专题02整式与因式分解（讲义）中考数学一轮复习22

专题02整式与因式分解1．了解整数指数幂的意义和基本性质，掌握用科学记数法表示数；2．掌握整式的概念、合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法、减法、乘法运算；3．能推导乘法公式（a+b）（ab）=a²b²，（a±b）²=a²±2ab+b²，了解公式的几何背景，并能利用公式进行灵活计算；4．掌握提公因式法、公式法因式分解。考点1：科学记数法与近似数把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.注：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.近似数：接近准确值而不等于准确值的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.考点2：整式的有关概念1．单项式：由数与字母的乘积积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．注：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．注：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．3.多项式的降幂与升幂排列：

把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．注：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；

（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．4．整式：单项式和多项式统称为整式．考点3：整式的化简与求值1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．注：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．注：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“”，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“”，括号内各项的符号都要改变．5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．考点4：整式乘法与因式分解（1）整式的乘法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.注：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.（2）、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：；两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.注：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.（3）、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.注：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【题型1：科学记数法与近似数】【典例1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）2023年5月21日，盐城市家长学校总校五月课堂正式开讲，直播点击量达105000人次．数据105000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：数据105000用科学记数法表示为．故选：A．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．1．（2023·江苏镇江·统考中考真题）据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，即可得到答案．【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，n等于原数的整数位数减1，∴，故答案选：A．【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．2．（2023·江苏·统考中考真题）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约．数据4900用科学记数法表示为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】将4900写成的形式即可，其中，n为正整数．【详解】解：4900的小数点向左移动3位得4.9，因此，故选C．【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是确定中a和n的值．3．（2017·江苏·中考真题）小亮用天平称得一个罐头的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：故答案选D.考点：近似数4．（2022·江苏苏州·统考二模）截止2021年1月10日14：26，美国新冠疫情累计确诊人数为22699938，精确到万位，用科学记数法表示为（

）A．22.699938×108 B．22.7×1010 C．2.27×108 D．2.270×107【答案】D【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤∣a∣＜10，n为整数．【详解】解：．故选：D．【点睛】本题考查了科学记数法近似数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．5．（2022·江苏泰州·模拟预测）（1）近似数万精确到位．（2）用科学记数法表示米厘米．【答案】百【分析】（1）根据精确值的确定方法，首先得出原数据，再从原数据找出5后面0所在数据的位置，即可确定精确的位数（2）先根据1米厘米将单位统一，再将原数按照科学记数法的定义表示即可【详解】（1）近似数，5后面0在数据的百位，∴近似数万精确到百位，故答案为：百（2）∵，故答案为：【点睛】本题主要考查了精确值和科学记数法，属于识记的内容，需要牢固掌握【题型2：整式的有关概念】【典例2】（2022·江苏宿迁·统考中考真题）按规律排列的单项式：，，，，，…，则第20个单项式是．【答案】【分析】观察一列单项式发现偶数个单项式的系数为：奇数个单项式的系数为：而单项式的指数是奇数，从而可得答案．【详解】解：，，，，，…，由偶数个单项式的系数为：所以第20个单项式的系数为第1个指数为：第2个指数为：第3个指数为：指数为所以第20个单项式是：故答案为：【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数的含义，数字的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法”是解本题的关键．1．（2023·江苏泰州·统考二模）单项式的次数是．【答案】3【分析】根据单项式的次数的定义（一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数）即可得．【详解】解：单项式的次数是，故答案为：3．【点睛】本题考查了单项式的次数，熟记定义是解题关键．2．（2023·江苏淮安·校考一模）如图，观察各图中小圆点的摆放规律，并按这样的规律继续摆放下去，则第个图形中小圆点的个数为．【答案】144【分析】根据题目中各个图形的小黑点的个数，可以发现其中的规律，从而可以得到第个图形中小圆点的个数．【详解】解：由题意可得，第一个图形的小圆点的个数为：，第二个图形的小圆点的个数为：，第三个图形的小圆点的个数为：，第十个图形的小圆点的个数为：，故答案为：．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的小圆点的变化规律．3．（2023·江苏常州·校考一模）生活处处有数学：在五一出游时，小明在沙滩上捡到一个美丽的海螺，经仔细观察海螺的花纹后画出如图所示的螺旋线，该螺旋线由一系列直角三角形组成，则第2023个三角形的面积为．【答案】【分析】根据勾股定理分别求出根据三角形的面积公式分别求出第一个、第二个、第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：第1个三角形的面积，由勾股定理得，，则第2个三角形的面积，则第3个三角形的面积，则第个三角形的面积；∴第2023个三角形的面积为；故答案为：．【点睛】本题考查图形类规律探究．熟练掌握勾股定理，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键．4．（2023·江苏扬州·统考一模）下列算式中字母A、B、C各表示一个不同的数字，则字母C表示的数是（

）A．6 B．8 C．4 D．9【答案】B【分析】由题意知，被6整除，则为偶数222或444或666或888，然后根据这几个偶数除以6后，所得的值要满足字母A、B、C各表示一个不同的数字，然后进行判断即可．【详解】解：由题意知，被6整除，∴为偶数222或444或666或888，∵，，，，字母A、B、C各表示一个不同的数字，∴，，，故选：B．【点睛】本题考查了整式的运算．解题的关键在于理解题意．5．（2023·江苏扬州·校考模拟预测）今天是星期五，你知道再过天是星期几吗？大家都知道，一个星期有7天，要解决这个问题，我们只需知道N﹣M被7除的余数是多少．假设今天是星期天，如果余数是1，那么再过这么多天就是星期一；如果余数是2，那么再过这么多天就是星期二；如果余数是3，那么再过这么多天就是星期三…因此，我们就用下面的探究来解决这个问题．首先通过列出左侧的算式，可以得出右侧的结论：（1），显然被7除的余数为2；（2），显然被7除的余数为4；（3），显然被7除的余数为1；（4），显然被7除的余数为；（5），显然被7除的余数为；（6），显然被7除的余数为；（7），显然被7除的余数为；…然后仔细观察右侧的结果所反映出的规律，我们可以猜想出210被7除的余数是．所以，再过天必是星期．【答案】（4）2,；（5）；（6）；（7）；2；日【分析】只需把写成为自然数，为小于7的非负整数），从中发现余数的规律：除前2个数外，其余的数每3个一循环，由此即可解决问题．【详解】解：（4），被7除的余数为2．故答案为2；（5），被7除的余数为4．故答案为，4；（6），被7除的余数为1．故答案为，；（7），被7除的余数为2．故答案为，，对于，当分别取1，2，3，时，所对应的余数分别为2，4，1，2，4，1，2，4，由此可得：被7除的余数是2，故答案为2；，，被7除的余数是2．今天是星期五，再过天必是星期天，故答案为：天．【点睛】本题主要考查数字型规律探究，找到数字规律是解题的关键．【题型3：整式的化简求值】【典例3】（2023·江苏镇江·统考中考真题）下列运算中，结果正确的是(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算逐项分析，即可求解．【详解】解：，故A选项错误；，故B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算和除法运算、幂的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键．1．（2023·江苏盐城·校考二模）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据乘方的意义、整式的加法法则，同底数幂的除法法则，有理数的加减运算法则即可解答．【详解】解：∵，∴不成立，故项不符合题意；∵是同类项，∴成立，故项符合题意；∵，∴不成立，故项不符合题意；∵，∴不成立，故项不符合题意；故选．【点睛】本题考查了乘方的意义、整式的加法法则，同底数幂的除法法则，有理数的加减运算法则，掌握对应法则是解题的关键．2．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）下列运算正确的（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据合并同类项的法则及同底数幂乘法法则逐个判断即可得到答案；【详解】解：，故A选项错误，不符合题意，，故B选项符合题意，，故C选项错误，不符合题意，，故D选项错误，不符合题意，故选：B；【点睛】本题考查合并同类项的法则及同底数幂乘法法则，解题的关键是熟练掌握．3．（2022·江苏盐城·统考一模）下列计算结果正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据积的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可求解．【详解】解：A.，故符合题意；B.，故不符合题意；C.，故不符合题意；D.，故不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键．4．（2023·江苏淮安·校考二模）计算的结果为．【答案】/【分析】先去括号，再合并同类项即可．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题关键．5．（2023·江苏·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案．【详解】原式．当时，原式．【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键．【题型4：整式乘法与因式分解】【典例4】（2023·江苏盐城·校联考二模）化简所得的结果等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可．【详解】解：，故选A【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若实数m满足，则．【答案】【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．2．（2022·江苏徐州·模拟预测）分解因式：．【答案】【分析】利用平方差公式进行因式分解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．3.（2023·江苏扬州·校考模拟预测）因式分解：．【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行分解即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题主要考查因式分解，解答的关键是掌握因式分解的方法．4．（2023·江苏泰州·校考三模）若，则代数式的值是．【答案】3【分析】等式可变形为，再根据非负数的性质可求出，．将所求式子因式分解变形为，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，，∴，，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查完全平方公式，非负数的性质，因式分解，代数式求值等知识．根据完全平方公式将等式变形，结合非负数的性质求出和是解题关键．5．（2023·江苏苏州·统考二模）如果实数x，y满足方程组，那么．【答案】【分析】把分解因式，再整体代入即可．【详解】解：∵实数x，y满足方程组，∴；故答案为：【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，二元一次方程组的解的含义，熟记平方差公式是解本题的关键．1．杭州第19届亚运会公众售票官方网站8日上午上线开放注册，首批上架比赛项目包括举重、克柔术、网球、花样游泳、击剑、摔跤、蹦床、高尔夫球、跳水、游泳、软式网球、攀岩等12个项目，总计预售113700张门票，数据113700用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：，故选B．【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握10的指数比原来的整数位数少1是解题的关键．2．用四舍五入法对有理数取近似数，其中正确的是（

）A．（精确到十分位） B．（精确到个位）C．（精确到） D．（精确到）【答案】D【分析】本题主要考查有理数的近似数估算方法，精确到十分位要看百分位，再进行四舍五入，精确到个位要看十分位，再进行四舍五入，精确到百分位，要看百分位的下一位，再进行四舍五入，以此类推，直接估算即可．【详解】解：（精确到十分位），故选项不符合题意，选项符合题意；（精确到个位），故选项不符合题意；（精确到），故选项不符合题意；故选：．3．在多项式中，次数和项数分别为（

）A．3，2 B．2，3 C．3，3 D．1，3【答案】B【分析】根据多项式的次数和项数的定义进行分析，即可作答．【详解】解：因为多项式，所以多项式的次数和项数分别为2，3，故选：B【点睛】本题考查了多项式的次数和项数的定义，难度较小；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．4．关于整式的概念，下列说法正确的是（）A．0不是单项式B．的次数是6C．的系数是D．是三次三项式【答案】D【分析】本题考查了多项式和单项式的相关概念，单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．熟练掌握概念是解题的关键．【详解】解：A、单一的数字和字母是单项式，故0是单项式，故A不符合题意；B、的次数是，故B不符合题意；C、的系数是，故C不符合题意；D、是三次三项式，故D符合题意；故选：D．5．下列去括号中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了去括号的方则，掌握“去括号时，若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号”是解题的关键．【详解】解：A.，运算正确；，运算错误；C.，运算错误；D.，运算错误；故选A．6．已知，则的值为（

）A．3 B．5 C．9 D．6【答案】C【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，由得到，代入原式计算即可求出值．【详解】解：，，，故选：C．7．下列从左到右的变形为因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解得意义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案，正确分解因式是解题的关键．【详解】解：A、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项错误；B、，没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，该选项错误；C、是把一个多项式转化成几个整式积的形式，该选项正确；D、，没有将多项式化为几个最简整式的乘积的形式，不是因式分解，该选项错误；故选：C．8．太阳半径约为696000000m，用科学记数法表示为m．【答案】【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：696000000m用科学记数法表示为；故答案为．9．把精确到百分位是．【答案】【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，熟知精确到哪一位，即对该位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键，精确到百分数，即对千分位上的数字进行四舍五入即可．【详解】解：把精确到百分位是，故答案为：．10．把多项式按x的降幂排列为【答案】【分析】此题考查了将多项式进行降幂排列的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．运用多项式的降幂排列知识进行求解．【详解】解：由题意得，将多项式按x的降幂排列为，故答案为：．11．如果单项式与是同类项，那么．【答案】3.【分析】根据同类项的概念相同字母的指数也相同即可得出指数是几再代入求值即可.【详解】解：由同类项的概念相同字母的指数也相同，可得，，所以，故填：3.【点睛】本题考查同类项的概念及代入求值，熟记同类项的概念是正确解题的关键.12．计算的结果是．【答案】【分析】本题主要考查了同底数幂相乘的运算法则及乘法的运算律等知识点，直接利用同底数幂相乘的运算法则及乘法的运算律化简得出答案即可，正确掌握相关运算法则是解题关键．【详解】．故答案为：．13．若，且，则等于．【答案】【分析】本题考查了平方差公式的应用，能准确理解并运用该知识解决相关问题是关键．根据平方差公式进行求解即可．【详解】解：，，，故答案为：．14．因式分解：．【答案】【分析】本题考查了根据平方差公式“”进行因式分解，直接根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：；故答案为：．15．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查整式的乘法，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．（1）运用多项式乘以多项式的法则解题即可；（2）运用多项式乘以多项式的法则解题即可．【详解】（1）；（2）．16．先化简，再求值：，其中，．【答案】，11【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．【详解】解：，当，时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．1．截止到年月，电影《满江红》的累计票房达到了，用科学记数法表示为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用科学记数法的表示方法即可求解．【详解】，故选：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．2．我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田，下列关于10.75亿的说法正确的是（

）A．10.75亿是精确到亿位 B．10.75亿是精确到十亿位C．10.75亿用科学记数法表示为，则a=1.075，n=9 D．10.75亿用科学记数法表示为，则a=10.75，n=8【答案】C【分析】根据科学记数法与精确度的定义即可判断求解．【详解】解：10.75亿精确到百万位，故A、B选项不符合题意；10.75亿用科学记数法表示为10.75亿=1.075×109，则a=1.075，n=9，故C选项符合题意，D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，解题关键是正确确定a的值以及n的值和精确度的定义．3．已知，，．则多项式的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知，得到，将式子右边的用含有的式子代替，得到，整理得，结合，即可得到．【详解】解：，，，，，，，，，．故选：．【点睛】本题考查了整式的加减，代数式求值，结合已知得到想求得式子是解答本题的关键．4．我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对数和式的运算进行了深入研究与总结，运用其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题.已知，为实数，且，，计算可得:，，，……由此求得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据题意求出，进而推出，由此代值计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出是解题的关键．5．）如图，矩形的周长是10，以，为边向外作正方形和正方形，若正方形和的面积之和为17，那么矩形的面积是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】设矩形的长为，宽为，根据题意由正方形和的面积之和为17，可得，矩形的周长是10，可得，根据完全平方公式的变式可得，代入计算即可算出的值，即可得出答案．【详解】解：设矩形的长为，宽为，根据题意可得，，，则，，，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，根据题意应用完全平方公式的变式进行求解是解决本题的关键．6．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②）盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了整式的加减计算的实际应用，首先可设小长方形的长与宽，根据两个阴影周长的和，列出整式，根据边长与m的关系，将消去，即可计算出阴影部分的周长．【详解】解：设小长方形长为，宽为，∴左下角阴影部分周长；右上角阴影部分周长，∴两块阴影部分的周长之和∵，∴故选B．7．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，相应视频在某短视频平台的点赞量达到1500000次，数据1500000用科学记数法表示为．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．【详解】解：150万．故答案为：．【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．8．已知，，则．【答案】【分析】直接将原式提取公因式，再把已知代入求出答案．【详解】解：∵，，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题的关键．9．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形和4个正方形，第（2）个图案有10个三角形和8个正方形，第（3）个图案有16个三角形和12个正方形，…，依此规律，第个图案中三角形和正方形的总个数为个．（用含的式子表示）

（1）

（2）

（3）【答案】【分析】本题考查图形类规律探究，观察图形，可以得到后一个图形中的三角形的个数比前一个三角形的个数多6个，第个图形中的正方形的个数为个，再进行求解即可．解题的关键是根据已有图形，抽象出相应的数字规律．【详解】解：由图可知，后一个图形中的三角形的个数比前一个三角形的个数多6个，∴第个图案中三角形的个数为个，∵第（1）个图案有个正方形，第（2）个图案有个正方形，第（3）个图案有个正方形，∴第个图形中的正方形的个数为个，∴第个图案中三角形和正方形的总个数为个；故答案为：．10．先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】原式中括号里边利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式，当，时，原式．【点睛】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．观察：序号①②③④⑤⑥⑦数20212223242526…个位上数字12486mn…思考：（1）上面表格中m、n的值分别是多少？探究：（2）第⑩个数是什么？它个位上的数字是多少？延伸：（3）的个位数字是多少？拓展：（4）用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号．（k为正整数）【答案】（1）；（2）第⑩个数是，个位上的数字是2；（3）的个位数字是4；（4）第k个6的序号为：【分析】（1）不难看出个位上的数字是以2，4，8，6重复出现，则可求解；（2）根据表格中的规律，可表示出第10个数，即可求解；（3）结合（1）进行求解即可；（4）结合表格进行求解即可．【详解】解：（1），，，；（2）表格中的数是以2为底数，指数是从0开始的自然数，个位上的数字是以1，2，4，8，6，2，4，8，6，排列，第⑩个数是，，个位上的数字是2；（3），的个位数字是4；（4）个位上的数字是6的数的序号是：5，9，13，，第个6的序号为：．【点睛】本题主要考查列代数式，有理数的乘方，解答的关键是由表格分析出存在的规律．12．已知甲、乙两个长方形纸片，其边长如图中所示，面积分别为和．(1)①用含n的代数式表示______，______②用“”、“”或“”号填空：______；(2)若一个正方形纸片的周长与乙的周长相等，其面积设为．①该正方形的边长是______；（用含n的代数式表示）②小聪同学发现，“与的差是定值”，请判断小聪同学的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．【答案】(1)①，；②；(2)①；②与的差是定值，值为1．【分析】（1）①结果长方形的面积的计算方法可表示出为和；②作差法，可比较大小；（2）①根据乙的周长，求出正方形纸片的边长；②作差法，求出差后作差判断即可．【详解】（1）解：①由长方形的面积的计算方法得，，，故答案为：，；②，，，，故答案为：；（2）①乙的周长为：，正方形的周长与乙的周长相等，正方形的边长为，故答案为：；②，因此“与的差是定值”，故小方同学的发现是正确的．【点睛】本题考查列代数式，多项式乘以多项式，完全平方公式等知识，掌握多项式乘以多项式的计算法则是正确计算的前提，理解各个图形的周长和面积之间的关系是正确解答的关键．13．嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析：嘉淇的分析：∵为整数，5为整数，∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．(1)通过计算验证能否被3整除；(2)用嘉淇的方法证明能被3整除；(3)设是一个四位数．，，，分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据整数的除法计算即可；（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；（3）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论．【详解】（1）解：∴258能被3整除；（2）∵为整数，6为整数，∴能被3整除，能被3整除，∴能被3整除．（3）证明：，∵能被3整除，∴若“”能被3整除，则能被3整除；【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键．14．（一）情境再现借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形，利用这一图形可以推导出的乘法公式是______；（用字母a，b表示）

（二）情境延伸图2是2002年北京世界数学家大会的会标，会标是用边长分别为a，b，c的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，利用这一图形可以推导出一个关于a，b，c的怎样结论？并写出简单的推导过程；（三）问题解决如图3，A表示的是边长为1的一个正方形，面积为，B表示的是一个边长为2的正方形，C，D表示的是边长为1和2的两个长方形，B，C，D的面积和为，由于A，B，C，D拼成的是一个边长为3的正方形，所以A，B，C，D的面积和可表示为或，所以.类比上述分析过程，在图3的基础上推导：（画出图形，并写出必要的推导过程）（四）问题猜想______（直接写出结论，不用进行推导）.【答案】（一）情境再现：；（二）情境延伸：；（三）问题解决：，图见解析，推导过程见解析；（四）问题猜想：【分析】（一）情境再现：根据大正方形的面积等于两个长方形的面积与两个小正方形的面积的和。进而列等式可得结论；（二）情境延伸：根据大正方形的面积等于4个小直角三角形的面积与小正方形的面积和，进而列出等式化简可得结论；（三）问题解决：类比图3，画出图形，根据大正方形的面积等于各个小图形的面积和，列式化简可得结论；（四）问题猜想：由前几个图形面积等式观察出规律，进而由化简求解即可．【详解】解：（一）情境再现由题意，得，故答案为：；（二）情境延伸结论：，证明：由图可知，，，∴，化简，得；（三）问题解决解：如图4，A表示1个的正方形，即；B表示1个的正方形，C与D恰好可以拼成1个的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个的正方形，即：；G与H，E与F和I可以表示3个的正方形，即；而整个图形恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：；

（四）问题猜想由（三的）结论，，可猜想，，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法，利用数形结合是解题的关键．1．（2023·江苏·统考中考真题）2022年10月31日，搭载空间站梦天实验舱的长征五号B遥四运载火箭，在我国文昌航天发射场发射成功．长征五号B运载火箭可提供起飞推力．已知起飞推力约等于，则长征五号B运载火箭可提供的起飞推力约为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可．【详解】解：，则，故选：C．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，解题时注意用科学记数法表示较大的数时，中的范围是，是正整数．2．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）下列运算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方法则逐项判断即可得．【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意；B、，则此项正确，符合题意；C、，则此项错误，不符合题意；D、，则此项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．3．（2020·江苏无锡·统考中考真题）若，，则的值等于（

）A．5 B．1 C．1 D．5【答案】C【分析】将两整式相加即可得出答案．【详解】∵，，∴，∴的值等于，故选：C．【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2021·江苏镇江·统考中考真题）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（

）A．A1 B．B1 C．A2 D．B3【答案】B【分析】把A1，A2，B1，B3的式子表示出来，再结合值等于789，可求相应的n的值，即可判断．【详解】解：由题意得：A1＝2n+1+2n+3+2n+5＝789，整理得：2n＝260，则n不是整数，故A1的值不可以等于789；A2＝2n+7+2n+9+2n+11＝789，整理得：2n＝254，则n不是整数，故A2的值不可以等于789；B1＝2n+1+2n+7+2n+13＝789，整理得：2n＝256＝28，则n是整数，故B1的值可以等于789；B3＝2n+5+2n+11+2n+17＝789，整理得：2n＝252，则n不是整数，故B3的值不可以等于789；故选：B．【点睛】本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．5．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（

）

A．128 B．64 C．32 D．16【答案】A【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出，，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，∴调整后每只袋中有（个）球，∴，，∴，，

∴．故选：A．【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．6．（2022·江苏镇江·统考中考真题）分解因式：．【答案】/【分析】提公因式，即可求解．【详解】解：原式＝．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．7．（2023·江苏扬州·统考中考真题）扬州市大力推进城市绿化发展，2022年新增城市绿地面积约2345000平方米，数据2345000用科学记数法表示为．【答案】【分析】2345000用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．【详解】解：2345000的绝对值大于表示成的形式，∵，，∴2345000表示成，故答案为：．【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．8．（2021·江苏常州·统考中考真题）计算：．【答案】【分析】先去括号，再合并同类项，即可求解．【详解】解：原式==，故答案是：．【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握去括号法则以及合并同类项法则，是解题的关键．9．（2023·江苏·统考中考真题）若，则的值是．【答案】3【分析】根据已知得到，再代值求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：3.【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键．10．（2020·江苏苏州·统考中考真题）若单项式与单项式是同类项，则．【答案】4【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可.【详解】解：∵单项式与单项式是同类项，∴m1=2,n+1=2,解得：m=3,n=1.∴m+n=3+1=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键.11．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为．【答案】【分析】根据矩