专题6.1成比例线段（举一反三）（苏科版）

专题6.1成比例线段【七大题型】【苏科版】TOC\o"13"\h\u【题型1成比例线段的概念】 1【题型2成比例线段的应用】 3【题型3比例的证明】 5【题型4利用比例的性质求比值】 7【题型5利用比例的性质求参】 8【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】 10【题型7黄金分割】 13【知识点1成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．2．成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．43 B．3 C．8 D．【分析】利用表示两个比相等的式子，叫做比例式，然后分别求出A、B、C、D选项的比值，即可判断．【解答】解：A、43：2＝4：6，故AB、2：3＝4：6，故B不符合题意；C、2：4≠6：8，故C符合题意；D、2：4＝6：12，故D不符合题意；故选：C．【变式11】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为23．【分析】由题意线段c是a、b的比例中项，可知c2＝ab，由此即可解决问题．【解答】解：∵线段c是a、b的比例中项，∴c2＝ab，∵a＝2，b＝6，∴c2＝12，∵c＞0，∴c＝23，故答案为：23．【变式12】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3 B．3：1.5＝4：2 C．2：3＝1.5：4 D．1.5：2＝3：4【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，进而分别判断即可．【解答】解：A、2：4＝1：2＝1.5：3，能组成比例，错误；B、3：1.5＝2：1＝4：2，能组成比例，错误；C、2：3≠1.5：4；不能组成比例，正确；D、1.5：2＝3：4，能组成比例，错误；故选：C．【变式13】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【分析】求出A'B'【解答】解：∵AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm，∴A'B'∴A'∴A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段．【题型2成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【分析】设a﹣c＝﹣2k，a+b＝7，c﹣b＝1，再利用k分别表示出a、b、c，然后利用勾股定理的逆定理进行判断．【解答】解：∵（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，∴设a-c=-2∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°．【变式21】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【分析】设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据比例尺的定理列出方程，解之可得．【解答】解：设地图上，甲乙两地的距离是xcm，根据题意，得：x40000000解得：x＝80，即地图上，甲乙两地的距离是80cm，故选：C．【变式22】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2 B．1：3 C．4：5 D．3：1【分析】根据人数必须是整数，所以男、女生人数占的总分数必须能被30整除，然后进行计算即可解答．【解答】解：A、30÷（3+2）＝6，能得出整数的结果，故A符合题意；B、30÷（1+3）＝7.5，不能得出整数的结果，故B不符合题意；C、30÷（4+5）=103，不能得出整数的结果，故D、30÷（3+1）＝7.5，不能得出整数的结果，故D不符合题意；故选：A．【变式23】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变 C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变【分析】若甲：乙：丙＝a：b：c，则甲占全部的aa+b+c【解答】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：舞蹈社溜冰社魔术社上学期312412512下学期493929∴舞蹈社增加，溜冰社不变．故选：D．【知识点2比例的性质】比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.【题型3比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=c【分析】根据比例线段的性质证明即可．【解答】证明：由ab可得：a＝bk，c＝dk，把a＝bk，c＝dk代入a-把a＝bk，c＝dk代入a+可得：a-【变式31】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB【分析】由已知条件得到BCAB=CDAD，即【解答】证明：∵ABBC∴BCAB=CD∴ACAB-1＝1∴1AB【变式32】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD【分析】（1）由等高模型可知：S△ABOS（2）利用等高模型以及比例的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）∵S△ABOS∴S△（2）∵S△∴S△∴S△【变式33】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=c【分析】由于（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，根据比例的基本性质得到ad＝bc，可得（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），从而得证．【解答】证明：∵ab∴ad＝bc，∵（a2+c2）（b2+d2）＝a2b2+c2b2+a2d2+c2d2，（ab+cd）（ab+cd）＝a2b2+2abcd+c2d2，∵2abcd＝c2b2+a2d2∴（a2+c2）（b2+d2）＝（ab+cd）（ab+cd），∴a2【题型4利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a-b=【分析】根据2b3a【解答】解：∵2b∴3a∴3a∴ab故答案为：119【变式41】（2022春•霍邱县期末）若a-baA．25 B．14 C．-25【分析】把a-ba=34【解答】解：∵a-∴1-b∴ba故选：B．【变式42】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab=cd=ef=13且bA．16 B．13 C．12 【分析】先利用分式的基本性质得到ab【解答】解：∵ab∴ab而b﹣2d+3f≠0∴a-故选：B．【变式43】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=cB．若a-bbC．若ab=cd=23（bD．若ab=34，则a＝3【分析】分别利用比例的基本性质分析得出答案．【解答】解：A、若a4=cB、若a-bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6aC、若ab=cd=23（bD、若ab=34，无法得出故选：D．【题型5利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx=x+zy=x【分析】能够根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换．【解答】解：此题要分情况考虑：当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k=2x当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，故填2或﹣1．【变式51】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝A．15 B．9 C．5 D．3【分析】设x3=y5=k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝5k，根据x+y＝24得出3k+5k＝24【解答】解：设x3=y5=k，则x＝3k，∵x+y＝24．∴3k+5k＝24，解得：k＝3，∴x＝3×3＝9，故选：B．【变式52】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2【分析】由若x3=y5=z6，可设x3=y5=z6=k，这样用k分别表示x、y、z，即x＝3k，y＝5k，z＝6【解答】解：设x3=则x＝3k，y＝5k，z＝6k，∵3y＝2z+6，∴3×5k＝2×6k+6，解得：k＝2，∴x＝3k＝6，y＝5k＝10．【变式53】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab=cd，且b+d≠（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca=a+cb【分析】（1）根据比例的性质即可得到结果；（2）根据比例的性质求得t的值，把t的值代入代数式即可得到结论．【解答】解：（1）∵ab=cd，b+∴a+c＝0；（2）①当a+b+c≠0时，b+c∴t2﹣t﹣2＝22﹣2﹣2＝0，②当a+b+c＝0时，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，∴b+c∴t2﹣t﹣2＝0．【题型6比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab=c证明：∵ab∴ab+1=∴a+根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab=3（2）若ab=cd，且a≠b，c≠【分析】（1）把要求的式子化成a+b（2）根据比例的性质得出a-bb【解答】解：（1）∵ab∴a+bb=a（2）∵ab∴ab-1=∴a-∵a+∴a-∴a-【变式61】阅读材料：已知x3=y4解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝∴x+（1）回答下列问题：①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得15利用了（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+【分析】（1）利用等式的基本性质，代入消元法，分式的基本性质，即可解答；（2）仿照例题的思路，进行计算即可解答．【解答】解：（1）①第一步运用了等式的基本性质，②第二步的解题过程运用了代入消元的方法，由k5k得故答案为：等式，代入消元，分式；（2）∵x：y：z＝2：3：4，∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴x=9=9【变式62】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b-【分析】设a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=k，利用比例的性质得到a+b﹣c＝kc【解答】解：设a+b所以a+b﹣c＝kc①，a﹣b+c＝kb②，﹣a+b+c＝ka③，由①+②+③，得a+b+c＝k（a+b+c）．∵a+b+c≠0，∴k＝1．∴a+b＝2c，b+c＝2a，c+a＝2b．∴(a+【变式63】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa-b=yb-c=zc-a解：设xa-b=yb-c=zc-a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx=z+xy=x+【分析】设y+zx=z+xy【解答】解：设y+z则y+z＝xk，z+x＝yk，x+y＝zk，∴2（x+y+z）＝k（x+y+z），解得，k＝2，∴y+z＝2x，z+x＝2y，x+y＝2z，解得，x＝y＝z，则x-【知识点3黄金分割】如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）【题型7黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R是正方形ABCD的AB边上线段AB的黄金分割点，且AR＞RB，S1表示以AR为边长的正方形面积；S2表示以BC为长，BR为宽的矩形的面积，S3表示正方形除去S1，S2剩余的面积，则S1：S2的值为1．【分析】设AB＝a，根据黄金比值用a表示出AR、BR，根据矩形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设AB＝a，∵点R是边AB边上的黄金分割点，AR＞RB，∴AR=5-12则BR＝AB﹣AR＝a-5-12∴S1：S2＝（5-12a）2：a×3-故答案为：1．【变式71】（2022秋•杨浦区期末）已知点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，下列结论中，正确的是（）A．PBAP=5+12 B．PBAB=5【分析】根据黄金分割的定义判断即可．【解答】解：∵点P是线段AB上的一点，线段AP是PB和AB的比例中项，∴AP2＝PB•AB，∴点P是AB的黄金分割点，∴APAB故选：C．【变式72】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD．（1）若AB＝10cm，则AD＝（55-5）cm（2）如图，请用尺规作出以AB为腰的黄金三角形ABC；（3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【分析】（1）根据黄金分割的概念计算即可；（2）根据黄金三角形的概念和尺规作图的一般步骤作图；（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念证明即可．【解答】解：（1）∵点D是线段AB的黄金分割点，若AD＞BD，∴AD=5-12AB＝（55故答案为：（55-5（2）以A圆心，以AB的长为半径作弧，再以点B为圆心，AD的长为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，则△ABC即为所求；（3）证明：由（1）得，点D是线段AB的黄金分割点，∴底边AD=5-1∴三角形ABC是黄金三角形．邮箱：；学号：20699374【变式73】（2022春•兖州区期末）再读教材：宽与长的比是5-12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采