2024-2025学年新教材高中数学第五章计数原理5.3习题课组合的应用课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(三十四)习题课组合的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．从10名高校毕业生中选3人担当村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法种数为()A．85B．56C．49D．28C[可分类计算：第一类是甲、乙两人有1人入选，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＝42(种)选法；其次类是甲、乙都入选，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)＝7(种)选法，由分类加法计数原理可知，符合题设的方法共有42＋7＝49种．]2．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的安排方案有()A．30种B．90种C．180种D．270种B[设三个班级为甲、乙、丙，则5名实习老师安排到3个班级，肯定有一个班级只安排到一名实习老师，其余两个班级每个班级分到了两名实习老师，故分步：第一步，选一名老师支配在一个班级中有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)种方法；其次步，余下的4名老师平均安排给剩下的两个班级，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种方法．故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90种安排方案．]3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．252C．472D．484C[分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(种)；其次类，不含有红色卡片，共有不同的取法Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．]4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有()A．40种B．50种C．60种D．70种B[先分组再排列，一组2人一组4人有Ceq\o\al(2,6)＝15种不同的分法；两组各3人共有eq\f(C\o\al(3,6),A\o\al(2,2))＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．]5．将2名老师，4名学生分成2个小组，分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的支配方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种A[分两步：第一步，选派一名老师到甲地，另一名到乙地，共有Ceq\o\al(1,2)＝2(种)选派方法；其次步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．]二、填空题6．从正方体ABCD­A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．58[从8个顶点中任取4个有Ceq\o\al(4,8)种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有Ceq\o\al(4,8)－12＝58个不同的四面体．]7．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．36[第一步，选2名同学报名某个社团，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,4)＝12种报法；其次步，从剩余的3个社团里选一个社团支配另一名同学，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,1)＝3(种)报法．由分步乘法计数原理得共有12×3＝36(种)报法．]8．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的安排方案共有________．34650[先从12名同学选4个上第一个路口，再从剩下的8名同学选4个上其次个路口，那么剩下的4名同学上第三个路口，则不同的安排方案共有Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(4,8)Ceq\o\al(4,4)＝34650种．]三、解答题9．某县医院联合专家去农村义务会诊，其中有5人只精通中医，4人只精通西医，还有2人既精通中医又精通西医，现从这11位专家中选4名中医4名西医，有多少种不同的选法？[解]法一：按选西医的人数分三类：第一类，只精通西医的4人都入选，则可从其余7人中任选4人作中医，有Ceq\o\al(4,7)种；其次类，只精通西医的4人选3人，则从均精通的两位专家中选1人作西医，余下6人选4人作中医，有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)种；第三类，只精通西医的4人选2人，则均精通的两位专家作西医，余下5人选4人作中医，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,5)．故由分类加法计数原理知，共有Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(4,5)＝185种选法．法二：按均精通的专家分类：第一类，两人均不参与，有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)种；其次类，两人有一人参与，有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5))种；第三类，两人均参与，有(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4))×2＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)种．由分类加法计数原理知，共有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(4,4)＋[Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(4,5))]＋[(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,4))×2＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)]＝185种选法．10．设集合A＝{1，2，3，…，10}．(1)设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；(2)设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，an，求a1＋a2＋a3＋…＋an的值．[解](1)A的3元素子集的个数为n＝Ceq\o\al(3,10)＝120．(2)在A的3元素子集中，含数k(1≤k≤10)的集合个数有Ceq\o\al(2,9)个，因此a1＋a2＋…＋an＝Ceq\o\al(2,9)×(1＋2＋3＋…＋10)＝1980．11．把甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名同学，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法种数为()A．24B．30C．36D．81B[依据题意，总的分法种数为Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36．若甲、乙两人分在同一个班，则分法种数为Aeq\o\al(3,3)＝6，所以甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为36－6＝30，故选B．]12．若将9名会员分成三组探讨问题，每组3人，共有不同的分组方法种数有()A．Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6) B．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)C．eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3)) D．Aeq\o\al(3,9)Aeq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)C[此题为平均分组问题，有eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6),A\o\al(3,3))种分法．]13．(多选题)有10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品．现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，则()A．最终一只次品正好在第四次测试时被发觉的不怜悯形有Aeq\o\al(4,4)种B．最终一只次品正好在第五次测试时被发觉的不怜悯形有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)种C．最终一只次品正好在第九次测试时被发觉的不怜悯形有Ceq\o\al(5,6)Ceq\o\al(3,8)Aeq\o\al(8,8)种D．4只次品全测出至多须要九次测试[答案]ABCD14．(一题两空)从6双不同的鞋子中任取4只，恰是两双的选法有________种，恰有一双的选法有________种．15240[恰是两双的选法有Ceq\o\al(2,6)＝15种，对于恰有一双的情形，可先选一双完整的，再从剩下的5双中选两双，然后在这两双中各选一只，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝240种选法．]15．在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？[解]法一：(干脆法)分几种状况考虑：O为顶点的三角形中，必需另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上，有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON，上有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．法二：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是Ceq\o\al(3,10)，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形．所以共可以得到Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)，即Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(10×9×8,1×2×3)－eq\f(6×5×4,1×2×3)－eq\f(5×4,1×2)＝120－20－10＝90个．法三