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文档简介
2025届江西省抚州市南城一中数学高三第一学期期末预测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在棱长为4的正方体中,E,F,G分别为棱AB,BC,的中点,M为棱AD的中点,设P,Q为底面ABCD内的两个动点,满足平面EFG,,则的最小值为()A. B. C. D.2.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为A. B. C. D.3.已知角的终边经过点,则A. B.C. D.4.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是().A.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加B.与2016年相比,2019年一本达线人数减少C.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍D.2016年与2019年艺体达线人数相同5.设为虚数单位,为复数,若为实数,则()A. B. C. D.6.下列几何体的三视图中,恰好有两个视图相同的几何体是()A.正方体 B.球体C.圆锥 D.长宽高互不相等的长方体7.已知抛物线:,直线与分别相交于点,与的准线相交于点,若,则()A.3 B. C. D.8.设为锐角,若,则的值为()A. B. C. D.9.已知数列满足,且,则的值是()A. B. C.4 D.10.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.11.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.12.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列中,为其前项和,,,则_________,_________.14.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.15.若展开式中的常数项为240,则实数的值为________.16.已知三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某工厂为提高生产效率,需引进一条新的生产线投入生产,现有两条生产线可供选择,生产线①:有A,B两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为15万元;若A工序出现故障,则生产成本增加2万元;若B工序出现故障,则生产成本增加3万元;若A,B两道工序都出现故障,则生产成本增加5万元.生产线②:有a,b两道独立运行的生产工序,且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.01.若两道工序都没有出现故障,则生产成本为14万元;若a工序出现故障,则生产成本增加8万元;若b工序出现故障,则生产成本增加5万元;若a,b两道工序都出现故障,则生产成本增加13万元.(1)若选择生产线①,求生产成本恰好为18万元的概率;(2)为最大限度节约生产成本,你会给工厂建议选择哪条生产线?请说明理由.18.(12分)如图,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.过顶点,的平面与棱,分别交于,两点.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求证:四边形是平行四边形;(Ⅲ)若,试判断二面角的大小能否为?说明理由.19.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式对一切恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程,并指出其形状;(2)曲线与曲线交于,两点,若,求的值.21.(12分)已知直线:与抛物线切于点,直线:过定点Q,且抛物线上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)设直线与抛物线交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为,那么是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)下表是某公司2018年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:月份56789101112研发费用(百万元)2361021131518产品销量(万台)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根据数据可知与之间存在线性相关关系,求出与的线性回归方程(系数精确到0.01);(Ⅱ)该公司制定了如下奖励制度:以(单位:万台)表示日销售,当时,不设奖;当时,每位员工每日奖励200元;当时,每位员工每日奖励300元;当时,每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售(万台)服从正态分布(其中是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一),请你估计每位员工该月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:,,,,参考公式:相关系数,其回归直线中的,若随机变量服从正态分布,则,.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
把截面画完整,可得在上,由知在以为圆心1为半径的四分之一圆上,利用对称性可得的最小值.【详解】如图,分别取的中点,连接,易证共面,即平面为截面,连接,由中位线定理可得,平面,平面,则平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方体中平面,从而有,∴,∴在以为圆心1为半径的四分之一圆(圆在正方形内的部分)上,显然关于直线的对称点为,,当且仅当共线时取等号,∴所求最小值为.故选:C.【点睛】本题考查空间距离的最小值问题,解题时作出正方体的完整截面求出点轨迹是第一个难点,第二个难点是求出点轨迹,第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值.2、A【解析】
求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的定义,转化求出比值,,求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【详解】解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=−1,
过点P作PM垂直于准线,M为垂足,
由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+1,
记∠KPF的平分线与轴交于
根据角平分线定理可得,,当时,,当时,,,综上:.故选:A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.3、D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D.4、A【解析】
设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,2016年高考不上线人数为,2019年不上线人数为,故A正确;2016年高考一本人数,2019年高考一本人数,故B错误;2019年二本达线人数,2016年二本达线人数,增加了倍,故C错误;2016年艺体达线人数,2019年艺体达线人数,故D错误.故选:A.【点睛】本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目.5、B【解析】
可设,将化简,得到,由复数为实数,可得,解方程即可求解【详解】设,则.由题意有,所以.故选:B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算,由复数的类型求解对应参数,属于基础题6、C【解析】
根据基本几何体的三视图确定.【详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形,球的三个三视图都是相等的圆,圆锥的三个三视图有一个是圆,另外两个是全等的等腰三角形,长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.故选:C.【点睛】本题考查基本几何体的三视图,掌握基本几何体的三视图是解题关键.7、C【解析】
根据抛物线的定义以及三角形的中位线,斜率的定义表示即可求得答案.【详解】显然直线过抛物线的焦点如图,过A,M作准线的垂直,垂足分别为C,D,过M作AC的垂线,垂足为E根据抛物线的定义可知MD=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M为AN的中点,所以MD为三角形NAC的中位线,故MD=CE=EA=AC设MF=t,则MD=t,AF=AC=2t,所以AM=3t,在直角三角形AEM中,ME=所以故选:C【点睛】本题考查求抛物线的焦点弦的斜率,常见于利用抛物线的定义构建关系,属于中档题.8、D【解析】
用诱导公式和二倍角公式计算.【详解】.故选:D.【点睛】本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式,解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.9、B【解析】由,可得,所以数列是公比为的等比数列,所以,则,则,故选B.点睛:本题考查了等比数列的概念,等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用,试题有一定的技巧,属于中档试题,解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用,尤其需要注意的是,等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时,应该要分类讨论,有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.10、A【解析】
阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.11、D【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.12、B【解析】
选B.考点:圆心坐标二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、8(写为也得分)【解析】
由,得,.当时,,所以,所以的奇数项是以1为首项,以2为公比的等比数列;其偶数项是以2为首项,以2为公比的等比数列.则,.14、【解析】
根据题意,利用扇形面积公式求出圆心角,再根据等腰三角形性质求出,利用向量的数量积公式求出.【详解】设角,则,,所以在等腰三角形中,,则.故答案为:.【点睛】本题考查扇形的面积公式和向量的数量积公式,属于基础题.15、-3【解析】
依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程,解得即可;【详解】解:∵二项式的展开式中的常数项为,∴解得.故答案为:【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的计算,属于基础题.16、【解析】
将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,求得的值,然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,则,由勾股定理可得,上述三个等式全部相加得,,因此,三棱锥的外接球面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算,根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键,考查推理能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)0.0294.(2)应选生产线②.见解析【解析】
(1)由题意转化条件得A工序不出现故障B工序出现故障,利用相互独立事件的概率公式即可得解;(2)分别算出两个生产线增加的生产成本的期望,进而求出两个生产线的生产成本期望值,比较期望值即可得解.【详解】(1)若选择生产线①,生产成本恰好为18万元,即A工序不出现故障B工序出现故障,故所求的概率为.(2)若选择生产线①,设增加的生产成本为(万元),则的可能取值为0,2,3,5.,,,,所以万元;故选生产线①的生产成本期望值为(万元).若选生产线②,设增加的生产成本为(万元),则的可能取值为0,8,5,13.,,,,所以,故选生产线②的生产成本期望值为(万元),故应选生产线②.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率,考查了离散型随机变量期望的应用,属于中档题.18、(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)不能为.【解析】
(1)由平面平面,可得平面,从而证明;(2)由平面与平面没有交点,可得与不相交,又与共面,所以,同理可证,得证;(3)作交于点,延长交于点,连接,根据三垂线定理,确定二面角的平面角,若,,由大角对大边知,两者矛盾,故二面角的大小不能为.【详解】(1)由平面平面,平面平面,且,所以平面,又平面,所以;(2)依题意都在平面上,因此平面,平面,又平面,平面,平面与平面平行,即两个平面没有交点,则与不相交,又与共面,所以,同理可证,所以四边形是平行四边形;(3)不能.如图,作交于点,延长交于点,连接,由,,,所以平面,则平面,又,根据三垂线定理,得到,所以是二面角的平面角,若,则是等腰直角三角形,,又,所以中,由大角对大边知,所以,这与上面相矛盾,所以二面角的大小不能为.【点睛】本题考查了立体几何中的线线平行和垂直的判定问题,和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,属中档题.19、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)时,根据绝对值不等式的定义去掉绝对值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集为,等价于,求出在的最小值即可.【详解】(Ⅰ)当时,时,不等式化为,解得,即时,不等式化为,不等式恒成立,即时,不等式化为,解得,即综上所述,不等式的解集为(Ⅱ)不等式的解集为对任意恒成立当时,取得最小值为实数的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题,也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题,属于常规题型.20、(1),以为圆心,为半径的圆;(2)【解析】
(1)根据极坐标与直角坐标的互化公式,直接得到的直角坐标方程并判断形状;(2)联立直线参数方程与的直角坐标方程,根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值.【详解】解:(1)由,得,所以,即,.所以曲线是以为圆心,为半径的圆.(2)将代入,整理得.设点,所对应的参数分别为,,则,.,解得,则.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值,难度一般.(1)极坐标与直角坐标的互化公式:;(2)若要使用直线参数方程中的几何意义,要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中,构成关于的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.21、(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直线恒过点点及抛物线C上的点到点Q的距离与到准线的距离之和的最小值为,求出抛物线的方程,再由直线
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