浙江余姚八中2025届数学高一上期末达标检测模拟试题含解析

浙江余姚八中2025届数学高一上期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数恰有2个零点，则实数a取值范围是（）A. B.C. D.2．已知，，且，均为锐角，那么（）A. B.或－1C.1 D.3．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，数学家拉普拉斯称赞为“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，，设，则所在的区间为（）A. B.C. D.4．若，，且，则A. B.C. D.5．已知函数y=(12)x的图象与函数y=logax（a>0，A.[ 2C.[ 86．“”是“为第二象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．下列说法正确的有（）①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；④圆锥的轴截面是等腰三角形.A.1个 B.2个C.3个 D.4个8．函数部分图象如图所示，则下列结论错误的是（）A.频率为 B.周期为C.振幅为2 D.初相为9．在四棱锥中，平面，中，，，则三棱锥的外接球的表面积为A. B.C. D.10．已知正方体ABCD-ABCD中,E、F分别为BB、CC的中点,那么异面直线AE与DF所成角的余弦值为A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若关于的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围是__________12．若一扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为__________.13．若函数是定义在上的偶函数，当时，．则当时，______，若，则实数的取值范围是_______.14．已知函数且（1）若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由15．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.16．已知为锐角，，，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.（可能用到的不等关系参考：若，且，则有）18．已知函数，且（1）求a的值；（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断19．已知函数（且）.（1）判断的奇偶性，并予以证明；（2）求使得成立的的取值范围.20．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x万件，其总成本为万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数的解析式（利润=销售收入−总成本）；（2）工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？21．设，，已知，求a的值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.若时，由解得或，满足题意.若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.综上，故选：D2、A【解析】首先确定角，接着求，，最后根据展开求值即可.【详解】因为，均为锐角，所以，所以，，所以.故选：A.【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好3、C【解析】利用对数的运算性质求出，由此可得答案.【详解】,所以.故选：C4、A【解析】∵，∴2既是方程的解，又是方程的解令a是方程的另一个根，b是方程的另一个根由韦达定理可得：2×a=6，即a=3，∴2+a=p，∴p=52+b=−6，即b=−8，∴2×b=−16=−q，∴q=16∴p+q=21故选：A5、D【解析】由已知中两函数的图象交于点P( 由指数函数的性质可知，若x0≥2，则0<y由于x0≥2，所以a>1且4a点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于a的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.6、B【解析】利用辅助角公式及正弦函数的性质解三角形不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件即可；【详解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角为，因为真包含于，所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件；故选：B7、A【解析】对于①：利用棱台的定义进行判断；对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可判断；对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体.即可判断；对于④：利用圆锥的性质直接判断.【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误；对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误；对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误；对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确.故选：A8、A【解析】根据图象可得、，然后利用求出即可.【详解】由图可知，C正确；，则，，B正确；，A错误；因为，则，即，又，则，D正确故选：A9、B【解析】由题意，求长，即可求外接圆半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积.【详解】由题意中，，，则是等腰直角三角形，平面可得，，平面，，则的中点为球心设外接圆半径为，则，设球心到平面的距离为，则，由勾股定理得，则三棱锥的外接球的表面积故选：【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求法，利用球的对称性确定球心到平面的距离，培养空间感知能力，中等题型.10、C【解析】连接DF,因为DF与AE平行,所以∠DFD即为异面直线AE与DF所成角的平面角,设正方体的棱长为2,则FD=FD=,由余弦定理得cos∠DFD==.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】设，时，方程只有一个根，不合题意，时，方程的根，就是函数的零点，方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，且只需，即，解得，故答案为.12、【解析】利用扇形的面积公式可求得结果.【详解】扇形的圆心角为，因此，该扇形的面积为.故答案：.13、①.②.【解析】根据给定条件利用偶函数的定义即可求出时解析式；再借助函数在单调性即可求解作答.【详解】因函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，，，所以当时，；依题意，在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：；14、（1）（2）存在；（或）【解析】（1）由题意，得在上恒成立，参变分离得恒成立，再令新函数，判断函数的单调性，求解最大值，从而求出的取值范围；（2）在（1）的条件下，讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到.【小问1详解】由题意，在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故则，即的取值范围为.【小问2详解】要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得，①当时，要使函数在区间上为增函数，则函数在上恒正且为增函数，故且，即，此时的最大值为即，满足题意②当时，要使函数在区间上为增函数，则函数在上恒正且为减函数，故且，即，此时的最大值为即，满足题意综上，存在（或）【点睛】一般关于不等式在给定区间上恒成立的问题都可转化为最值问题，参变分离后得恒成立，等价于；恒成立，等价于成立.15、【解析】命题为假命题时，二次方程无实数解，据此可求a的范围.【详解】若命题“，”为假命题，则一元二次方程无实数解，∴.∴a的取值范围是：.故答案为：.16、【解析】由，都是锐角，得出的范围，由和的值，利用同角三角函数的基本关系分别求出和的值，然后把所求式子的角变为，利用两角和与差的余弦函数公式化简计算，即得结果【详解】，都是锐角，，又，，，，则故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）2；（2）.【解析】(1)确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用的定义域和值域均是，建立方程，即可求实数的值；(2)由函数的单调性得出在单调递减，在单调递增，从而求出在上的最大值和最小值，进而求出实数的取值范围.【小问1详解】易知的对称轴为直线，故在上为减函数，∴在上单调递减，即，，代入解得或（舍去）.故实数的值为2.【小问2详解】∵在是减函数，∴.∴在上单调递减，在上单调递增，又函数的对称轴为直线，∴，，又，∴.∵对任意的，总有，∴，即，解得，又，∴，即实数的取值范围为.18、（1）4（2）在区间上单调递减，证明见解析【解析】（1）直接根据即可得出答案；（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.【小问1详解】解：由得，解得；【小问2详解】解：在区间内单调递减，证明：由（1）得，对任意，且，有，由，，得，，又由，得，于是，即，所以在区间上单调递减19、（1）见解析；（2）见解析【解析】【试题分析】（I）先求得函数的定义域，然后利用奇偶性的定义判断出函数为奇函数.（2）化简原不等式，并按两种情况来解不等式，由此求得的取值范围.【试题解析】(Ⅰ)由得定义域为是奇函数(Ⅱ)由得①当时，，解得②当时，，解得当时的取值范围是；当时的取值范围是【点睛】本题主要考查函数的性质，考查函数的定义域和奇偶性，考查不等式的求解方法，考查分类讨论的数学思想.要判断一个函数的奇偶性，首先要求函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数.含有参数不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.20、（1）（2）4万件【解析】（1