2025版高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第二讲排列与组合学案新人教版

PAGE其次讲排列与组合学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一排列与排列数(1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，依据肯定的__依次__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__全部不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__Aeq\o\al(m,n)__表示．(3)排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，这里规定0！＝__1__．学问点二组合与组合数(1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__全部不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__Ceq\o\al(m,n)__表示．(3)组合数的计算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，这里规定Ceq\o\al(0,n)＝__1__．(4)组合数的性质：①Ceq\o\al(m,n)＝__Ceq\o\al(n－m,n)__；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝__Ceq\o\al(m,n)__＋__Ceq\o\al(m－1,n)__．注：应用公式化简、求值、解方程、解不等式时，留意Aeq\o\al(m,n)、Ceq\o\al(m,n)中的隐含条件m≤n，且m，n∈N＋．eq\x(重)eq\x(要)eq\x(结)eq\x(论)对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满意特别元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主考虑，即先满意特别位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)全部元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后依次．(×)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！．(√)(5)若组合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，则x＝m成立．(×)(6)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)．(√)题组二走进教材2．(P27A组T716)A．144 B．120C．72 D．24[解析]“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24．题组三走向高考3．(2024·全国卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有(D)A．12种 B．18种C．24种 D．36种[解析]4项工作分成3组，可得：Ceq\o\al(2,4)＝6，支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×Aeq\o\al(3,3)＝36种，故选D．4．(2024·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成__1_260__个没有重复数字的四位数．(用数字作答)[解析]从1,3,5,7,9中任取2个数字有Ceq\o\al(2,5)种方法，从2,4,6,0中任取2个数字不含0时，有Ceq\o\al(2,3)种方法，可以组成Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(4,4)＝720个没有重复数字的四位数；含有0时，0不能在千位位置，其它随意排列，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(3,3)＝540，故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数，故答案为：1260．5．(2024·新课标Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参与科技竞赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__16__种．(用数字填写答案)[解析]解法一：从2位女生，4位男生中选3人，且至少有1位女生入选的状况有以下2种：①2女1男：有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4种选法；②1女2男：有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种选法，故至少有1位女生入选的选法有4＋12＝16种．解法二：从2位女生，4位男生中选3人有Ceq\o\al(3,6)＝20种选法，其中选出的3人都是男生的选法有Ceq\o\al(3,4)＝4种，所以至少有1位女生入选的选法有20－4＝16种．考点突破·互动探究考点一排列问题——自主练透例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法总数，分别为：(1)选其中5人排成一排；__2_520__(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；__5_040__(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；__3_600__(4)全体排成一排，女生必需站在一起；__576__(5)全体排成一排，男生互不相邻；__1_440__(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；__720__(7)全体排成一排，甲必需排在乙前面；__2_520__(8)全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端．__3_720__[解析](1)从7个人中选5个人来排，是排列，有Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(种)．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有Aeq\o\al(3,7)种方法，余下4人排在后排，有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(种)．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)优先法：解法一：(元素分析法)甲为特别元素．先排甲，有5种方法；其余6人有Aeq\o\al(6,6)种方法，故共有5×Aeq\o\al(6,6)＝3600种．解法二：(位置分析法)排头与排尾为特别位置．排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有Aeq\o\al(2,6)种方法，中间5个位置由余下5人进行全排列，有Aeq\o\al(5,5)种方法，共有Aeq\o\al(2,6)×Aeq\o\al(5,5)＝3600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再将4名女生进行全排列，也有Aeq\o\al(4,4)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(4,4)＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有Aeq\o\al(4,4)种方法，再在女生之间及首尾空出5个空位中任选3个空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)种方法，故共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝1440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有Aeq\o\al(2,2)种方法；其次步从余下5人中选3人排在甲、乙中间，有Aeq\o\al(3,5)种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)种方法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,5)·Aeq\o\al(3,3)＝720种．(7)消序法：eq\f(A\o\al(7,7),2！)＝2520．(8)间接法：Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,7)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720．位置分析法：分甲在右端与不在右端两类．甲在右端的排法有Aeq\o\al(6,6)(种)排法，甲不在右端的排法有5×5Aeq\o\al(5,5)(种)排法，∴共有Aeq\o\al(6,6)＋25Aeq\o\al(5,5)＝3720(种)．[引申]本例中7人排一排，(1)甲站中间的站法有__720__种；(2)甲、乙相邻且丙不站排头和排尾的站法有__960__种；(3)甲、乙相邻且都与丙不相邻的站法有__960__种．[解析](1)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)＝720；或Aeq\o\al(6,6)＝720(2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝960；(3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝960．名师点拨求解排列应用问题的6种主要方法干脆法把符合条件的排列数干脆列式计算优先法优先支配特别元素或特别位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时留意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑依次限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法〔变式训练1〕(1)(2024·广东深圳宝安区调研)某车队有6辆车，现要调出4辆按肯定的依次出去执行任务，要求甲、乙两车必需参与，且甲车要先于乙车开出，则共有__72__种不同的调度方法．(用数字填写答案)(2)(2024·广西兴宁、南宁三中期末)2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F,6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热情欢迎．当地媒体为了宣扬他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为(D)A．36种 B．48种C．56种 D．72种[解析](1)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝72．或Ceq\o\al(2,4)·eq\f(A\o\al(4,4),2)＝72(2)①领导和队长站在两端，有Aeq\o\al(2,2)＝2种状况，②中间5人分2种状况探讨：若BC相邻且与D相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12种支配方法，若BC相邻且不与D相邻，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24种支配方法，则中间5人有12＋24＝36种支配方法，则有2×36＝72种不同的支配方法；故选D．考点二组合问题——师生共研例2(1)(2024·广东中山模拟)从10名高校毕业生中选3个人担当村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(B)A．85 B．49C．56 D．28(2)(2024·福建宁德联考)福建省第十六届运动会于2024年在宁德召开，组委会预备在会议期间将A，B，C，D，E，F这六名工作人员安排到两个不同的地点参与接待工作．若要求A，B必需在同一组，且每组至少2人，则不同的安排方法有(D)A．15种 B．18种C．20种 D．22种[解析](1)∵丙没有入选，∴可把丙去掉，总人数变为9个．∵甲、乙至少有1人入选，∴可分为两类：一类是甲、乙两人只选一人的选法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,7)＝42(种)，另一类是甲、乙都入选的选法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,7)＝7(种)，依据分类加法计数原理知共有42＋7＝49(种)．(2)先从两个不同的地点选出一地点安排A，B两人，有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)状况，再将剩余4人分入两地有三种状况，4人都去A，B外的另一地点，有1种状况；有3人去A，B外的另一地点，有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)状况；有2人去A，B外的另一地点，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)状况．综上，共有2×(1＋4＋6)＝22(种)，故选D．[引申]本例(1)中，①甲、乙恰有1人入选的选法有__56__种；②甲、乙都不入选的选法有__56__种．[解析]①Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8)＝56②Ceq\o\al(3,8)＝56名师点拨组合问题常有以下两类题型改变：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必需非常重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用干脆法和间接法都可以求解，通常用干脆法分类困难时，考虑逆向思维，用间接法处理．〔变式训练2〕(1)(2024·海南省联考)楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走平安，第一盏和最终一盏不关，则关灯方案的种数为(A)A．10 B．15C．20 D．24(2)(2024·江苏南通质检)我国进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2～3艘驱除舰，1～2艘核潜艇．船厂现有5艘驱除舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为(D)A．30 B．60C．90 D．120[解析](1)问题等价于将这3盏关着的灯插入4盏亮着的灯形成的5个空档中，所以关灯方案共有Ceq\o\al(3,5)＝10种．(2)有两种状况，①一艘航母配2艘驱除舰和1艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱除舰和2艘核潜艇，②一艘航母配2艘驱除舰和2艘核潜艇，另一艘航母配3艘驱除舰和1艘核潜艇，Ceq\o\al(1,2)·(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))＝120，故选D．考点三排列、组合的综合应用——多维探究角度1相邻、相间问题例3(1)(2024·河北省衡水中学调研)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出依次有如下要求：节目甲必需排在前三位，且节目丙、丁必需排在一起，则该校毕业典礼节目演出依次的编排方案共有__120__种．(2)(2024·湖南师范高校附属中学模拟)某班上午有五节课，分别支配语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是(A)A．16 B．24C．8 D．12[解析](1)①当甲在首位，丙、丁捆绑，自由排列，共有Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝48种；②当甲在其次位，首位不能是丙和丁，共有3×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝36种；③当甲在第三位，前两位分为是丙、丁和不是丙、丁两种状况，共Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(2,3)×Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,2)＝36种，因此共48＋36＋36＝120种．(2)依据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其依次，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)状况；②将这个整体与英语全排列，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)状况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，支配物理，有2种状况，则数学、物理的支配方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16，故选A．角度2特别元素(位置)问题例4(1)(2024·重庆模拟)从5名学生中选出4名分别参与数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参与生物竞赛，则不同的参赛方案种数为(D)A．48 B．72C．90 D．96(2)(2024·山东质检)高三一班周一上午有四节课，分别支配语文、数学、英语和体育．其中语文担心排在第一节，数学担心排在其次节，英语担心排在第三节，体育担心排在第四节，则不同的课表支配方法共有__9__种．[解析](1)由于甲不参与生物竞赛，则支配甲参与另外3场竞赛或甲不参与任何竞赛．①当甲参与另外3场竞赛时，共有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,4)＝72(种)选择方案；②当甲学生不参与任何竞赛时，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)选择方案．综上所述，全部参赛方案有72＋24＝96(种)．(2)由于四个元素都有特别要求，不宜从排列、组合数公式入手，列表法为佳，如：第一节其次节第三节第四节数学语文——体育——英语英语——体育——语文体育——语文——英语同理第一节排英语、体育也都有3种排法，故共有9种排法．[引申]本例(1)若增加“且乙不参与数学竞赛”，则不同的参赛方法种数为__78__．[解析]①甲、乙都参赛有Ceq\o\al(2,3)(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))＝42种方案；②甲参赛乙不参赛或乙参赛甲不参赛均有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝18种方案；∴共有42＋18＋18＝78种参赛方案．角度3分组、安排问题例5(1)按下列要求安排6本不同的书，各有多少种不同的安排方式？将答案填在对应横线上．①分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；__60__②甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；__360__③平均分成三份，每份2本；__15__④平均安排给甲、乙、丙三人，每人2本；__90__；⑤分成三份，1份4本，另外两份每份1本；__15__⑥甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；__90__⑦甲得1本，乙得1本，丙得4本．__30__(2)①8个相同的小球放入5个不同盒子中，每盒不空的放法共有__35__种．②15个小球完全相同，放入编号依次为1,2,3的三个不同盒子中，若每个盒子内的小球数不少于盒子的编号，则不同放法有__55__种．[解析](1)①Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60；②Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360；③eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15；④Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90；⑤Ceq\o\al(2,6)＝15；⑥Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90；⑦Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)＝30．(2)①一共有8个相同的小球，放入5个不同的盒子，每个盒子不空，即将小球分成5份，每份至少1个．(定分数)将8个小球摆放一列，形成9个空，中间有7个空，(定空位)则只需在这7个空中插入4个隔板，隔板不同的放法有Ceq\o\al(4,7)＝Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35(种)，(插隔板)所以每盒不空的放法共有35种．②先将2号盒内放一个球，3号盒内放2个小球，还剩余12个小球，用隔板法将12个小球分成3组，每组至少1个小球，共有Ceq\o\al(2,11)＝55种分法，亦即有55种不同放法．名师点拨解排列组合综合问题的方法先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需三步即可完成．第一步：选元素，即选出符合条件的元素；其次步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列；第三步：计算总数，即依据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数．留意：(1)匀称分组时要除以匀称组数的阶乘；(2)相同元素的安排问题常用“隔板法”．隔板法的解题步骤(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．(3)插隔板：确定须要的隔板个数，依据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．(4)回顾反思：隔板法的关键在于精确确定空位个数以及须要的隔板个数，运用这种方法须要留意两个方面的问题：一是要依据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要留意精确确定空位数以及须要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．〔变式训练3〕(1)(角度1)(2024·山西联考)某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参与农场体验活动，体验活动结束后，农场主子与四名同学站一排合影留念，已知农场主子站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有__16__种．(2)(角度2)(2024·陕西汉中质检)将5个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(B)A．36种 B．42种C．48种 D．60种(3)(角度3)(2024·浙江绍兴柯桥中学测试)为抗击新冠疫情，5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则不同的安排方案有__150__种．[解析](1)先排男生甲有Ceq\o\al(1,4)种方法，再排男生乙有Ceq\o\al(1,2)种方法，最终排两女生有Aeq\o\al(2,2)种方法，故共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝16种方法．另解(间接法)：农场主子在中间共有Aeq\o\al(4,4)＝24种站法，农场主子在中间，两名男生相邻共有2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)＝8种站法，故所求站法共有24－8＝16种．(2)依据题意，最左端只能排甲或乙，可分为两种状况探讨：①甲在最左端，将剩余的4人全排列，共有Aeq\o\al(4,4)＝24种不同的排法；②乙在最左端，甲不能在最右端，有3种状况，将剩余的3人全排列，支配好在剩余的三个位置上，此时共有3Aeq\o\al(3,3)＝18种不同的排法，由分类加法计数原理，可得共有24＋18＝42种不同的排法，故选B．(3)5名专家前往支援三家定点医院，要求每家医院至少分到一名专家，则有两种状况，①将5名专家分成三组，一组3人，另两组都是1人，有Ceq\o\al(3,5)＝10种方法，再将3组分到3个医院，共有10·Aeq\o\al(3,3)＝60种不同的安排方案，②将5名专家分成三组，一组1人，另两组都是2人，有eq\f(C\o\al(1,5)·C\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝15种方法，再将3组分到3个医院，共有15·Aeq\o\al(3,3)＝90种不同的安排方案，依据分类加法计算原理可得一共有60＋90＝150种不同的安排方案．名师讲坛·素养提升排列组合的其它类型及解法1．限制条件的安排问题分类法：例1某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参与中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？[解析]因为甲乙有限制条件，所以依据是否含有甲乙来分类，有以下四种状况：①若甲乙都不参与，则有派遣方案Aeq\o\al(4,8)种：②若甲参与而乙不参与，先支配甲有3种方法，然后支配其余学生有Aeq\o\al(3,8)方法，所以共有3Aeq\o\al(3,8)；③若乙参与而甲不参与同理也有3Aeq\o\al(3,8)种；④若甲乙都参与，则先支配甲乙，有7种方法，然后再支配其余8人中两人到另外两个城市有Aeq\o\al(2,8)种，共有7Aeq\o\al(2,8)方法，所以共有不同的派遣方法总数为Aeq\o\al(4,8)＋3Aeq\o\al(3,8)＋3Aeq\o\al(3,8)＋7Aeq\o\al(2,8)＝4088种．2．多元问题分类法：元素多，取出的状况也多种，可按结果要求分成不相容的几类状况分别计数，最终总计．3．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例28个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？[解析]看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有Aeq\o\al(2,4)种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有Aeq\o\al(1,4)种，其余5个元素任排5个位置上有Aeq\o\al(5,5)种，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝5760种排法．4．“至少”“至多”问题用间接解除法或分类法：例3(2024·北京海淀区二模)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有__84__种不同的抽调方法．[解析]解法一：(分类法)，在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有Ceq\o\al(1,7)种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有Aeq\o\al(2