专题16圆的有关性质常用的七种辅助线（原卷版）

专题16圆的有关性质常用的七种辅助线（原卷版）类型一连半径遇到弦时，连半径。作用：①链接圆心和弦的两个端点，利用半径相等构造等腰三角形。②连接圆周上一点和弦的两个端点们根据圆周角的性质得到相等的圆周角。1．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70° B．55° C．45° D．35°2．如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是（）A．22.5° B．30° C．45° D．60°3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45° B．45°≤α≤54° C．54°≤α≤72° D．72°≤α≤90°4．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为（）A．1 B．22 C．2 D．3见弦作弦心距解决有关弦的问题，长作弦心距，或者垂直于弦的半径，再连接过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦、弦心距的关系；③利用弦的一半，弦心距和半径组成的直角三角形，根据勾股定理求有关量。5．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为．6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心AC为半径作弧AD交AB于D，求AD的长．7．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝53，求弦CD及圆O的半径长．

类型三见直径构造直角，见直角连接直径遇到直径时，常添加直径所对的圆周角，遇到90°的圆周角时，常连接两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。8．如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（）A．43 B．8 C．42 D．49．如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．23 B．2 C．25 类型四证明切线的两个常见辅助线有切点，连半径，正垂直。当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理。讲该点与圆心连接，再证明该半径与直线垂直。10．如图1，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于点D，并与⊙O交于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE＝8，DC＝12，求⊙O的半径；（3）如图2，F为AB中点，连接EF，在（2）的条件下，求EF的长．11．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝27，AC＝22，求AD的长．12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若∠ABD＝30°，DF＝3，求图中阴影部分的面积．无切点，作垂线，证相等。需证明的切线，条件中为告知与圆有切点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径。13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径画圆．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若AB＝12，BC＝9．求⊙D的半径．类型五见两相交切线，连切点遇到切线长，常连接切点和圆心，或连接圆心和圆外一点，或连接两切点。作用：根据切线长定理及其他性质，可得到（1）角、线段的等量关系；（2）垂直关系；（3）全等、相似三角形。14．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形 B．点A、B都在以PO为直径的圆上 C．AB与PD相互垂直平分 D．PC为△BPA的边AB上的中线类型六见内切圆，连切点或顶点15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆⊙O的半径r为（）A．2 B．1 C．14 D．