x、y轴、原点对称的点坐标（1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。（2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。（3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。7.两点间公式设两个点A、B以及坐标分别，为则A和B两点之间的距离为：知识点3：坐标与图形变化知识点4：图形在坐标系中的平移在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）考点一：判断点所在的象限例1．（2023•宝应县模拟）在平面直角坐标系中，点P（x2+2，9）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解答】解：∵x2+2＞0，∴点P（x2+2，9）所在的象限是第一象限．故选：A．【变式11】（2023春•西塞山区期中）点P（﹣1，﹣2）在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解答】解：点P（﹣1，﹣2）在第三象限．故选：C【变式12】（2023春•庄浪县校级期中）已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（﹣m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解答】解：∵点A（m，n）在第四象限，∴m＞0，n＜0，∴﹣m＜0，∴点B（﹣m，n）在第三象限．故选：C．【变式13】（2023•丽水）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解答】解：∵m2+1＞0，∴点P（﹣1，m2+1）在第二象限．故选：B．考点二：坐标轴上点的坐标特征例2.（2023春•正定县期中）点A（m+3，m+1）在x轴上，则A点的坐标为（）A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）【答案】B【解答】解：∵点A（m+3，m+1）在x轴上，∴m+1＝0，解得：m＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点M的坐标为（2，0）．故选：B．【变式21】（2023春•渝中区校级月考）若P（m+3，2m+4）在y轴上，则P到x轴的距离是（）A．﹣2 B．1 C．2 D．3【答案】C【解答】解：∵P（m+3，2m+4）在y轴上，∴m＝﹣3，∴2m+4＝﹣6+4＝﹣2∴P（0，﹣2）则P到x轴的距离是|﹣2|＝2．故选：C．【变式22】（2023春•端州区校级期中）己知P点坐标为（2+m，3m﹣3），且点P在y轴上，则点P的坐标是（0，﹣9）．【答案】（0，﹣9）．【解答】解：∵点（2+m，3m﹣3）在y轴上，∴2+m＝0，∴m＝﹣2，∴3m﹣3＝﹣9，∴该点坐标为（0，﹣9）．故答案是：（0，﹣9）．【变式23】（2023春•建阳区期中）已知点P（2a﹣3，a﹣1）在x轴上，则a的值为1．【答案】1．【解答】解：∵点P（2a﹣3，a﹣1）在x轴上，∴a﹣1＝0，∴a＝1，故答案为：1．考点三：点到坐标轴的距离例3.（2023•佛山模拟）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）【答案】C【解答】解：在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，它到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（﹣1，3），故选：C．【变式31】（2023春•庄浪县校级期中）在平面直角坐标系中，点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且点P在第二象限，则P点的坐标为（）A．（﹣2，5） B．（﹣5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）【答案】B【解答】解：∵P点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，∴点P的纵坐标是±2，横坐标是±5，又∵第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，∴点P的横坐标是﹣5，纵坐标是2．故点P的坐标为（﹣5，2）．故选：B．【变式32】（2023春•荣县校级期中）已知m2＝16，|n|＝5，若A（m，n）在第四象限，则m+n的值为（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1【答案】D【解答】解：∵m2＝16，|n|＝5∴m＝±4，n＝±5∵A（m，n）在第四象限∴m＞0，n＜0∴m＝4，n＝﹣5∴m+n＝4+（﹣5）＝﹣1．故选：D．【变式33】（2023春•琼山区校级期中）已知点P在第四象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P坐标为（）A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（4，﹣3）【答案】D【解答】解：因为点P在第四象限，且点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，所以点P的坐标为（4，﹣3）．故选：D考点四：平行与坐标轴点的坐标特征例4.（2023春•彭水县期中）已知点M（3，﹣2）与N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离等于4，那么点N的坐标为（）A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣4，2） D．（4，2）或（﹣4，﹣2）【答案】B【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点N的纵坐标为﹣2，∵点N到y轴的距离为4，∴点N的横坐标为4或﹣4，∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）；故选：B．【变式41】（2022秋•宝丰县期中）已知过A（a，2），B（4，﹣3）两点的直线平行于y轴，则a的值为（）A．﹣3 B．4 C．2 D．﹣4【答案】B【解答】解：∵过A（a，2），B（4，﹣3）两点的直线平行于y轴，∴a＝4，故选：B．【变式42】（2023•广东模拟）已知点M（﹣2，3），点N（2，a），且MN∥x轴，则a的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3【答案】D【解答】解：∵点M（﹣2，3），点N（2，a），且MN∥x轴，∴a＝3，故选：D．【变式43】（2022春•青秀区校级期中）在平面直角坐标系中，平行于坐标轴的线段PQ＝5，若点P坐标是（﹣2，1），则点Q的坐标不可能是（）A．（3，1） B．（﹣7，1） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣6）【答案】D【解答】解：如图所示，过点P（﹣2，1）作平行于坐标轴的直线，分别取线段PQ1＝PQ2＝PQ3＝PQ4＝5，点Q不在第四象限．故选：D．考点五：坐标确定位置例5.（2023春•邯山区校级期中）以下能准确表示邯郸地理位置的是（）A．河北省的南部 B．东经114°，北纬36° C．与安阳市相邻 D．在北京的西南方向【答案】B【解答】解：A、河北省的南部，不符合题意；B、东经114°，北纬36°，符合题意；C、与安阳市相邻，不符合题意；D、在北京的西南方向，不符合题意；故选：B．【变式51】（2023•台州）如图是中国象棋棋盘的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为（﹣2，2），则“炮”所在位置的坐标为（）A．（3，1） B．（1，3） C．（4，1） D．（3，2）【答案】A【解答】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：（3，1）．故选：A．【变式52】（2023•蔚县校级模拟）小明利用平面直角坐标系xOy画出来的某公园景区地图如图所示，若湖心亭B、游乐园D的坐标分别为（﹣4，3），（2，﹣2），则距离原点O最远的景点是（）A．燕赵之光A B．湖心亭B C．望春亭C D．游乐园D【答案】B【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示：由图可得：，所以距离原点O最远的景点是湖心亭B．故选：B．【变式53】（2023春•新罗区期中）如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“兵”位于点（﹣4，1），“馬”位于点（1，﹣2），则“帅”位干点（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣2）【答案】D【解答】解：如图，根据题意建立平面直角坐标系：由图可得“帅”的坐标为：（﹣2，﹣2），故选：D．考点六：点在坐标系中的平移例6.（2022•东城区二模）在平面直角坐标系中，将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是（）A．（1，3） B．（7，7） C．（1，7） D．（7，3）【答案】C【解答】解：将点M（4，5）向左平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的点的坐标是（4﹣3，5+2），即（1，7），故选：C．【变式61】（2021秋•灌南县校级月考）在平面直角坐标系中，将点（2，﹣5）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（0，﹣5）【答案】B【解答】解：点（2，﹣5）关于原点的对称点为（﹣2，5），将其向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（﹣4，5），故选：B．【变式62】（2022•岳麓区校级模拟）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'，则A'的坐标为（2，3）．【答案】见试题解答内容【解答】解：点A（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点A'的坐标为（﹣2+4，3），即（2，3），故答案为：（2，3）．考点七：两点间距离公式例7.（2022春•荣县校级期中）平面直角坐标系中有A（3，﹣4）、B（﹣2，﹣4）两点，那么A、B两点的之间的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解答】解：∵A（3，﹣4）、B（﹣2，﹣4），∴A、B两点的之间的距离为＝5．故选：D．【变式71】（2023春•老河口市期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）与点B（0，4）的距离是5．【答案】5．【解答】解：根据两点之间的距离公式可得：．故答案为：5．【变式72】（2022秋•和平区校级期末）已知点M（﹣2，5），点N（a，b），若点N在第一象限，MN所在直线平行于x轴，且M、N两点之间的距离为6，则ab的值为20．【答案】20．【解答】解：∵MN所在直线平行于x轴，M、N两点之间的距离为6，∴a﹣（﹣2）＝6，b＝5，解得a＝4，b＝5，∴ab＝4×5＝20．故答案为：20．考点八：关于x轴、y轴对称的点例8.（2023•容县一模）点P的坐标为（﹣8，﹣3），则点P关于x轴对称的点P1的坐标是（）A．（8，3） B．（﹣8，3） C．（﹣8，﹣3） D．（8，﹣3）【答案】B【解答】解：点P坐标是（﹣8，﹣3），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣8，3），故选：B．【变式81】（2023•灞桥区模拟）在平面直角坐标系中，与直线y＝﹣3x关于x轴对称的直线上有一点（m，6），则m的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【答案】A【解答】解：把y＝﹣6代入y＝﹣3x，得：﹣3x＝﹣6，解得x＝2，∴m＝2．故选：A．【变式82】（2023•昭平县三模）已知点P的坐标是（4，5），则点P关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（﹣5，4）【答案】B【解答】解：∵P（4，5），∴点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，5）．故选：B．【变式83】（2023•杏花岭区校级模拟）在平面直角坐标系中，若点A（﹣1，a+b）与点B（a﹣b，3）关于y轴对称，则点C（﹣a，b）落在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解答】解：∵点A（﹣1，a+b）与点B（a﹣b，3）关于y轴对称，∴，解得：，则点C（﹣a，b）即（﹣2，1）在第二象限．故选：B考点九：关于原点对称例9.（2023•凉山州）点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（）A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）【答案】D【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，3）．故选：D．【变式91】（2023•临安区二模）若点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点成中心对称，则a，b的值分别为（）A．a＝3，b＝﹣2 B．a＝﹣3，b＝﹣2 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣3，b＝2【答案】D【解答】解：∵点A（a，﹣2），B（3，b）关于原点对称，∴a＝﹣3，b＝2．故选：D．【变式92】（2023春•盐田区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）与点B（a，b）关于坐标原点O中心对称，则a+b的值为（）A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5【答案】D【解答】解：∵点A（3，2）与点B（a，b）关于坐标原点O中心对称，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴a+b＝﹣5，考点十：坐标与图形的变化对称例10.2023•青羊区校级模拟）已知点A（4，﹣3）和点B是坐标平面内的两个点，且它们关于直线x＝2对称，则平面内点B的坐标为（）A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）【答案】A【解答】解：设点B的横坐标为x，∵点A（4，﹣3）与点B关于直线x＝﹣3对称，∴＝2，解得x＝0，∵点A、B关于直线x＝2对称，∴点A、B的纵坐标相等，∴点B（0，﹣3）．故选：A．【变式101】（2022秋•兰考县期末）与点P（3，4）关于直线y＝x对称的点是（）A．（﹣3，4） B．（3，﹣4） C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）【答案】D【解答】解：点P（3，4）关于直线y＝x对称的点是（4，3）．故选：D．【变式102】（2023•佛山开学）在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（）A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3）【答案】C【解答】解：把A点和直线x＝1，向左移动1个单位得：A′（3，3）和直线x＝0，点A′（3，3）关于x＝0的对称点为B（﹣3，3），把B（﹣3，3）再向右平移1个单位得：（﹣2，3），故选：C．【变式103】（2022秋•长沙期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过点A且平行于x轴，交y轴于点（0，1），△ABC关于直线l对称，点B的坐标为（﹣1，﹣1），则点C的坐标为（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【答案】B【解答】解：根据题意得出点A和点B是关于直线y＝1对称的对应点，它们到y＝1的距离相等是2个单位长度，所以点C的坐标是（﹣1，1+2），即（﹣1，3）．故选：B．1．（2023•花溪区模拟）点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为A（4，3），则点B的坐标是（）A．（4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣4，3） D．（﹣4，﹣3）【答案】B【解答】解：∵点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为A（4，3），∴点B的坐标是：（4，﹣3）．故选：B．2．（2022•广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（）A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）【答案】A【解答】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），故选：A．3．（2023•惠州二模）在平面直角坐标系中，点P（a，b）关于y轴对称的点Q（2，3），点P所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解答】解：∵点P与点Q（2，3）关于y轴对称，∴点P坐标为（﹣2，3），∴点P在第二象限，故选：B．4．（2023•南山区校级二模）剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为（m，3），其关于y轴对称的点F的坐标为（4，n），则m+n的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣9【答案】A【解答】解：∵图中点E的坐标为（m，3），其关于y轴对称的点F的坐标为（4，n），∴m＝﹣4，n＝3，∴m+n＝﹣4+3＝﹣1，故选：A．5．（2023•高明区二模）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（2，3）【答案】A【解答】解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称点Q的坐标为（﹣2，﹣3），故选：A．6．（2023•泰山区校级二模）如图，在方格纸中，点P，Q，M的坐标分别记为（0，2），（3，0），（1，4）．若MN∥PQ，点N在格点上，则点N的坐标是（4，2）．【答案】（4，2）．【解答】解：由题意可得：P（0，2）、M（1，4），∴点P向右移动了1个单位长度，向上移动了2个单位长度，得到点M，∴把Q（3，0）向右移动了1个单位长度，向上移动了2个单位长度得到N（4，2），∴点N的坐标是N（4，2），故答案为：（4，2）．1．（2023春•公安县期中）根据下列表述，能确定具体位置的是（）A．万寿塔北偏东50°，320米处 B．万达影院3号厅2排 C．北纬30° D．沙市区北京路【答案】A【解答】解：A、万寿塔北偏东50°，320米处，能确定具体位置，故本选项符合题意；B、万达影院3号厅2排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；C、北纬30°，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；D、沙市区北京路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．故选：A．2．（2023•武胜县模拟）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，﹣b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，﹣b＜0，∴点B（a，﹣b）所在的象限是：第三象限．故选：C．3．（2023春•东莞市校级期中）已知点M（3，﹣2）与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离是4，则点N的坐标为（）A．（4，﹣2） B．（3，﹣4） C．（3，4）或（3，﹣4） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）【答案】D【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，∴b＝﹣2，∵N到y轴的距离等于4，∴a＝±4，∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．故选：D．4．（2023•东台市一模）在平面直角坐标系中，直线AB平行于y轴，A点坐标为（﹣3，2），B点坐标可能为（）A．（4，2） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣4，2）【答案】B【解答】解：∵直线AB平行于y轴，∴点A，B的横坐标相同，∵A点坐标为（﹣3，2），∴B点坐标的横坐标为﹣3，所以A，C，D，不符合题意，B，符合题意；故选：B．5．（2023春•朝阳区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a+3b，1），B（2，a﹣b），C（﹣5，4），若AB∥x轴，AC∥y轴，则a+b的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【答案】B【解答】解：∵A（a+3b，1），B（2，a﹣b），C（﹣5，4），AB∥x轴，AC∥y轴，∴1＝a﹣b，a+3b＝﹣5，∴a﹣b+（a+3b）＝1+（﹣5），即2a+2b＝﹣4，∴a+b＝﹣2，故B正确．故选：B．6．（2023春•丰台区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，点M（3，﹣4）关于y轴对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣4） B．（3，﹣4） C．（3，4） D．（﹣3，4）【答案】A【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点M（3，﹣4）关于y轴对称的点B的坐标是（﹣3，﹣4），故选：A．7．（2023春•巴南区校级月考）已知点P（a﹣1，a2﹣9）在y轴上，则点P的坐标为（0，﹣8）．【答案】（0，﹣8）．【解答】解：因为点P（a﹣1，a2﹣9）在y轴上，所以a﹣1＝0，即a＝1，所以点P的坐标为（0，﹣8）；故答案为：（0，﹣8）．8．（2022春•洛江区期末）如图，在平面直角坐标系中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（3，4），（1，﹣1），（7，﹣1），则点D的坐标是（9，4）．【答案】（9，4）．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（3，4），（1，﹣1），（7，﹣1），∴AD∥BC∥x轴，BC＝6，∴顶点D的坐标为（9，4）．故答案为：（9，4）．9．（2022秋•平湖市期末）在平面直角坐标系内，线段AB平行于x轴，且AB＝3，若点B的坐标为（2，4），则点A的坐标是（5，4）或（﹣1，4）．【答案】（5，4）或（﹣1，4）