安徽省滁州市定远县民族中学2023届高三第一次模拟数学试卷

高考模拟试题PAGEPAGE12023年高三第一次模拟试卷数学试题第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设集合A=x|x2-x-1>0，B=A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(1+522.已知复数z=1+i(i是虚数单位)，设ω=2zA.2 B.2 C.22 D.3.某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如表：x0.041□4.8410.24y1.12.12.33.34.2若依据表中数据画出散点图，则样本点(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)都在曲线y=x+1A.-4.32 B.1.96 C.1.69 D.4.324.已知向量a=(3,1)，b=(0,-1)，c=(k,3)，若A.1 B.-1 C.3 D.-5.设a=log123，b=(23)0.3，c=A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c6.如图，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC中点，则二面角C-BF-D的正切值为

A.36 B.34 C.37.已知双曲线x2-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线右支上一点，点AA.5 B.2 C.2538.小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还万元A.M10 B.MP1+P101+P二、选择题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数fx=2A.函数fx的图象可以由y=2cos2x的图象向右平移3π8个长度单位得到

B.fx1fx210.如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AE=BC=2，AB=AD=1，CF=87A.BD⊥EC

B.BF//平面ADE

C.平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为13

D.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为11.过平面内一点P作曲线y=lnx两条互相垂直的切线l1、l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合)，设直线l1A.P1、P2两点的横坐标之积为定值 B.直线P1P2的斜率为定值

C.线段AB的长度为定值12.某省2021年美术联考约有5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：〖20,30),〖30,40)，…，〖80,90A.由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分

B.用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人

C.若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间〖40,50)内约200人

D.用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若(ax2-bx)6的展开式中x3项的系数为14.梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆、湖南、湖北四省(市)的武陵山脉的最高主峰.某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为60∘，在点B处测得P的仰角为45∘，则金顶P的海拔为

米.(结果精确到整数部分，取3=1.732)

15.2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为15，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为

．16.若(1-2x)2022=a0+四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12分)

在△ABC中，b2+c2-62bc=a2．

(Ⅰ)求cosA的值；

18.(本小题12分)已知数列an中，a1=1，其前n项和S(1)求Sn(2)记 bn=Sn+1-Sn19.(本小题12分)旨在全面提高国民体质和健康水平，1995年国务院颁布了《全民健身计划纲要》，并在2009年将每年8月8日设置为“全民健身日”，倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．某小区为了调查居民的体育运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：(1)求a的值，并求这100位居民锻炼时间的中位数；(2)若规定0,10为第一组，依次往下，现采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定，再从这6人中随机抽取2人进行跟踪调查，求这2人中，两组各有1人的概率．20.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF=14BC．

(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；

(2)求点F到平面PCD21.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过A(2,0)，B(0,1)两点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程和离心率的大小；

(Ⅱ)设M，N是y轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM与椭圆C的另一个交点为P，直线AN与椭圆C22.(本小题12分)已知函数f(x)=lnx+ax，(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x≥1时，若关于x的不等式f(x)≤x-2a恒成立，试求a的取值范围．

〖答案〗和〖解析〗1.C

〖解析〗由x2-x-1>0，解得又y=x∴B=(1,+∞)，得A⋂B=(2.B

〖解析〗因为z=1+i，所以z=1-i，

所以ω=2zz=2-2i3.B

〖解析〗设缺失的数据为x，mi=xi

m0.21x2.23.2y1.12.12.33.34.2其回归直线方程为y=m+1，

由表中数据可得，y-=15(1.1+2.1+2.3+3.3+4.2)=2.6，

由线性回归方程y=m+1，得m=1.6，

即4.A

〖解析〗根据题意，向量a=(3,1)，b=(0,-1)，

则a-2b=(3,3)；

若(a-25.D

〖解析〗a=log123<0，0<b=230.3<16.D

〖解析〗如图，设BD与AC交于点O，连接OF．

∵四边形ABCD为菱形，

∴O为AC的中点，AC⊥BD．∵F为PC的中点，∴OF//PA．∵PA⊥平面ABCD，∴OF⊥平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.设PA=AD=AC=1，则BD=3，∴B(32,0,0)，F(0,0,12)，C(0,12,0)，D(-32,0,0)，∴OC=(0,12,0)，结合图形可知，OC为平面BDF的一个法向量.由BC=(-32,12,0)，FB= (32,0,-12)，可求得平面BCF7.B

〖解析〗设|PF1|=r1，|PF2|=r2，

则r1-r2=2a=2，

由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos2π3，

即8.B

〖解析〗设每年应还x万元，

则x+x(1+P)+x(1+P)

x〖1-(1+P)10〗1-(1+P)9.AD

〖解析〗对于A，y=2cos2x的图象向右平移3π8个长度单位得到

y=2cos〖2(x-3π8)〗=2cos(2x-3π4)=2sin(2x-π4)，故A正确;

对于B，fx=2sin2x-π4，

所以f(x)max=2，f(x)min=-2，

由f(x1)f(x10.BC

〖解析〗由题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，

可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F1,2,87，

BD=-1,1,0,EC=1,2,-2，

所以BD·EC=-1×1+1×2+0×-2=1≠0，

所以BD，EC不垂直，故A错误；

依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，

又BF=(0,2,87)，可得BF·AB=0，则BF⊥AB，

又因为直线BF⊄平面ADE，

所以BF//平面ADE，故B正确；

设m=a,b,c为平面BDF的一个法向量，则m·BD=0m·BF=0,

即-a+b=02b+87c=0，令b=1，可得m=1,1,-74，

依题意，BD=(-1,1,0)，BE=(-11.ABC

〖解析〗因为y=|所以，当0<x<1时，y'=-1x；当x≥1时，不妨设点P1，P2的横坐标分别为x1，x若0<x1<x2≤1时，直线l1，l若x2>x1≥1时，则直线l1，l2所以0<x1≤1<x2或0<由题意可得k1k2若x1=1，则x2=1；若x2=1，则对于选项B，易知点P1x1所以，直线P1P2的斜率为k对于选项C，直线l1的方程为y+lnx1=-1x直线l2的方程为y-lnx2=1x所以，AB=1-ln对于选项D，联立y=-1x1令fx=2xx2所以，函数fx在0,1上单调递增，则当x∈0,1时，所以，S▵ABP=12AB12.AD

〖解析〗由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分，样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余4500名考生中，该项科目分数中可能有高于90分的，故选项A不正确；

在样本中，分数不低于70分的频率为(0.04+0.02)×10=0.6，

则样本中分数小于70分的频率为1-0.6=0.4，

若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于70分的考生约为5000×0.4=2000人，故选项B正确；在样本中，成绩低于50分的频率为1-(0.04+2×0.02+0.01)×10=0.1，

当分数小于40的考生有30人时，其频率为30500=0.06，则分数在区间〖40,50)内的频率为0.04，

用样本估计总体，则全省考生中分数在区间〖40,50)内约5000×0.04=200人，故选项C正确；

用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，则该位置在区间〖70,80)内，且等于70+10×13.4

〖解析〗将(ax2-bx)6展开，得到Tr+1=C6ra6-r(-b)rx12-3r，

令12-3r=3，解得r=3，

则14.2494

〖解析〗设AD=x米，依题意可得∠PAD=60∘，∠PBD=45∘，则PD=BD=x+885.因为PDAD=tan∠PAD=3，所以x+885=15.35〖解析〗因为甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，

所以甲、乙2人均购买不到冰墩墩的概率P同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2所以，甲、乙、丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=P1⋅P2=16.-1

〖解析〗由题意，令x=0时，则a0=1，

令x=12时，

则a0+a117.解：(Ⅰ)∵在△ABC中，b2+c2=a2+62bc，

由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc，

∴cosA=62bc2bc=64．18.解：(1)an+1=Sn+1n∈N*，当n≥2时，an=Sn-1+1，

所以an+1-an=Sn-Sn-1=an，即an+1=2an(n⩾2)，

在an+1=19.解：(1)∵(0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003)×10=1，

∴a=0.030，

设中位数为x，由题意有：

10×0.005+10×0.012+10×0.03+(x-30)×0.035=0.5，解得x=30.86．

即中位数为30.86．

(2)由频率分布直方图可得，第三组和第五组的人数之比为2：1，

采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定，第三组的人数为：6×23=4，第五组的人数为：6×13=2，即第三组与第五组的人数依次为4人和2人，

6人中随机抽取2人的基本事件的总数为C62，两组各有20.(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

∴BC⊥平面PAB，又AE⊂面PAB，∴BC⊥AE，

∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB，又BC∩PB=B，

∴AE⊥平面PAB，又AE⊂平面AEF，

∴平面AEF⊥平面PBC．

(2)解：∵AB//CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB//平面PCD，

∴B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，

取PD的中点G，连接AG，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

又CD⊥AD，AD∩PA=A，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，

∵PA=AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，

又PD∩CD=D，∴AG⊥平面PCD，

∵PA=AD=4，PA⊥AD，∴PD=42，

∴AG=12PD=22，

∴点B到平面PCD的距离为22，

∵BF=14BC，∴21.解：(Ⅰ)依题意得a=2，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，c=a2-b2=3，

离心率