2024-2025学年高中数学第三章概率3.3模拟方法-概率的应用课时素养评价含解析北师大版必修3

PAGE课时素养评价二十三模拟方法——概率的应用(20分钟·35分)1.下列关于几何概型的说法中,错误的是 ()A.几何概型是古典概型的一种,基本领件都具有等可能性B.几何概型中事务发生的概率与它的位置或形态无关C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性【解析】选A.几何概型和古典概型是两种不同的概率模型.2.已知函数f(x)=log2x,x∈QUOTE,在区间QUOTE上任取一点x0,则使f(x0)≥0的概率为 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.欲使f(x)=log2x≥0,则x≥1,而x∈QUOTE,所以x0∈[1,2],从而由几何概型概率公式知所求概率P=QUOTE=QUOTE.3.如图,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=QUOTE,由圆的对称性及几何概型得P=QUOTE=QUOTE.4.如图,在边长为2的正方形中,随机撒1000粒豆子,若按π≈3计算,估计落到阴影部分的豆子数为 ()A.125 B.150 C.175 D.200【解析】选A.由题意知圆的半径为1,则圆的面积近似为3,又正方形面积为4,则阴影部分面积为QUOTE×(4-3)=QUOTE.设落到阴影部分的豆子数为n,则QUOTE=QUOTE,n=125.5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD-A1B1C1D1内任取点M,点M在球O内的概率是________.

【解析】设正方体的棱长为2.正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半,其体积为V1=QUOTEπ×13=QUOTE.则点M在球O内的概率是QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如图,射箭竞赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的竞赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?【解析】记“射中黄心”为事务B,由于中靶点随机地落在面积为QUOTE×π×1222cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为QUOTE×π×12.22cm2的黄心时,事务B发生,于是事务B发生的概率为P(B)=QUOTE=0.01.即“射中黄心”的概率是0.01.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采纳随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ()A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15【解析】选B.易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以所求概率P=QUOTE=0.25.2.已知集合A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},在集合A中任取一个元素x,则事务“x∈A∩B”的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.A∩B={x|2<x<3},因为集合A表示的区间长度为5-(-1)=6,集合A∩B表示的区间长度为3-2=1.故事务“x∈A∩B”的概率为QUOTE.3.如图,在△AOB中,已知∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C,则△AOC为钝角三角形的概率为 ()A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1【解题指南】试验发生包含的事务对应的是长度为5的一条线段,满意条件的事务是组成钝角三角形,包括两种状况,第一种∠ACO为钝角,其次种∠OAC为钝角,依据等可能事务的概率得到结果.【解析】选B.试验发生包含的事务对应的是长度为5的一条线段,满意条件的事务是组成钝角三角形,包括两种状况:第一种∠ACO为钝角,这种状况的边界是∠ACO=90°的时候,此时OC=1,所以这种状况下,满意要求的是0<OC<1.其次种∠OAC为钝角,这种状况的边界是∠OAC=90°的时候,此时OC=4,所以这种状况下,满意要求的是4<OC<5.综合两种状况,若△AOC为钝角三角形,则0<OC<1或4<OC<5.所以概率P=QUOTE=0.4.4.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一棵类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.由题意知BC=2,B′C=5,设AC=x,则AB=AB′=x+2,在Rt△ACB′中,由勾股定理得52+x2=(x+2)2,解得x=QUOTE,所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率P=QUOTE=QUOTE=QUOTE.5.勒洛三角形是德国机械工程专家勒洛首先进行探讨的.其画法是:先画一个正三角形,再以正三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形,如图中实线所示.现要在勒洛三角形中随机取一点,则此点在正三角形ABC内的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解题指南】首先明确所求概率类型为一个与面积相关的几何概型,然后明确勒洛三角形的定义:三段圆弧围成的曲边三角形,勒洛三角形的面积须要借助扇形面积与三角形面积求解,最终求出正三角形ABC的面积,代入几何概型的概率计算公式求解即可.【解析】选B.不妨设BC=2,则以B为圆心的扇形ABC的面积S扇形ABC=QUOTE=QUOTE,S△ABC=QUOTE×2×2×QUOTE=QUOTE.由题图可知,勒洛三角形的面积为3个扇形ABC的面积减去2个正三角形ABC的面积,即QUOTE×3-2QUOTE=2π-2QUOTE,所以在勒洛三角形中随机取一点,此点在正三角形ABC内的概率是QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,四边形ABCD为矩形,AB=QUOTE,BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个圆弧QUOTE,在∠DAB内任作射线AP,点P在圆弧QUOTE上,则射线AP与线段BC有公共点的概率为______.

【解析】因为在∠DAB内任作射线AP,所以它的全部等可能事务所在的区域是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,则区域为∠CAB,所以射线AP与线段BC有公共点的概率为QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=QUOTE的图像上.若在矩形ABCD内随机取一点,则该点取自阴影部分的概率等于________.

【解析】由已知得B(1,0),C(1,2),D(-2,2),F(0,1),则矩形ABCD的面积为3×2=6,阴影部分的面积为QUOTE×3×1=QUOTE,故该点取自阴影部分的概率等于QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.已知直线y=x+b的横截距在[-2,3]内,则直线在y轴上的截距b大于1的概率是________.

【解析】全部的基本领件构成的区间长度为3-(-2)=5,因为直线在y轴上的截距b大于1,所以直线横截距小于-1,所以“直线在y轴上的截距b大于1”包含的基本领件构成的区间长度为-1-(-2)=1,由几何概型概率公式得直线在y轴上的截距b大于1的概率为P=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的肯定值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为________.

【解析】如图,区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.(1)求圆C的圆心到直线l的距离;(2)求圆C上随意一点A到直线l的距离小于2的概率.【解析】(1)由点到直线l的距离公式可得d=QUOTE=5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5,要使圆上的点到直线的距离小于2,设与圆相交且与直线l平行且相距2的直线为l1,其方程为4x+3y=15.则符合题意的点应在l1:4x+3y=15与圆相交所得劣弧上,由半径为2QUOTE,圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.故所求概率为P=QUOTE=QUOTE.10.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数,b是从区间[0,2]上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.【解析】设事务A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”,当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为Δ=4a2-4b2≥0,即a≥b.(1)基本领件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数表示a的取值,其次个数表示b的取值.事务A中包含9个基本领件,事务A发生的概率P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.构成事务A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.如图,所以所求概率P(A)=QUOTE=QUOTE.1.(2024·惠州高一检测)关于圆周率π,数学发展史上出现过很多有创意的求法,如闻名的蒲丰试验.受其启发,我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对(x,y),再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m,最终依据统计个数m估计π的值.假如统计结果是m=34,那么可以估计π的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意,120对正实数对(x,y)中的x,y满意QUOTE该不等式组表示的平面区域的面积为1.要使正实数对(x,y)中的x,y能与1构成钝角三角形的三边,则x,y需满意QUOTE该不等式组表示的平面区域的面积为QUOTE-QUOTE,则QUOTE-QUOTE≈QUOTE,π≈QUOTE.2.对某人某两项指标进行考核,每项指标满分100分,设此人每项得分在[0,100]上是等可能出现的.单项80分以上