重难点04一次函数模型应用之“几何”问题

重难点04一次函数模型应用之“几何”问题【知识梳理】几何图形的应用1.借助与一次函数图像性质解决与面积有关问题在平面坐标系中，将一次函数的图像与面积结合在一起的问题是考查学生综合能力和热点的问题，它充分体现的数学解题中的数形结合思想，整体思想和转化思想．解决这类问题的基本步骤是：（1）确定交点坐标（可用参数表示）；（2）求出有关线段的长度；（3）将有关图形的面积化归为坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后根据题目特点利用图像与面积间的关系综合求解.（4）一次函数与坐标轴围成的面积可以推到出相应公式：2.坐标系下的等腰三角形（1）如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．（2）已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．（3）解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．（4）几何法一般分三步：分类、画图、计算．（5）代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．（两点间距离公式）3.坐标系下的直角三角形（1）解直角三角形的存在性问题，一般分三步走：第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．（2）一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照勾股定理列方程．（3）在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用得到．（4）有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般列方程更简便．【考点剖析】一、解答题1．（2022秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，直线与直线相交于点．(1)求，的值；(2)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为，求的值．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）把点代入，把代入，即可求解；（2）分别表示出的坐标，根据，列出绝对值方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：把点代入，得，把代入得，解得．（2）解：由（1）知直线的解析式为，直线与直线的交点的坐标为，与直线的交点的坐标为.∵，∴，即，∴或，∴或．【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键．2．（2022秋·安徽宿州·八年级校联考期中）如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A、，点、均在函数图象上．(1)判断点是否在直线上，并说明理由；(2)当时，求的取值范围；(3)在轴上是否存在点，使得的面积为3？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点在直线上，见解析(2)(3)存在，点P的坐标为或【分析】（1）在中，令得，即知，在直线上；（2）在中，令得，得，令得，得，然后问题可求解；（3）求出，的坐标，由的面积为3，可得，从而可得的坐标．【详解】（1）解：，在直线上，理由如下：在中，令得，，在直线上；（2）解：在中，令得，解得，令得，解得，当时，的取值范围是；（3）解：存在点P，理由：由（1）知：点，由（2）知：点，设点P的坐标为，∴，∵，∴，解得，综上所述，点P的坐标为或.【点睛】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握函数图象上的点坐标满足函数解析式．3．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期中）学完第七章平面直角坐标系和第十九章一次函数后，老师布置了这样一道思考题：已知：如图，在长方形中，，点为的中点，和相交于点求的面积．小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标，根据“一次函数”的知识求出点的坐标，从而可求得的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题．【答案】【分析】以点为原点、为轴、为轴建立直角坐标系，由此可得出点、A、、的坐标，利用待定系数法即可得出直线、的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出的面积．【详解】解：如图建立直角坐标系，则点、、、、．设直线的解析式为，将点、代入，，解得：，直线的解析式为；设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为．联立直线、的解析式成方程组，，解得：，点的坐标为，．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积公式，建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出直线、的解析式是解题的关键．4．（2022秋·安徽安庆·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为．(1)求点A的横坐标及的值．(2)点在直线上，轴，交轴于点，若，求点的坐标．【答案】(1)点A的横坐标为，(2)或【分析】点A的纵坐标为，由直线：得点A的横坐标，将点A代入，即可求解；由已知条件得出、两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出的坐标．【详解】（1）直线和直线相交于点A，A点纵坐标为，，解得，，代入得，，解得，，；（2），直线：，直线：和直线：中，令，则与，，，，设，由轴，得，，解得或，或．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．5．（2023春·安徽合肥·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与一次函数的图象交于点B．(1)求点B的坐标；(2)结合图象，当时，请直接写出x的取值范围；(3)C为x轴上点A右侧一个动点，过点C作y轴的平行线，与一次函数的图象交于点D，与一次函数的图象交于点E．当时，求的长．【答案】(1)B点坐标为．(2)时，；(3)．【分析】（1）联立可直接得点的坐标；（2）根据函数图象，结合点的坐标即可求得的取值范围；（3）设点的横坐标为，则，，由求出，即可得的长．【详解】（1）解：令，解得，，点坐标为．（2）解：由（1）知，由图象由可得，当时，；（3）解：设点的横坐标为，则，，，，，，解得．，，．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，两点的距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．6．（2021秋·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2，p)在第一象限，直线PA交y轴与点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6，(1)求△COP的面积；(2)求点A的坐标及p的值；(3)若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式．【答案】(1)2；(2)A(4，0)，p=3；(3)【分析】(1)已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解；(2)求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值；(3)根据△BOP与△DOP的面积相等得出3OB=2OD，进而求出B、D两点的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可．【详解】解：(1)作PE⊥y轴于E，如下图所示：∵P的横坐标是2，则PE=2，∴,故答案为：2；(2)由题意知：∵S△AOC=S△AOPS△COP=62=4，且，故，代入OC=2，解得AO=4，∴A点的坐标为(4，0)，设直线AP的解析式是y=kx+b，代入A(4,0)和C(0,2)，，解得，∴直线AP的解析式为，代入P(2,p)，∴，故答案为：A坐标为(4，0)，p=3；(3)设D(0，n)，则OD=n，∵P(2，3)，且，,由题意知：△BOP与△DOP的面积相等，∴3OB=2OD，又OD=n，故OB=，∴，设直线BD的解析式为y=mx+n，代入，∴，解得，∴BD的解析式为：，代入点P(2，3)，即：，解得，∴直线BD的解析式为，故答案为：．【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，涉及到三角形的面积的相关知识，正确求得A的坐标是关键．7．（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线分别与x轴，y轴交于点A和点B．(1)求直线与的表达式及点A，点B的坐标；(2)x轴上是否存在点P，使的面积为24，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)点P是x轴上一动点，过点P作y轴的平行线交直线于点E，交直线于点F，求出当长为4时点P的坐标．【答案】(1)，，，(2)，(3)或【分析】（1）用待定系数法即可求出直线与的表达式，在中，分别令和可解出、的坐标；（2）由的面积为24可求出的长度，即可得的坐标；（3）设，可得，根据长为4列方程即可得答案．【详解】（1）解：把代入中，得，解得，，把代入，得，解得，，在中，令得，，在中，令得，；（2）解：存在，理由如下：如图：在轴上，，点的纵坐标为12，，，点可以在点的左边，也可以在点的右边，，；（3）解：如图：设，则，，，根据题意得：，解得或，点的坐标为或．【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及三角形面积、待定系数法、一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含的式子表示、的坐标及的长度．8．（2021秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图，直线与轴，轴分别交于两点，在轴上有一点，动点从点以每秒个单位的速度沿轴向左移动．（1）求两点的坐标；（2）求的面积与点的移动时间之间的函数关系式；（3）求当为何值时，并求此时点的坐标．【答案】（1）；（2）；（3）当t=1秒时，△COM≌△AOB，此时M点的坐标是；当t=3秒时，△COM≌△AOB，此时M点的坐标是．【分析】（1）由直线l的函数解析式，令x=0求B点坐标，令y=0求A点坐标；（2）由面积公式SOM•OC求出S与t之间的函数关系式；（3）由于OC=OA=4，∠COM=∠AOB=90°，要使△COM≌△AOB，必有OM=OB，然后分两种情况讨论即可得到M点坐标，由t秒内移动了AM，可算出t值．【详解】解：（1）对于直线当时，，∴B（0，2）；当时，，解得：，∴A（4，0），∴两点的坐标分别为；（2），．当时，；当时，．综上所述：；（3）∵OC=OA=4，∠COM=∠AOB=90°，∴当OM=OB=2时，△COM≌△AOB．设M运动的时间为t，则AM=2t．分为两种情况：①当M在OA上时．∵OM=OB=2，∴．∵AM=OAOM，∴2t=42，解得：t=1．所需要的时间是秒；②当在的延长线上时．∵OM=OB=2，∴．∵AM=OA+OM，∴2t=4+2=6，解得：t=3，所需要的时间为3秒．综上所述：当t=1秒时，△COM≌△AOB，此时M点的坐标是；当t=3秒时，△COM≌△AOB，此时M点的坐标是．【点睛】本题考查了一次函数的性质和三角形的面积公式，以及全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．9．（2021秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动．(1)求A，B两点的坐标；(2)求的面积S与点M的移动时间t之间的函数关系式；(3)求当t为何值时，并求此时M点的坐标．【答案】(1)，(2)当时，；当时，(3)秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．【分析】（1）由直线l的函数解析式，令y＝0求A点坐标，x＝0求B点坐标；（2）分情况求出OM，由面积公式S＝×OM×OC求出S与t之间的函数关系式；（3）若△COM≌△AOB，则OM＝OB，分情况求出AM，可算出t值，并得到M点坐标．【详解】（1）解：对于直线，当时，；当时，，则A，B两点的坐标分别为，；（2）∵，，∴，当时，，∴；当t＝2时，无法组成三角形；当时，，∴；（3）解：分为两种情况：①当M在OA上时，∵，∴，∴，∴t＝2÷2＝1秒，；②当M在AO的延长线上时，∵，∴，∴，∴t＝6÷2＝3秒，；即秒时，M点的坐标是或秒时，M点的坐标是．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，三角形面积计算，全等三角形的性质等，正确分类讨论是解题的关键．10．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，直线y=kx+6与x轴分别交于E，F，点E坐标为（8，0），点A的坐标为（6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．(1)求k的值；(2)当点P在第二象限内运动过程中，试写出三角形OPA的面积s与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为，并说明理由【答案】(1)(2)(3)当点P坐标为或时，三角形OPA的面积为，理由见解析【分析】（1）将点代入解析式即可求出；（2）由A点和P点的坐标可得出的底和高，用面积公式即可求出解析式，再由P点在第二象限，即可求出x取值范围；（3）根据三角形面积公式，底OA=6，高是P点纵坐标y的绝对值，代入求解即可．【详解】（1）解：将代入直线解析式，可得：，解得：；（2）由（1）可知直线解析式为：，P（x，y）是第二象限内直线上的一个动点，，且，，，，，∴三角形OPA的面积s与x的函数关系式：；（3）三角形OPA的面积==，即：，则可得：，，当时，即：，解得：，当时，即：，解得：，或，∴当点P坐标为：或时，三角形OPA的面积为．【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，函数图像上点坐标的特点，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键．11．（2022秋·安徽安庆·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，点，，，且．(1)若，求点，点的坐标(2)在（1）下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标；(3)，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）利用乘方和二次根式的性质，求出，即可；（2）求出直线的解析式，即可求解；（3）过点作轴，根据列出方程，联立，求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：，解得，所以，，（2）设直线的解析式为将，代入得，解得即直线的解析式为由题意可得：点的横坐标为，则纵坐标为即（3）过点作轴，如图则：，，，联立得，，解得故答案为：【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，涉及了二次根式的非负性，三角形面积的求解，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质．12．（2023秋·安徽安庆·八年级安庆市第二中学校考期末）如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点．(1)求的值及点、的坐标；(2)求的面积；(3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标．【答案】(1)，，；(2)2(3)点的坐标为或【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；（2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；（3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标．【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，得，解得，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，当时，，解得，即，当时，，即，，，；（2）解：把点一次函数，得，解得，，当时，，即．，；（3）解：点是轴上的一个动点，设，，，，或，点的坐标为或．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，掌握一次函数的性质是解题关键．13．（2022秋·安徽滁州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边作正方形，请解决下列问题：（1）求点和点的坐标；（2）求直线的解析式；（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）点，点；（2）；（3）点，点．【分析】（1）根据待定系数法，可得直线的解析式是：，进而求出，过点作轴于点，易证，从而求出点D的坐标；（2）过点作轴于点，证得：，进而得，根据待定系数法，即可得到答案；（3）分两种情况：点与点重合时，点与点关于点中心对称时，分别求出点P的坐标，即可．【详解】（1）经过点，，直线的解析式是：，当时，，解得：，点，过点作轴于点，在正方形中，，，，，，，在和中，∵，∴，，点；（2）过点作轴于点，同上可证得：，∴CM=OB=3，BM=OA=4，OB=3+4=7，∴，设直线得解析式为：（为常数），代入点得：，解得：，∴直线的解析式是：；（3）存在，理由如下：点与点重合时，点；点与点关于点中心对称时，过点P作PN⊥x轴，则点C是BP的中点，CMPN，∴CM是的中位线，∴PN=2CM=6，BN=2BM=8，∴ON=3+8=11，∴点综上所述：在直线上存在点，使为等腰三角形，坐标为：，．【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键，体现了数形结合思想．14．（2022秋·安徽阜阳·八年级校联考期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点C，点P为直线上一点．(1)求n和k的值；(2)若点P在射线上，且，求点P的坐标；(3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集．【答案】(1)，(2)P(3)【分析】（1）把点C代入解析式中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入中，即可求出k的值；（2）先根据解析式可求出点A和点B的值，进而可求出的面积，则可求出的面积和的面积，过点P作x轴的垂线，表示出的面积，建立方程即可；（3）根据图象即可求得．【详解】（1）把点C代入解析式中，得，∴C，把点C的坐标代入中，则，解得；（2）∵直线分别与x，y轴交于点A、B，∴A，B，过点C作轴于点M，∴，∴，∴，∵点P在射线上，∴，过点P作轴于点N，∴，∴，∴，令，则，解得，∴P；（3）由图象可知，不等式的解集为．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是运用数形结合思想．【过关检测】一、单选题1．（2021秋·安徽合肥·八年级统考期末）已知等腰三角形周长为40，则腰长y关于底边长x的函数图象是A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形和三角形的周长公式可写出y与x的函数关系式，结合x和y的取值范围，即可得出答案．【详解】解：等腰三角形的周长为40，其中腰长为y，底边长为x，∵x+2y=40，∴y=，∵20<2y<40，∴自变量x的取值范围是0<x<20，y的取值范围是10<y<20．故选D．【点睛】本题考查函数图象、一次函数关系式，解题的关键是掌握等腰三角形的周长公式．2．（2022秋·安徽合肥·八年级校考阶段练习）点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于x的函数关系式，把△OPA的面积=16代入函数关系即可得出x的值，进而得出y的值．【详解】解：∵A和P点的坐标分别是、，∴=×8×y=4y，∵x+y=10，∴y=10x，∴=4（10x）=404x，当=16时，404x=16，解得x=6．∵x+y=10，∴y=106=4，即P的坐标为；故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的面积，一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键．3．（2020秋·安徽滁州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．若直线与的边至少有两个交点，则b的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】画出图像，分别求出直线y=3x+b时的b值，结合图像可得结果．【详解】解：如图，当直线经过点C时，将C（1，3）代入，解得：b=0，当直线经过点B时，将B（2，1）代入，解得：b=5，可知：当5＜b＜0时，直线y=3x+b与△ABC有两个交点，故选A．【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，一次函数图像上的点，解题的关键是注意利用数形结合思想解题．4．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据菜园的三边的和为12m，即可得出一个与的关系式．【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m，，，，，，解得，，故选：B．【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为12m，列出关于，的方程是解决问题的关键．5．（2022秋·安徽·八年级期末）如图，点A的坐标为（1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（

）A．（0，0） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】B【分析】线段AB最短，说明AB此时为点A到y=x的距离．过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，由题意可知：△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，有OC=BC=，由此即可确定出点B的坐标．【详解】解：过A点作垂直于直线y=x的垂线AB，∵点B在直线y=x上运动，∴∠AOB=45°，∴△AOB为等腰直角三角形，过B作BC垂直x轴垂足为C，则点C为OA的中点，则OC=BC=，由作图可知B在x轴下方，y轴的左方，∴横坐标为负，纵坐标为负，所以当线段AB最短时，点B的坐标为（，），故选B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形性质，垂线段最短，等腰直角三角形等知识，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．6．（2022秋·安徽滁州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知A，B，C，D四点的坐标依次为（0，0），（6，2），（8，8），（2，6），若一次函数y＝mx﹣6m+2（m≠0）图象将四边形ABCD的面积分成1：3两部分，则m的值为（）A．﹣4 B．，﹣5 C． D．，﹣4【答案】B【分析】由题意直线y＝mx﹣6m+2经过定点B（6，2），又直线L把菱形ABCD的面积分成1：3的两部分．即可推出L经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），利用待定系数法即可解决问题．【详解】如图：∵A、B、C、D四点的坐标依次为（0，0）、（6，2）、（8，8）、（2，6），∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∴四边形ABCD是菱形，∵直线y＝mx﹣6m+2经过定点B（6，2），又∵直线L把菱形ABCD的面积分成1：3的两部分．∴L经过AD的中点M（1，3）或经过CD的中点N（5，7），∴m﹣6m+2＝3或5m﹣6m+2＝7，∴m＝或﹣5，故选B．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是发现直线L经过定点B（6，2），属于中考填空题中的压轴题．7．（2022秋·安徽·八年级期末）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线与y轴交于点D，轴于点E，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A，D的坐标，进而可得出、的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论．【详解】设直线与y轴交于点D，轴于点E，如图所示．当时，，∴点D的坐标为；当时，，∴点A的坐标为，∴点E的坐标为，，∴，∴．同理，可求出另两个三角形的面积均为（阴影部分组成的小三角形），∴阴影部分面积之和为：．故选：A．【点睛】本题考查了几何问题(一次函数的实际应用)及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键．8．（2020秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图所示，、、点坐标分别为，，，动点从点出发，沿轴以每秒一个单位长度的速度向上移动，且过点的直线也随之移动，设移动时间为秒，若点分别位于的异侧，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由l的解析式和M、N两点的坐标可以求得直线l从M点移动到N点的过程中l与y轴的交点坐标，进一步可由题意得到t的取值范围．【详解】解：当l经过M点的时候，有4=3+b，即b=7，所以y=x+7，令x=0，可以得y=7，P点移动距离为71=6，所用时间为6s；当l经过N点的时候，有6=5+b，即b=11，所以y=x+11，令x=0，可以得y=11，P点移动距离为111=10，所用时间为10s；所以t的取值范围为6<t<10故选D．【点睛】本题考查直线运动、直线与坐标轴相交的综合应用，根据已知条件求得直线的解析式并算出直线与坐标轴的交点坐标是解题关键．二、填空题9．（2022秋·安徽·八年级期末）如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为____．【答案】1【分析】根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．【详解】解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx＋b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x＋1．当y＝0时，x＋1＝0，解得：x＝−1，∴点C的坐标为（−1，0），OC＝1，∴S△AOC＝OC•yA＝×1×2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式是解题的关键．10．（2021秋·安徽滁州·八年级统考期末）如图，点A的坐标为，B点的坐标为，将沿x轴向右平移后得到，点A的对应点恰好落在直线上，则点的坐标是______．【答案】【分析】根据平移的性质知＝，由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即的长度，即可得点的坐标；【详解】解：如图，连接、，∵点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，∴点的纵坐标是3，又∵点的对应点在直线上一点，∴，解得x＝4，∴点的坐标是，∴＝4，∴根据平移的性质知＝＝4，∵点坐标为，△OAB沿x轴向右平移后得到，∴点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化−−平移，根据平移的性质得到＝是解题的关键．11．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2），动点M在直线AC上，且△OMC的面积是△OAC的面积的，则点M的坐标为_____．【答案】（1，5）或（1，7）【分析】利用待定系数法求出直线AC的解析式，得到OC、OB的长．设M的坐标为，用OC作底，用含m的式子表示和的面积，利用已知条件求得m的值，即可得到M的坐标．【详解】设直线AC的解析式为：，解得：直线AC的解析式为：B点的坐标为：M在直线AC上设M点坐标在中，OC=6，M到OC的距离在中，OC=6，A到OC的距离或的坐标为（1，5）或（1，7）．故答案为：（1，5）或（1，7）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及三角形的面积求法．利用待定系数法求解一次函数解析式：①设出一次函数解析式的一般形式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，代入解析式得到一次函数解析式．12．（2021春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，直线y1＝﹣x＋3和直线y2＝的图象交于点M．（1）点M坐标为：________；（2）将函数y1的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至x轴上方，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．点A（0，a）是y轴上一动点，过A作x轴平行直线l，与新图象交于B（x1，y1）、C（x2，y2），与直线y2＝交于点P（x3，y3），若x1＜x3＜x2，则a的范围为_______．【答案】，【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得交点的坐标；（2）求得直线与新图象的交点，观察图象即可求得时的范围．【详解】解：（1）由解得，点坐标为，，故答案为，；（2）根据题意新图象的函数解析式为，由解得，直线与新图象的另一个交点为，，由图象可知，故答案为．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，两条直线相交问题，解题的关键是求得交点坐标．13．（2022秋·安徽蚌埠·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A（－2，4），点B（4，2），点P为x轴上一动点，当PA＋PB的值最小时，此时点P的坐标为____________．【答案】（2，0）【分析】作点B关于x轴的对称点B'，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，可得出B′（4，2），利用待定系数法求出AB′的解析式，即可得点P的坐标．【详解】作点B关于x轴的对称点B'，连接AB′交x轴于点P，则点P即为所求．此时，PA+PB的值最小，∵点B（4，2）．∴B′（4，2），设直线AB′的解析式为y=kx+b，∵点A（2，4），点B′（4，2）．∴，解得：，∴直线AB′的解析式为y=x+2，当y=0时，x+2=0，解得：x=2，∴点P的坐标（2，0）；【点睛】本题主要考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点．14．（2022秋·安徽安庆·八年级校考期末）一次函数y=ax+3a+2（a为常数）．请指出此图象必过一定点A的坐标________；平面内还有两点B(1，2)，C(2，1)，此图象与线段BC有交点，直接写出a的取值范围___________．【答案】（3，2）1≤a＜0【分析】由y=ax+3a+2=a（x+3）+2，即可得到y=ax+3a+2必过点（3，2），即可证得结论；把B（1，2），C（2，1）分别代入y=ax+3a+2求得a的值，根据图象即可求得．【详解】解：∵y=ax+3a+2=a（x+3）+2，∴y=ax+3a+2必过点（3，2）；把B（1，2）代入y=ax+3a+2得，2=a+3a+2，解得a=0；把C（2，1）代入y=ax+3a+2得，1=2a+3a+2，解得a=1，∴若一次函数y=ax+3a+2的图象与线段BC有交点，则1≤a＜0．故答案为：（3，2）；1≤a＜0．【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．15．（2023秋·安徽六安·八年级校考期末）如图，在轴上有点，，过点作轴（使点在第二象限），且，连接当一次函数的图象与有公共点时，的取值范围为______【答案】．【分析】先求得A的坐标，然后把A、B的坐标分别代入一次函数，求得相应的b的值，即可求得符合题意的b的取值范围．【详解】解∶由题意可知，把代入得，，解得；把代入得，，解得；当一次函数的图像与有公共点时，的取值范围为，故答案为∶．【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．16．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图长方形ABCD的边长AB＝5，BC＝1．刚开始时AB与y轴重合．将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线交于点M，与直线交于点N，边CD与直线交于点P，与直线交于点Q，设运动时间为t（秒）．（1）当0≤t≤4时，用含t的表达式表示MN的长______；（2）当|MN﹣PQ|为定值时，时间t的取值范围为_______．【答案】或或【分析】（1）先求得两直线的交点，根据点在直线上，分别求得的坐标，根据纵坐标之差即可求解；（2）同理求得的坐标，计算，进而求得特殊位置时，重合，时，点位于轴，与点重合，即可求解．【详解】（1）解：解得，∴直线与直线的交点为∴当0≤t≤4时，在点上方，∵将长方形ABCD沿x轴以每秒1个单位长度向右平移，在平移过程中，边AB与直线交于点M，与直线交于点N，边CD与直线交于点P，与直线交于点Q，∴的横坐标为，∴，∴故答案为：（2）当0≤4时，∵∴即，∴∴当解得∴当时两点重合，同理，当时，两点重合，∵当时，即时，点在轴上，∴当时,同理可得，为定值，综上所述，或时，，故答案为：或或．【点睛】本题考查了一次函数的性质，坐标与图形，求得的坐标是解题的关键．三、解答题17．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，直线的表达式是．（1）求证：；（2）求的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）求出函数与坐标轴的交点，从而得出OA和OB，利用SSS可证明全等；（2）根据可得面积．【详解】解：（1）∵直线的表达式是．当x=0时，y=4；当y=0时，x=2，∴A（0,4），B（2,0），∴OA=4，OB=2，∵，∴OA=BC，OB=AC，在△BAO与△ABC，∵,∴（SSS）；（2）．【点睛】本题考查一次函数与几何图形，主要考查一次函数与坐标轴的交点、全等三角形的判定定理．能正确求出一次函数与两坐标轴交点是解题关键．18．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：交y轴于点A，直线：与交于点B．(1)求点B的坐标；(2)在y轴左侧，有一条平行于y轴的动直线，分别与，交于点M、N，且点M在点N的上方，当时，求△BMN的面积．【答案】(1)B点坐标为（－2，2）；(2)【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组即可得到点B的坐标；（2）设平行于y轴的动直线为：直线x＝m，过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D，得到M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，－m），由MN=2求出m，利用三角形面积公式计算即可．【详解】（1）解：∵直线l2：y＝－x与直线l1：y＝x+4交于点B，∴联立方程组可得，解得：，∴B点坐标为（－2，2）；（2）如图，设平行于y轴的动直线为：直线x＝m，过点B作BC⊥y轴，交直线x＝m于点D，∴M点坐标为（m，m＋4），N点坐标为（m，－m），∴MN＝m＋4－（－m）＝2，解得：m＝－1，又∵B点坐标为（－2，2），∴BD＝－1－（－2）＝1，∴．【点睛】此题考查了一次函数交点坐标与二元一次方程组的关系，求一次函数图象构成的三角形的面积，正确掌握一次函数图象交点坐标与二元一次方程组的关系求出点B的坐标是解题的关键．19．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为，点A的坐标为，点是直线上的一个动点（点P不与点E重合）．(1)求k的值；(2)若的面积为3，求此时点P的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）点E（4，0）在直线y=kx+3上，则4k+3=0，解得；（2）由题意得，△OPA的面积为3得×3×|y|=3，解得y=±2，进而求解．【详解】（1）点在直线上，，．（2）点A的坐标为，．的面积为3，，，

当时，则，解得，当时，则，解得，的坐标为或．【点睛】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，确定P的纵坐标是解题的关键．20．（2022秋·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期中）如图，直线与坐标轴交于点A、B两点，直线与直线相交于点P，交x轴于点C，且的面积为．(1)则A点的坐标为；a＝；(2)求直线的解析式；(3)若点D是线段上一动点，过点D作轴交直线于点E，若，求点D的坐标．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a的值及点A的坐标；（2）过点P作轴，垂足为H，则，利用三角形的面积公式结合的面积为可求出的长，进而可得出点C的坐标，再根据点P，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式；（3）设点D的坐标为，由轴交直线PC于点E，，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点E的坐标为，代入直线的解析式为，求出t的值，即可得出结论．【详解】（1）解：当时，，当时，，解得：，∴点A的坐标为．故答案为：；；（2）过点P作\轴，垂足为H，如图：由（1）得：，∴，即，∴，∴，∴点C的坐标为．设直线的解析式为，将点、代入得：，解得：，∴直线PC的解析式为；（3）如图：设点D的坐标为，∵轴交直线PC于点E，，∴点E的坐标为，代入直线的解析式为得，，解得，当时，，∴点D的坐标为．【点睛】此题考查了一次函数几何综合题，考查了一次函数的图象与性质、待定系数法求解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．21．（2020秋·安徽宣城·八年级校考期中）阅读理解：在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为；若，则点与点的“非常距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）．（1）已知点，为轴上的一个动点．①若点，则点与点的“非常距离”为______；②若点与点的“非常距离”为2，则点的坐标为______；③直接写出点与点的“非常距离”的最小值______；（2）已知点，点是直线上的一个动点，如图2，求点与点“非常距离”的最小值及相应的点的坐标．【答案】（1）①3；②或；③；（2）；．【分析】（1）①根据若|x1x2|＜|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1y2|解答即可；②根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0y|=2，据此可以求得y的值；③设点B的坐标为（0，y）．因为|0|≥|0y|，即可求出点A与点B的“非常距离”最小值；（2）设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1x2|≥|y1y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标．【详解】解：（1）①∵，|03|=3，∴，∴点A与点B的“非常距离”为3．故答案为：3；②∵B为y轴上的一