黑龙江省宾县第一中学2025届高二数学第一学期期末监测试题含解析

黑龙江省宾县第一中学2025届高二数学第一学期期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切C.相离 D.相交或相切2．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y（人）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为9℃，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（）A.38 B.40C.46 D.583．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，直线PF交x轴于Q点，且，则点P到准线l的距离为（）A.4 B.5C.6 D.74．若向量则（）A. B.3C. D.5．设是双曲线的一个焦点，，是的两个顶点，上存在一点，使得与以为直径的圆相切于，且是线段的中点，则的渐近线方程为A. B.C. D.6．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎7．已知函数，则等于（）A.0 B.2C. D.8．的展开式中的系数是（）A.1792 B.C.448 D.9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形10．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，若数列的前项和为，则的值为（）A. B.C. D.11．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A. B.C. D.12．设，分别是双曲线：的左、右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，，为坐标原点，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______14．设函数，，若存在，成立，则实数的取值范围为__________.15．在等比数列中，，，则公比________.16．欧阳修在《卖油翁》中写道：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是_______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.18．（12分）如图，四棱台的底面为正方形，面，（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线m与平面所成角的正弦值19．（12分）已知椭圆的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设点、在椭圆上，以线段为直径的圆过原点，试问是否存在定点，使得到直线的距离为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说理由.20．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数21．（12分）已知为数列的前项和，且.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.22．（10分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上（1）经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；（2）设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由直线恒过定点，且定点圆内，从而即可判断直线与圆相交.【详解】解：因为直线恒过定点，而，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，故选：A.2、B【解析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程，进而估计下个月老年人与儿童患病人数.【详解】由表格得为，由回归方程中的，∴，解得，即，当时，.故选：B.3、C【解析】根据题干条件得到相似，进而得到，求出点P到准线l的距离.【详解】由题意得：，准线方程为，因为，所以，故点P到准线l的距离为.故选：C4、D【解析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得【详解】由于向量，，所以.故故选：D5、C【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的之间的关系求解.【详解】设另一焦点为，连接，由于是圆的切线，则，且，又是的中点，则是的中位线，则，且，由双曲线定义可知，由勾股定理知，，，即，渐近线方程为，所以渐近线方程为故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.6、A【解析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.7、D【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.【详解】由题意，，故选：D.8、D【解析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.【详解】的展开式中，含的项为.所以的系数是.故选：D9、C【解析】根据三角恒等变换结合正弦定理化简求得，即可判定三角形形状.【详解】解：由题，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.故选：C.10、A【解析】函数的图象在点处的切线与直线平行，利用导函数的几何含义可以求出，转化求解数列的通项公式，进而由数列的通项公式，利用裂项相消法求和即可【详解】解：∵函数的图象在点处的切线与直线平行，由求导得：，由导函数得几何含义得：，可得，∴，所以，∴数列的通项为，所以数列的前项的和即为，则利用裂项相消法可以得到：所以数列的前2021项的和为：.故选：A.11、B【解析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.【详解】故选：B.12、D【解析】先求过右焦点且与渐近线垂直的直线方程，与渐近线方程联立求点P的坐标，再用两点间的距离公式，结合已知条件，得到关于a，c的关系式.【详解】双曲线的左右焦点分别为、，一条渐近线方程为，过与这条渐近线垂直的直线方程为，由，得到点P的坐标为，又因为，所以，所以，所以.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.【详解】解：由题得圆的圆心为，双曲线的渐近线方程为，即.所以圆心到双曲线渐近线的距离为.故答案为：214、【解析】由不等式分离参数，令，则求即可【详解】由，得，令，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故由于存在，成立，则故答案为：15、【解析】根据等比数列的性质求解即可.【详解】因为等比数列中,故,又,故,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质运用,需要注意分析项与公比的正负,属于基础题.16、【解析】分别求出圆和正方形的面积，结合几何概型的面积型计算公式进行求解即可.【详解】因为铜钱的面积为，正方形孔的面积为，所以随机地向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是.故答案为：【点睛】本题考查了几何概型计算公式，考查了数学运算能力,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据作差即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可知，，根据等差数列的通项公式得到，即可得到，再令，利用错位相减法求出，即可得证；【小问1详解】解：因为，且，当时，则，所以，当时，，则，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；【小问2详解】解：由（1）可知，，因为，所以，所以，令，则，所以，所以，即，所以，即；18、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）：连结交交于点O，连结，，通过四棱台的性质以及给定长度证明，从而证出，利用线面平行的判定定理可证明面；（2）利用线面平行的性质定理以及基本事实可证明，即求与平面所成角的正弦值；通过条件以及面面垂直的判定定理可证明面面，则为与平面所成角，利用余弦定理求出余弦值，即可求出正弦值.【详解】（1）证明：连结交交于点O，连结，，由多面体为四棱台可知四点共面，且面面，面面，面面，∴，∵和均为正方形，，∴，所以为平行四边形，∴，面，面，∴平面（2）∵面，平面，平面，∴，又∵，∴∴求直线m与平面所成角可转化为求与平面所成角，∵和均为正方形，，且，∴，，∴，又∵面，∴∴面，∴面面，由面面，设O在面的投影为M，则，∴为与平面所成角，由，可得，又∵，∴∴，直线m与平面所成角的正弦值为.【点睛】思路点睛：（1）找两个平面的交线，可通过两个平面的交点找到，也可利用线面平行的性质找和交线的平行直线；（2）求直线和平面所成角，过直线上一点做平面的垂线，则垂足和斜足连线与直线所成角即为直线和平面所成角.19、（1）；（2）存在，.【解析】（1）由题设可知求出，再结合，从而可求出椭圆的方程，（2）①若直线与轴垂直，由对称性可知，代入椭圆方程可求得结果，②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，然后利用根与系数的关系，设，，再由条件，得，从而得，再利用点到直线的距离公式可求得结果【详解】（1）由题设可知解得，，，所以椭圆的方程为：；（2）设，，①若直线与轴垂直，由对称性可知，将点代入椭圆方程，解得，原点到该直线的距离；②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，由消去得，则由条件，即，由韦达定理得，整理得，则原点到该直线的距离；故存在定点，使得到直线的距离为定值.20、（1）；（2）众数是，中位数为【解析】（1）利用频率之和为一可求得的值；（2）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积相等可求得中位数试题解析：（1）由直方图的性质可得，∴（2）月平均用电量的众数是，∵，月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由，可得，∴月平均用电量的中位数为224考点：频率分布直方图；中位数；众数21、（1）（2）【解析】（1）由与的关系结合等比数列的定义得出的通项公式；（2）由（1）得出，再由错位相减法得出的前项和.【小问1详解】因为，所以当时，，所以.当时，，两式相减，得，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.【小问2详解】由（1）得，所以，两边同乘以，得，两式相减，得，所以.22、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标求出椭圆的方程，