江苏省南京天印高级中学2023届高三下学期一模数学试题（解析版）

高考模拟试题PAGEPAGE12022～2023学年南京天印高级中学高三第二学期一模考试试卷一、选择题（共8小题）1.“”是“”的（）条件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要出 D.既不充分也不必要〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗解出相应的x的范围，即可得出〖答案〗.〖详析〗，，因为，没有包含关系，∴是的既不充分也不必要条件，故选：D．2.已知复数在复平面内对应的点都在射线上，且，则的虚部为（）A.3 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根据条件设出复数，再根据模为即可求得.〖详析〗设，，，，∴，虚部为3.故选：A．3.在五边形中，，，分别为，的中点，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由向量的加法运算得到，进而利用中点的条件，转化为向量的关系，化简整理即得.〖详析〗,故选：C4.衡阳创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗第一步选投对的一袋，剩下两袋投错只有一种方法，得方法数，再求出任意投放的方法数相除可得概率．〖详析〗3袋垃圾中恰有1袋投放正确的情况有种情形，由古典概型计算公式得三袋恰投对一袋垃圾的概率为，故选：D.5.中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A.144 B.72 C.36 D.24〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用正六边形的性质求出正六棱柱的底面边长，再根据棱柱的体积公式求解即可.〖详析〗如图，正六边形的每个内角为120°，按虚线处折成高为的正六棱柱，即，所以，可得正六棱柱底边边长，则正六棱柱的底面积为所以正六棱柱的体积.故选：B6.已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用向量数量积的定义可得，从而可得，进而得出，即，求出.〖详析〗根据，可得，故，所以，故的周期为24，所以，，故选：A．7.某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A.2 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗如图截面为，P为MN的中点，设，，进而可得面积最大值.〖详析〗如图所示，截面为，P为MN的中点，设,当时，，此时截面面积最大.故选：A〖『点石成金』〗易错『点石成金』：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.8.已知是自然对数的底数，设，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗首先设，利用导数判断函数的单调性，比较的大小，设利用导数判断，放缩，再设函数，利用导数判断单调性，得，再比较的大小，即可得到结果.〖详析〗设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，时，，即，设，，时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，，即恒成立，即，令，，时，，单调递减，时，，单调递增，时，函数取得最小值，即，得：，那么，即，即，综上可知.故选：A〖『点石成金』〗关键点『点石成金』：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据，放缩，从而构造函数，比较大小.二、多选题（共4小题）9.对于两条不同直线和两个不同平面，下列选项中正确的为（）A.若，则 B.若，则或C.若，则或 D.若，则或〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗根据空间直线、平面间的位置关系判断．〖详析〗若，的方向向量是的法向量，的方向向量是的法向量，，则的方向向量垂直，所以的方向向量与的方向向量垂直，则，A正确；若，可平行，可相交，可异面，不一定垂直，B错；若，则或，与不相交，C正确；若，则或，与不相交，D正确．故选：ACD．〖『点石成金』〗关键点『点石成金』：本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平行的位置关系有三种：直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交．直线与平面垂直可利用平面的法向量与直线的方向向量的关系判断．10.已知函数则下列结论正确的是（）A.是偶函数 B.C.是增函数 D.的值域为〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗利用反例可判断AC错误，结合函数的〖解析〗式可判断BD为正确，从而可得正确的选项.〖详析〗，而，故不是偶函数，故A错误.因为，故不是增函数，故C错误.，故B正确.当时，，当时，，故的值域为，故D正确.故选：BD.11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）A.数列的通项公式为B.数列的第2021项为C.数列的前项和D.数列的前项和〖答案〗CD〖解析〗〖祥解〗由题意可得数列由此可得数列从第2项起构成公比为2的等比数列，从而可求出其通项公式，判断选项A，由于，所以可求出数列的通项公式，从而可判断B，对于C，利用分组求和可求出数列的前项和，对于D，利用错位相减法可求出数列的前项和〖详析〗数列各项乘以10再减4得到数列故该数列从第2项起构成公比为2的等比数列，所以故A错误；从而所以故B错误当时；当时0.3.当时也符合上式，所以故C正确因为所以当时当2时，所以所以又当时也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.12.定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（）A.在处取得极大值，极大值为B.有两个零点C.若在上恒成立，则D.〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗根据给定条件，求出函数的〖解析〗式，再逐项分析即可判断作答.〖详析〗，由得：，即，令，而，则，即有，，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，于是得在处取得极大值，A正确；显然，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，即函数在无零点，因此，函数在定义域上只有1个零点，B不正确；，，令，，当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，因此，当时，，所以，C正确；因函数在上单调递增，而，则，又，则，即，D正确.故选：ACD〖『点石成金』〗关键『点石成金』：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.三、填空题（共4小题）13.在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）〖答案〗135〖解析〗〖祥解〗根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.〖详析〗在中，令得所有项的系数之和为，依题意，，解得，因此的展开式的通项为，令得：，所以项的系数是135.故〖答案〗为：13514.抛物线C：x2＝2py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2＋y2﹣6x＝0截得的弦长为_______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗求出准线方程以及圆心、半径，得出圆心到直线的距离，从而求出弦长为.〖详析〗首先求得准线l的方程为，x2＋y2﹣6x＝0，圆心到准线的距离为故弦长为．故〖答案〗为：15.若直线与曲线相切，则_________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗设切点为，根据导数几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.〖详析〗设直线与曲线相切于点，由得：，，，又，，解得：，.故〖答案〗：.16.已知椭圆的两个焦点为和，直线l过点，点关于l的对称点A在C上，且，则C的方程为__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据向量的线性运算和数量积的性质化简，由条件结合椭圆的定义可求，由求，可得椭圆方程.〖详析〗因为A与关于直线l对称，所以直线l为的垂直平分线，又，所以，由椭圆的定义可得，设直线l与交于点M，则M为的中点，且，所以，解得或1（舍去），所以，，则C的方程为：．故〖答案〗为：．四、解答题（共6小题）17.已知等比数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式：（2）令，求数列的前项和．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）先由，结合题中条件，求出公比，进而可得通项公式；（2）根据裂项相消的方法得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.详析〗（1）由可得，则，因为为等比数列，所以其公比为；又，所以；（2）由（1）可得；，所以.〖『点石成金』〗结论『点石成金』：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=.（1）若a=，c=，求b的值；（2）若角A平分线交BC于点D，，a=2，求的面积.〖答案〗（1）b=4；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由求出，再根据余弦定理可求出；（2）根据得到，根据角平分线定理得到，根据余弦定理求出，根据三角形面积公式求出，从而可得.〖详析〗（1）因为tanA=，且，所以，所以cosA=，由余弦定理得，所以，所以，解得b=4或b=﹣1(舍)，（2）因为，所以，所以，所以，因为∠CAD=∠BAD，所以，即，又因为a=2，由余弦定理得，解得，所以，所以.〖『点石成金』〗关键点『点石成金』：熟练掌握余弦定理、三角形的面积公式是解题关键.19.2020年将全面建成小康社会，是党向人民作出庄严承诺．目前脱贫攻坚已经进入冲刺阶段，某贫困县平原地区家庭与山区家庭的户数之比为．用分层抽样的方法，收集了100户家庭2019年家庭年收入数据（单位：万元），绘制的频率直方图如图所示，样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区．（1）完成2019年家庭年收入与地区的列联表，并判断是否有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区山区10总计附：，其中．0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828（2）根据这100个样本数据，将频率视为概率．为了更好地落实党中央精准扶贫的决策，从2020年9月到12月，每月从该县2019年家庭年收入不超过1.5万元的家庭中选取4户作为“县长联系家庭”，记“县长联系家庭”是山区家庭的户数为，求X的分布列和数学期望．〖答案〗（1）列联表见〖解析〗，有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关；（2）分布列见〖解析〗，数学期望.〖解析〗〖祥解〗(1)由频率分布直方图求样本中收入超过1.5万元的户数，由分层抽样性质确定平原地区家庭与山区家庭的户数，根据数据关系完成列联表，由公式计算，与临界值比较大小，确定是否接受假设；(2)确定随机变量的可能取值，求取各值的概率，由此可得其分布列，判断为二项分布，利用二项分布概率公式求其期望.〖小问1详析〗由频率分布直方图可知，收入超过1.5万元的家庭的频率为，所以收入超过1.5万元的家庭的户数有户，又因为平原地区家庭与山区家庭的户数之比为，抽取了100户，故平原地区的共有60户，山区地区的共有40户，又样本中家庭年收入超过1.5万元的有10户居住在山区，所以超过1.5万元的有40户居住在平原地区，不超过1.5万元的有20户住在平原地区，有30户住在山区地区，故2019年家庭年收入与地区的列联表如下：超过1.5万元不超过1.5万元总计平原地区402060山区103040总计5050100则，所以有99.9％的把握认为该县2019年家庭年收入超过1.5万元与地区有关．〖小问2详析〗由（1）可知，选1户家庭在平原的概率为，山区的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，所以X的分布列为：X01234P因为X服从二项分布，所以X的数学期望．20.如图，三棱柱中，侧面为矩形，是边长为2的菱形，，．（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱柱的体积．〖答案〗（1）证明见〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根据给定条件，证明平面，再利用面面垂直的判定推理作答.（2）由已知及（1）中信息，求出，进而求出三棱锥的体积即可计算作答.〖小问1详析〗因为侧面是矩形，则，又因为，，，即有，则，又，平面，因此平面，而平面，所以平面平面．〖小问2详析〗由（1）知，平面，而平面，则，因为，于是得，而是边长为2的菱形，因此是正三角形，，所以三棱柱的体积.21.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别、焦距为2，且与双曲线共顶点．P为椭圆C上一点，直线交椭圆C于另一点Q．（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为，求过P、Q、三点的圆的方程；（3）若，且，求的最大值．〖答案〗（1）（2）（3）〖解析〗〖祥解〗（1）由焦距为2得到，再由双曲线的顶点求出，得到，椭圆方程；（2）求出的方程，与椭圆方程联立后得到点Q的坐标，待定系数法求出圆的方程；（3）设，，由向量共线得到，将两点坐