6.6.3球的表面积和体积（教学设计）高一数学（北师大版2019）

北师大版必修第二册第六章《立体几何初步》6.6.3球的表面积和体积（教学设计）【教学目标】1.掌握球的截面特征；（直观想象）2.掌握球的表面积和体积的计算公式，并能运用公式解决简单的实际问题（数学运算）【教学重点】球的表面积和体积公式【教学难点】与球相关的简单组合体的表面积与体积的计算【教学过程】一、实例分析，提出问题问题1：球也是旋转体，它是由什么平面图形旋转得到的？以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.问题2：一条直线与圆相交，在圆内的部分是弦.把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面是什么？圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.球的截面的性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）截面半径r与球的半径R和球心到截面的距离d有下面的关系：与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.课本P254思考交流：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点P，可以作球的无数条切线.那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？过球外一点P，可以作球的无数条切线.那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？解：设过点P的直线与球O相切于点A，则平面POA与球面的交线是球的大圆(如图)，由直线与圆相切的性质可得OA⊥AP，∴∵点P到球心O的距离PO为定值，∴AP是定值，∴过球外一点的所有切线的切线长都相等，所有切点组成一个圆.球的表面积和体积可用下面的公式来计算：S球面＝4πR2，V球＝43πr3(二、抽象概括，得出概念1.球的截面球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.用一个平面α去截半径为R的球O，有以下性质：（1）若平面α过球心O，则截线是以球心O为圆心的圆.（2）若平面α不过球心O，如下图，不妨设OO′⊥α于点O′，记OO′＝d，对于平面与球面的任意一个公共点P，都满足OO′⊥O′P，所以O′P＝eq\r(R2－d2)，此时截线是以点O′为圆心、以r＝eq\r(R2－d2)为半径的圆.2.球的切线（1）定义：当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点.（2）性质：过球外一点的所有切线的切线长都相等.3.球的表面积与体积公式条件球的半径为R表面积公式S＝4πR2体积公式V＝eq\f(4,3)πR3【概念辨析】1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”.(1)球的体积是关于球半径的一个函数.(√)(2)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(×)(3)两个球的半径之比为1∶3，则其体积之比为1∶9.(×)(4)球心与其不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于截面.(√)三、典例剖析，理解概念课本P255例6例6如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变)解：∵∴V半球＜V圆锥，∴冰激凌融化了，不会溢出杯子.课本P255例7例7一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm.求钢球的半径.解：如图，设钢球半径为Rcm，根据题意，得解得R＝1.5，所以钢球的半径为1.5cm.【当堂训练】1．用平面α截一个球，所得的截面面积为4π，若α到该球球心的距离为5，求球的体积解：设截面圆半径为r，球半径为R，球心到截面的距离为d.根据题意可得：πr2=4π，所以球的半径为R=r所以球的体积为43四、迁移应用，掌握概念球的截面问题1.已知球的两平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1.求这个球的表面积.解如右图，设以r1为半径的截面面积为5π，以r2为半径的截面面积为8π，O1O2＝1，球的半径为R，OO2＝x.可得下列关系式：req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝R2－x2，且πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝π(R2－x2)＝8π，req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝R2－(x＋1)2，且πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝π[R2－(x＋1)2]＝5π.∴π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π.∴R2－x2－R2＋x2＋2x＋1＝3.∴2x＝2，即x＝1.又∵π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，即R2＝9.∴R＝3.∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.2.如右图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm.若不计容器的厚度，则球的体积为()A.eq\f(866π,3)cm3B.eq\f(500π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3 D.eq\f(2048π,3)cm3解：利用球的截面性质结合直角三角形求解.如右图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm).设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42.解得R＝5.故V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500π,3)(cm3).，选B.与球有关的切接问题1.球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝eq\f(a,2)，过在一个平面上的四个切点作截面；2.球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面，得r2＝eq\f(\r(2),2)a；3.长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径.若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则过球心作长方体的对角面，得球的半径为r3＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)；4.正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\r(3)a；5.正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝eq\f(\r(6),2)a.1．已知三棱锥A-BCD的所有棱长均为22,球O为三棱锥A-BCD的外接球,则球O的体积为（

A．4π B．6π C．432．若一个正四棱柱的表面积为64，高为2，则该正四棱柱的外接球的体积为【参考答案】1．C【详解】因为三棱锥A-BCD的所有棱长均为22，故可把已知三棱锥A-BCD放置在正方体A1

设正方体的棱长为a，则a2+a三棱锥A-BCD的外接球就是正方体的外接球，故球O的半径R=3所以球O的体积V=4π2．解：设正四棱柱的底面正方形的边长为a,a>0则2a2+4a⋅2=2a2而正四棱柱的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，所以该正四棱柱的外接球的半径为R=a所以该正四棱柱的外接球的体积为V=4五、当堂检测，巩固达标1．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（

）A．4 B．13 C．43 D2．长方体的一个顶点上三条棱长分别是1，3，15，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（

）A．1256π B．125π C．253．已知一平面截球O所得截面圆的半径为2，且球心O到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为．4．一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是.【参考答案】1．D【详解】设球体的半径为R,则球的体积为43πR3，球的表面积