第18讲特殊三角形的存在性（练习）

第18讲特殊三角形的存在性（练习）1．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AB=16，BC=12，CD=21．动点M从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度运动；动点N从B出发，在线段BA上，以每秒1个单位长的速度向点A运动，点M、N分别从C、B同时出发，当点N运动到点A时，点M随之停止运动．设运动时间为t(秒)．（1）设△AMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围；（2）当t为何值时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）；（2）t=3.5或t=【分析】（1）过点M作MH⊥AB，垂足为H，用含的代数式表示的长，再利用三角形面积公式即可得到答案．（2）先用含的代数式分别表示的长，进行分类讨论，利用腰相等建立方程求解．【详解】（1）如图，过点M作MH⊥AB，垂足为H，则四边形BCMH为矩形．∴MH=BC=12．∵AN=16t，∴；（2）由（1）可知：BH=CM=2t，BN=t，．以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若MN=AN．因为：在Rt△MNH中，，所以：MN2=t2+122，由MN2=AN2得t2+122=（16t）2，解得t=．②若AM=AN．在Rt△MNH中，AM2=（162t）2+122．由AM2=AN2得：，即3t232t+144=0．由于△=，∴3t232t+144=0无解，∴．③若MA=MN．由MA2=MN2，得t2+122=（162t）2+122整理，得3t264t+256=0．解得，t2=16（舍去）综合上面的讨论可知：当t=秒或t=秒时，以A、M、N三点为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考察的是梯形通过作辅助线化成直角三角形的问题与等腰三角形存在性问题，掌握分类讨论是解题的关键．2．（2018·上海八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边BC上一点，点E、F分别是线段AB、AD中点，联结CE、CF、EF．（1）求证：△CEF≌△AEF；（2）联结DE，当BD＝2CD时，求证：AD＝2DE．【解析】(1)在直角三角形ABC中,E为斜边AB的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CE=AE,在直角三角形ACD中,F为斜边AD的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半得到AF=CF,再由EF=EF,利用SSS即可得证;

(2)由EF为三角形ABD的中点,利用中位线定理得到EF与BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,等量代换得到EF=CD,再由EF与CD平行,得到四边形CEFD为平行四边形,可得出DE=CF,再由CF=AF,等量代换得到DE=AF.【详解】证明：（1）∵∠ACB＝90°，且E线段AB中点，∴CE＝AB＝AE，∵∠ACD＝90°，F为线段AD中点，∴AF＝CF＝AD，在△CEF和△AEF中，，∴△CEF≌△AEF（SSS）；（2）连接DE，∵点E、F分别是线段AB、AD中点，∴EF＝BD，EF∥BC，∵BD＝2CD，∴EF＝CD．又∵EF∥BC，∴四边形CFEDD是平行四边形，∴DE＝CF，∵CF＝AF＝FD，∴AD＝2DE．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质,中位线定理,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.3．（2019·上海八年级期末）已知，梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，连接BD（如图a），点P沿梯形的边，从点A→B→C→D→A移动，设点P移动的距离为x，BP＝y．（1）求证：∠A＝2∠CBD；（2）当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图（b）中的折线MNQ所示，试求CD的长．（3）在（2）的情况下，点P从A→B→C→D→A移动的过程中，△BDP是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使△BDP为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）1；（3）△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的x的取值为：0或3或5﹣或或10或9+．【分析】(1)根据等腰三角形两个底角相等可以进一步证明∠A＝2∠CBD,(2)根据题意描述，可以确定AB=5，AB+BC＝8,再通过作DE⊥AB于来构造直角三角形可以求出CD长度.(3)根据题目描述分情况来讨论哪个点为等腰三角形顶点，进而列方程进行求出P点位置情况.【详解】（1）证明：∵AB∥CD，BC⊥AB，AB＝AD，∴∠ABD＝∠CDB，∠A+∠ADC＝180°，∠ABD+∠CBD＝90°，∠ABD＝∠ADB，∴∠A+2∠ABD＝180°，2∠ABD+2∠CBD＝180°，∴∠A＝2∠CBD；（2）解：由图（b）得：AB＝5，AB+BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如图所示：则DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝1；（3）解：可能；理由如下：分情况讨论：①点P在AB边上时，当PD＝PB时，P与A重合，x＝0；当DP＝DB时，BP＝2BE＝2，∴AP＝3，∴x＝3；当BP＝BD＝＝时，AP＝5﹣，即x＝5﹣；②点P在BC上时，存在PD＝PB，此时，x＝5+＝；③点P在AD上时，当BP＝BD＝时，x＝5+3+1+2＝10；当DP＝DB＝时，x＝5+3+1+＝9+；综上所述：△BDP可能为等腰三角形，能使△BDP为等腰三角形的x的取值为：0或3或5﹣或或10或9+．【点睛】本题主要考察学生对等腰三角形的性质、数形结合能力、还有分类讨论问题的能力，掌握数性结合运用是解决此题的关键.4．（2020·上海八年级期末）已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．（1）当点F在边AC上时，①求证：；②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．（2）当是等腰三角形时，求BE的长．【答案】（1）①见详解；②；（2）BE=8或124．【分析】（1）①先证明∆AGF≅∆AGE，从而得AD垂直平分FE，根据中垂线的性质，即可得到结论；②分两种情况：（a）当点F在线段AC上时，（b）当点F在AC的延长线上时，分别求出y与x之间的函数解析式，即可；（2）分三种情况：①当∠AFD是顶角，即FA=FD时，②当∠FAD是顶角，即FA=DA时，③当∠ADF是顶角，即DF=DA时，分别求解，即可．【详解】（1）①∵，，∴∠BAC=60°，∵AD平分，∴∠FAG=∠EAG，∵，∴∠AGF=∠AGE=90°，又∵AG=AG，∴∆AGF≅∆AGE，∴FG=EG，∴AD垂直平分FE，∴DE=DF；②∵在中，，，，∴AB=2AC=12，（a）当点F在线段AC上时，如图，∵，，∴AE=12x，∵∆AGF≅∆AGE，∴AF=AE=12x，∴y=6(12x)=x6，∵0＜AF≤6，∴0＜12x≤6，∴6≤x＜12；（b）当点F在AC的延长线上时，如图，∵，，∴AF=AE=12x，∴y=12x6=6x，∵6＜AF，∴6＜12x，∴0＜x＜6；综上所述：y与x之间的函数解析式为：；（2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图∵，∴AF=FD=6y，∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，∴∠FDG=∠FAG=30°，∵∠C=90°，∠ADC=90°30°=60°，∴∠CDF=30°，∴DF=2CF，∴6y=2y，解得：y=2，∴AF=62=4，∴AE=AF=4，∴BE=124=8；②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，∴AD=2CD=2×（6÷）=4，∴AE=AF=4，∴BE=124；③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图，∵DC⊥AF，∴CF=CA=6，∴AF=12，∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去，综上所述：BE=8或124．【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，中垂线的性质以及函数解析式，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质以及分类讨论思想，是解题的关键．5.如图，在平面直角坐标系中，点P在直线上（点P在第一象限），过点P作PA⊥x轴，垂足为A，且OP＝．（1）求点P的坐标；（2）如果点M和点P都在反比例函数（k≠0）的图像上，过点M作MN⊥x轴，垂足为N．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M的坐标．【难度】★★【解析】（1）∵点P在直线上，∴设．∵OP＝，∴，解得：，∴；∵点P都在反比例函数（k≠0）的图像上，∴．如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），当N在点A的左侧时，，，∴，∴在反比例函数图像上；当N在点A的右侧时，，，∴，∴不在反比例函数图像上，∴．【总结】本题主要考察一次函数的综合问题，注意利用待定系数法确定函数解析式，并且注意对全等的分类讨论．6.如图所示，直线和x轴，y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形?若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．【难度