专题11整式的乘除能力提升试题-2023-2024学年八年级数学上学期期末必刷题型专题训练（华师大版）

专题11整式的乘除能力提升试题1．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．

(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．方法1：___________；方法2：___________．(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：(3)已知，，求___________．(4)已知，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)；(4)16【详解】（1）解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为，故答案为：，；（2）解：由题意得，；（3）解：由（2）题结论可得，，时，，；；（4）解：设，，可得，，，又，且由，可得，．2．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到．

请解答下列问题：(1)类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：___________．(2)若，用上面得到的数学等式求的值．(3)小明同学用图3中的张边长为的正方形，张边长为的正方形，张长、宽分别为、的长方形拼出一个面积为的长方形，求的值．【答案】(1)；(2)40；(3)104【详解】（1）解：图2中正方形的面积有两种算法：①；②．．故答案为：．（2），故答案为：40．（3）由题可知，所拼图形的面积为：，，，，．故答案为：104．3．结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．

(1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______；(2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______．(3)若x满足，则的值为______；(4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______；(5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即；方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即，两种方法可得出：；（2）解：由（1）可得，∵，，∴；（3）解：设，，∵x满足，∴，∵，∴，∴的值为；（4）解：，A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为，根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片，则；（5）解：由图知，，∴，∵长方形的面积是24，∴，设，，则，，由，得，∴，∴，即，∴阴影部分的面积为．4．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘．情境一如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含、的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式；情境一

情境二乙同学用1块木片、4块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含、的式子表示），并求所用木片的数量；情境二

情境三丙同学声称自己用以上的，，三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）．【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图【详解】解：情境一如图，设等腰梯形的高为，

，，图的面积：，图的面积：，，，故可得到的乘法公式为：；情境二，拼成了一个正方形，当时，，所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三赞同丁同学的说法；去掉个以后，，该情况下所拼长方形的长为，宽为，长方形如图：

5．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式；再例如求代数式的最小值，．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)代数式的最大值为：；(2)若与，判断的大小关系，并说明理由；(3)已知：，，求代数式的值．【答案】(1)；(2)，理由见解析；(3)【详解】（1）解：，当时，由最大值，为，代数式的最大值为，故答案为：；（2）解：，，，，，，；（3）解：，，，，，，，，，，，，．6．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求代数式的最小值．解：原式．∵，∴．∴当x＝－1时，的最小值是2(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．(2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长．【答案】(1)10；(2)9【详解】（1）解：原式．∵，∴．∴当x=3时，的最小值是10；（2）解：由，，可得，∴∴△ABC的周长为：．7．问题发现：若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．小明在解决该问题时，采用了以下解法：解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝．(1)请补全小明的解法；(2)已知（30﹣x）（x﹣20）＝﹣10，则（30﹣x）2+（x﹣20）2的值为．类比研究(3)若x满足（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝2022，求（2023﹣x）（x﹣2021）的值．拓伸延伸(4)如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CG＝3，长方形EFGD的面积是10，分别以DE、DG为边长作正方形MEDQ和NGDH，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积为（结果必须是一个具体数值）．【答案】(1)2，5，21；(2)120；(3)﹣1009；(4)44【详解】（1）解：设（9﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则ab＝（9﹣x）（x﹣4）＝2，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5．所以（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝21．（2）设（30﹣x）＝m，（x﹣20）＝n，则mn＝（30﹣x）（x﹣20）＝10，m+n＝（30﹣x）+（x﹣20）＝10．所以（30﹣x）2+（x﹣20）2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝120．（3）设（2023﹣x）＝t，（x﹣2021）＝h，则（2023﹣x）2+（x﹣2021）2＝t2+h2＝（t+h）2﹣2th＝2022．因为t+h＝（2023﹣x）+（x﹣2021）＝2．所以th＝（2023﹣x）（x﹣2021）＝(222022)÷2=1009．（4）∵∴∵，∴阴影部分的面积为：．8．若x满足，求的值．解：设，，则，，∴请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足，求的值；(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且，，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．【答案】(1)130；(2)28【详解】（1）解：设，，∴，，∴；（2）解：根据题意可得：，，∴，，设，，∴，，∴，∴，∴．9．[阅读理解]我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式“”变形成或等形式，问题：若x满足，求的值．我们可以作如下解答；设，，则，即：．所以．请根据你对上述内容的理解，解答下列问题：(1)若x满足，求的值．(2)若x满足，求的值．【答案】(1)120；(2)2021【详解】（1）设，，则，所以，（2）设，，则所以，10．阅读材料：我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，在一次数学活动课上，高老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．(1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式．(2)利用（1）中的等式解决下列问题．①已知a2+b2＝25，a+b＝7，求ab的值；②已知（c﹣512）（520﹣c）＝12，求（c﹣512）2+（520﹣c）2的值．【答案】(1)（x+y）22xy=x2+y2；(2)①12；②40【详解】（1）解：根据题意得：（x+y）22xy=x2+y2；故答案为：（x+y）22xy=x2+y2；（2）①∵（a+b）22ab=a2+b2，且a2+b2=25，a+b=7，∴492ab=25，解得：ab=12；②∵（c512）（520c）=12，c512+520c=8，∴[（c512）+（520c）]2=（c512）2+（520c）2+2（c512）（520c），即64=（c512）2+（520c）2+24，则（c512）2+（520c）2=40．11．阅读理解：若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝60，求（30﹣x）2＋（x﹣10）2的值．解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝60，a＋b＝（30﹣x）＋（x﹣10）＝20，（30﹣x）2＋（x﹣10）2＝a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝202﹣2×60＝280．解决问题：(1)若x满足（100﹣x）（x﹣95）＝5．则（100﹣x）2＋（x﹣95）2＝；(2)若x满足（2021﹣x）2＋（x﹣2018）2＝2019，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值；(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，求图中阴影部分的面积和．【答案】(1)15；(2)﹣1005；(3)96平方单位【详解】（1）解：设100﹣x＝a，x﹣95＝b，则（100﹣x）（x﹣95）＝ab＝5，∵a＋b＝（100﹣x）＋（x﹣95）＝5，∴（100﹣x）2＋（x﹣95）2＝a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝52﹣2×5＝15，故答案为：15；（2）解：设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）＋（x﹣2018）＝3，（2021﹣x）2＋（x﹣2018）2＝a2＋b2＝2019，∴（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝＝＝﹣1005；（3）解：由题意，得FC＝（10﹣x），EC＝（6﹣x），∵长方形CEPF的面积为40，∴（10﹣x）（6﹣x）＝40∴阴影部分的面积和为（10﹣x）2＋（6﹣x）2，设10﹣x＝a，x﹣6＝b，则（10﹣x）（x﹣6）＝ab＝﹣40，a＋b＝（10﹣x）＋（x﹣6）＝4，∴（10﹣x）2＋（x﹣6）2＝（10﹣x）2＋（6﹣x）2＝a2＋b2＝（a＋b）2﹣2ab＝42﹣2×（﹣40）＝96（平方单位），答：图中阴影部分的面积和为96平方单位．12．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．解决问题：(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式：______；(2)若可配方成（m，n为常数），则______；(3)探究问题：已知，求的值．(4)已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出k的值．【答案】(1)；(2)2；(3)1；(4)【详解】（1）解：∵29是“完美数”，∴29=52+22；（2）解：∵x24x+5=（x24x+4）+1=（x2）2+1，又∵x24x+5=（xm）2+n，∴m=2，n=1，∴mn=2×1=2．故答案为：2；（3）解：x2+y22x+4y+5=0，x22x+1+（y2+4y+4）=0，（x1）2+（y+2）2=0，∴x1=0，y+2=0，解得x=1，y=2，∴x+y=1+（2）=1；（4）解：当k=13时，S是“完美数”，理由如下：S=x2+4y2+4x12y+13=x2+4x+4+4y212y+9=（x+2）2+（2y3）2，∵x，y是整数，∴x+2，2y3也是整数，∴S是一个“完美数”．13．阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方；(2)已知，，求的值；(3)当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？【答案】(1)第一种：；第二种：；第三种：；(2)；(3)16【详解】（1）解：第一种：；第二种：；第三种：；（2），，，，，，，；（3），，，，，解得．当，时，代数式的最小值是．14．数形结合是一种非常重要的数学思想，它包含两个方面，第一种是“以数解形”，第二种是“以形助数”，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微”．请你使用数形结合这种思想解决下面问题：图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分为四块完成相同的小长方形，然后按照图2的形状拼成一个正方形．(1)观察图2，用两种方法计算阴影部分的面积，可以得到一个等式，请使用代数式，，ab写出这个等式_____________．(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)4；(3)【详解】（1）解：如图2，大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，每个长方形的长为，宽为，因此面积为，由面积之间的关系可得：，故答案为：（答案不唯一）；（2）解：由（1）得，，，；即的值是4；（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，，两正方形的面积和，，，，，，阴影部分的面积为．15．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是______；(2)根据（1）中的结论，若，，求的值；(3)拓展应用：若，求的值______．【答案】(1)；(2)16；(3)3【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为a＋b，内部小正方形的边长为b−a，小长方形的长为b，宽为a，∴大正方形的面积为（a＋b）2，小正方形的面积为（b−a）2，小长方形的面积为ab，由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，即（a＋b）2＝（b−a）2＋4ab＝（a−b）2＋4ab．故答案为：（a＋b）2＝（a−b）2＋4ab．（2）∵，，∴（x−y）2＝(x＋y)2−4xy＝52−4×＝16．（3）∵，[（2021−m）＋（m−2022）]2＝（2021−m）2＋（m−2022）2＋2（2021−m）（m−2022），∴1＝7＋2（2021−m）（m−2022），∴（2021−m）（m−2022）＝×(1−7)＝−3．故答案为：3．16．若x满足(9x)(x4)=4，求(9x)²(x4)²的值．解：设9x=a，x4=b，则(9x)(x4)=ab=4，ab=(9x)(x4)=5∴(9x)²(x4)²=a²+b²=(a+b)²2ab=5²－24=17请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若x满足，求的值；(2)若x满足，求的值；(3)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积．【答案】(1)130；(2)16；(3)28【详解】（1）解：设x10=a，x20=b，则（x10）（x20）=ab=15，ab=（x10）（x20）=10，∴（x10）2+（x20）2=a2+b2=（ab）2+2ab=102+2×15=130（2）设x2021=a，x2022=b，则（x2021）2+（x2022）2=a2+b2=33，ab=（x2021）（x2022）=1，∴2（x2021）（x2022）=2ab=（ab）2（a2+b2）=1233=32∴ab=16，即：（x2021）（x2022）=16．（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，∴FM=DE=x1，DF=x3，∴（x1）（x3）=48，∴（x1）（x3）=2，∴阴影部分的面积=FM2DF2=（x1）2（x3）2，设x1=a，x3=b，则（x1）（x3）=ab=48，ab=（x1）（x3）=2，∴（a+b）2=（ab）2+4ab=4+192=196∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，∴a+b=14，∴（x1）2（x3）2=a2b2=（a+b）（ab）=14×2=28即阴影部分的面积是28．17．把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）．(1)如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式；(2)如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，求阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示）；(3)如图4，将图3的上面两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动2b个单位后得到一个长方形图形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关．【答案】(1)①S阴影＝(a＋b)2−4ab；②S阴影=(a−b)2​；（a＋b）2−4ab＝（a−b）2；(2)S阴影＝a2−2ab＋b2；(3)见解析【详解】（1）解：①∵在图2中，四边形ABCD是正方形，∴正方形ABCD的面积为S正方形＝（a＋b）2．∵四个基本图形的面积为4ab，∴S阴影＝(a＋b)2−4ab；②∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝EF＝a−b，∴S阴影＝EH2＝(a−b)2；∴（a＋b）2−4ab＝（a−b）2．（2）解：∵NP＝a＋b，MN＝a＋b，∴四边形EFGH是正方形，∴S阴影＝MN2−4ab＝(a＋b)2−4ab，即S阴影＝(a＋b)2−4ab＝a2−2ab＋b2．（3）证明：根据图形可知，AF＝a＋x−2b，m＝S1−S2＝2b•2b＋bx−（a−2b＋x）b−3b•b＝4b2＋bx−（ab−2b2＋bx）−3b2＝4b2＋bx−ab＋2b2−bx−3b2＝3b2−ab∴S与x无关．18．我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成：(1)算法赏析：若x满足，求的值．解：设则∴请继续完成计算．(2)算法体验：若满足，求的值；(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积【答案】(1)过程见解析，12；(2)1260；(3)54【详解】（1）解：设则∴=（a+b）22ab=（4）22×2=164=12．（2）解：设，则，a+b=10，；（3）解：正方形ACFG的边长为13m，面积为（13m）2，正方形ABDE的边长为10m，面积为（10m）2，则有（13m）2+（10m）2=117，设13m=p，10m=q，则p2+q2=（13m）2+（10m）2=117，pq=13m10+m=3，所以长方形AEPC的面积为：．19．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等，请用配方法解决以下问题．(1)试说明：、取任何实数时，多项式的值总为正数；(2)分解因式：；(3)已知实数，满足，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【详解】（1）解：==，∵，，∴x，y取任何实数时，多项式的值总为正数；（2）解：===；（3）解：∵，∴，∴，∴当a=2时，a+b有最小值为1，∴a+b的最小值为1．20．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：(1)图中阴影部分的正方形的边长是______．(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：方法：______；方法：______．(3)观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．【答案】(1)；(2)，；(3)；(4)14．【详解】（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为，故答案为：；（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即故答案为：，（3）由（2）得，，故答案为：；（4），，，故答案为：．21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”．【解决问题】(1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式；(2)若可配方成（m、n为常数），则mn＝；【探究问题】(3)已知，则；(4)已知x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．【拓展结论】(5)已知实数x、y满足，求的最值．【答案】(1)；(2)﹣12；(3)﹣1；(4)S是一个“完美数”，理由见解析；(5)﹣．【详解】（1）根据题意得：；故答案为：；（2）根据题意得：，，，则；故答案为：；（3）已知等式变形得：，即，，，，，解得：，，则；故答案为：；（4）当时，为“完美数”，理由如下：，，是整数，，也是整数，是一个“完美数”；（5），，即，，当时，最大，最大值为．22．【阅读理解】“若x满足，求的值”解：设，，则，，所以【解决问题】(1)若x满足，求的值．(2)若x满足，求的值．(3)如图，正方形ABCD的边长为x，，，长方形EFGD的面积是240，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．

【答案】(1)109；(2)；(3)阴影部分的面积为964【详解】（1）解：设，，则，，∴；（2）解：设，，则，，，，∴．（3）解：∵正方形ABCD的边长为x，，，∴，，∴，设，，∴，，∴，∴阴影部分的面积为：．23．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出之间的等量关系：__________；(2)根据（1）中的结论，若，求的值；(3)请求解下面实际问题：如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，长方形的面积是，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形，∴图的长方形面积为：，∵图的边长为，图阴影部分的面积为：，∴，即，故答案为：．（2）解：∵，∴（3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形，，∴，，，∵长方形的面积是，∴，设，，即，则，∴阴影部分面积，∵，∴（负值舍去），∴，即阴影部分面积为．24．探索：；；；；…(1)第五个等式是；(2)求的值；(3)判断的值的个位数字是几．【答案】(1)；(2)；(3)【详解】（1）解：第五个等式是，故答案为：．（2）解：；（3）解：，∵的个位数是，的个位数是，的个位数是，的个位数是，的个位数是……，∵∴的个位数是．25．材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）：方法一：________________；方法二：________________；对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式）（2）利用（1）中所得到的结论，填空：①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________；②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________；材料二：若，求m，n的值．解：，，，，，，．问题：（3）若，则的值为________；（4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为，将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为，∴，故答案为，，；（2）①∵，，，∴，∵，，∴，∴故答案为②∵，∴，∴即，∵，∴，故答案为；（3）∵，∴即∴，∴，∴，故答案为：4（4）存在，原式

当，时，原式最小，，原式最小值为2023．26．若x满足，求的值．解：设，，则，，所以．请运用上面的方法求解下面的问题：(1)若x满足若，则的值为_____．(2)已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是，则长方形的周长为_____．【答案】(1)；(2)．【详解】（1）解：设，，则，，，故答案为：；（2）依题意得：，，则，设，，则，，∴，，，∴则长方形的周长为：，故答案为：．27．数学课上，老师准备了三种纸片，如图1中边长分别为a、b的正方形纸片A、B，以及长为b、宽为a的长方形纸片C，观察图形并解答下列问题：图1

图2

图3(1)小玲想用图1的三种纸片拼出一个面积为的大长方形，则需要A纸片张，B纸片张，C纸片张（空格处填写数字）(2)①观察图2，请写出下列三个代数式，，之间的等量关系：_______________.②根据①中的关系，若x满足，则的值为．(3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积．【答案】(1)3，1，4；(2)①；②7；(3)12【详解】（1）解：由图知A纸片面积为，B纸片面积为，C纸片面积为，∵∴需要A纸片3张，B纸片4张，C纸片1张；故答案为：3，4，1（2）解：①根据面积法可得故答案为：②设，，则，∵，∴，故答案为：7（3）解：由图知∵长方形的面积是8，，设则，由，得，即，∴阴影部分的面积为1228．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：(1)直接应用：若，直接写出的值______；(2)类比应用：填空：①若，则______；②若，则_______；(3)知识迁移，两块完全相同的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，求一块三角板的面积．【答案】(1)11；(2)1，20；(3)一块直角三角板的面积为34．【详解】（1）解：，，故答案为：；（2）解：①设，，则，，，故答案为：1；②设，，则，，，故答案为：20；（3）解：设，，，，，，即，，，即，，答：一块直角三角板的面积为34．29．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；(2)利用（1）中的结论，若，，求的值；(3)如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．【答案】(1)；(2)16；(3)【详解】（1）由图1和图2中矩形的面积为等量得：故答案为：；（2）由（1）中公式可得：．同理可得：；（3）连接，在正方形和正方形中，，，∴和的边上的高相等，．当时，，当时，，……当时，，∴．30．阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：【观察】①；②；③；……(1)【归纳】由此可得：________；(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：_______；(3)计算：______；(4)若，求的值．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【详解】（1）解：①；②；③；……；∴，故答案为：；（2）解：；（3）解：；故答案为：；（4）解：∵，∴，∵，∴，∴．31．【观察】如图①是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示，请直接写出，，之间的等量关系____________________________；【应用】若，，则_______________；【拓展】如图③，正方形的边长为x，，，长方形的面积是200，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积．【答案】观察：；应用：；拓展：900【详解】解：观察：由图形知，大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，∴，故答案为：；应用：∵，∴，将，代入得：，∴，∴，故答案为：；拓展：∵正方形的边长为x，∴，，∴，设，，，∴，∴，∴图中阴影部分的面积为900．32．阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法：解：因为，所以．所以当时，的值最大，最大值是0.所以当时，的值最大，最大值是4.所以的最大值是4【尝试应用】(1)求代数式的最大值，并写出相应的的值．(2)已知，，请比较与的大小，并说明理由．【拓展提高】(3)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由．【答案】(1)的最大值为14，此时的值为2．(2)，理由见解析；(3)这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为【详解】（1）解：，，，当时，有最大值，最大值为，解得：，的最大值为14，此时的值为2．（2）解：，理由如下：，，，当时，有最小值2，（3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，根据题意得：，，时，有最小值，解得：，则，这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为．33．知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如：由图①可以得到，基于此，请解答下列问题：(1)直接应用：若，，直接写出的值为___________；(2)类比应用：填空：①若，则___________；②若，则___________；(3)知识迁移：如图②，一农家乐准备在原有长方形用地（即长方形）上进行装修和扩建，先用长为120m的装饰性篱笆围起该长方形用地，再以，为边分别向外扩建正方形、正方形的空地，并在这两块正方形空地上建造功能性花园，该功能性花园面积和为，求原有长方形用地的面积．

【答案】(1)；(2)①②；(3)【详解】（1）解：，，故答案：．（2）解：①，，，故答案：；②因为，所以，，，，故答案：．（3）解：设，，则，所以；由题意得，因为，所以，所以．所以原有长方形用地的面积为．34．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于．(2)观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系．(3)运用你所得到的公式，计算若，求：①的值．②的值．(4)用完全平方公式和非负数的性质求代数式的最小值．【答案】(1)；(2)；(3)①，②；(4)【详解】（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；故答案为：；（2）根据题意，方法1：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形面积，即；方法2，阴影部分小正方形的边长为，则面积为；∴；故答案为：；（3）由（2）知：,，①；②∵；∴；（4）∵，，∴代数式的最小值为．35．我国当代著名数学家华罗庚先生有一首关于数形结合的词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”．这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质，而数形结合的方法是我们解决数学问题常用到的思想方法．如图，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．

(1)图中所表示的数学等式为；(2)利用（1）中得到结论，解决问题：①已知，求的值；②已知，求的值．【答案】(1)；(2)①2；②12【详解】（1）解：（1）由图形可得大正方形的面积为，还可以表示为，故答案为：（2）解：①已知，则．

②，故答案为：①2，②1236．阅读理解：若满足，求的值．解：设，，则，．∴；类比探究：（1）若满足，求的值．（2）若满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成．（3）若满足，求的值．解决问题：（4）如图，正方形和长方形重叠，重叠部分是长方形其面积是，分别延长、交和于、两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形设，，，，延长至，使，延长至，使，过点、作、垂线，两垂线交于点，求正方形的面积（结果是一个具体的数值）

【答案】（1）2560；（2）31；（3）1026；（4）3636【详解】解：（1）设，，则，，，的值为2560；（2）∵，，，设，，则，，，的值为；（3）设，，则，，，，的值为；（4）∵，，，，，，长方形的面积是，，由题意得：，，，，，，，，设，，则，，正方形的面积，正方形的面积为3636．37．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”．理由：因为，所以是“完美数”．【解决问题】(1)数61“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】(2)已知，则；(3)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值；【拓展结论】(4)已知、满足，求的最小值．【答案】(1)是；(2)；(3)；(4)【详解】（1）解：∵，∴是“完美数”，故答案为：是；（2）解：∵，∴，，∴，故答案为：；（3）解：∵，为“完美数”，∴∴；（4）解：∵，∵，∴，∴，∴当，时，的最小值为：．38．【阅读材料】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．

【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题：(1)由图2可得等式：；由图3可得等式：；(2)利用图3得到的结论，解决问题：若，，则；(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）．①请画出拼出后的长方形；②；(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为．【答案】(1)；(2)155；(3)①见解析；②9；(4)【详解】（1）解：由图2知，∵大长方形的面积，大长方形的面积3个小正方形的面积+3个小长方形的面积，∴；由图3知，∵大正方形的面积，大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积，∴；故答案为：，．（2）∵由（1）知：，∴，，把代入，．故答案为：155．（3）①∵，可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，如图：

②由①知：，∴．故答案为：9．（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为，4张边长分别为的长方形纸片的面积为，5张边长为b的正方形纸片的面积为，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为，此时正方形的边长，∴拼成的正方形的边长最长为．故答案为：．39．【知识生成】【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：【直接应用】（1）若，，求的值；【类比应用】（2）填空：①若，则；②若，则；【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．

【答案】（1）；（2）①7；②3；（3）30．【详解】解：（1），∴，∴，∵，，答：；（2）①设，，则，，，故答案为：7；②设，，则，，，故答案为：3；（3）设，，，，，，即，，，即，，答：一块直角三角板的面积为30．40．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”．(1)若，，求a，b的“和积数”c；(2)若，，求a，b的“和积数”c；(3)已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值．【答案】(1)；(2)或；(3)，有最小值为．【详解】（1）解：∵，，∴，∴a，b的“和积数”；（2）解：∵，且，，∴,∴．∴或；即或；（3）解：由题意，，∵，，∴．①若，式子变为．∴b为任何数，不存在最小值；②若，又，∴，∴，∴．∴当时，有最小值为．41．先阅读下面的内容，再解决问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，无法直接用公式法．于是可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整