第四集：函数-周期性与对称性-4

第四集：函数—周期性与对称性一、周期定义：若函数满足，则的周期为，也是函数的周期；常用周期的表达式1、的周期为2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、若10、若，或，或，或，或，或且，则的周期；11、，则的周期；12、若，则的周期.二、函数图象的对称轴和对称中心函数满足的条件对称轴(中心)满足的函数的图象[或]满足的函数的图象[或]满足的函数的图象满足的函数的图象满足的函数的图象(偶函数)满足的函数的图象(奇函数)满足与的两个函数的图象满足与的两个函数的图象满足与的两个函数的图象三、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.拓展：1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称.典型例题例1：已知函数为R上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当(0，3)时，，则函数在区间上的（）A．最小值为 B．最小值为C．最大值为0 D．最大值为解：函数的图像关于点对称，.又函数为奇函数，，函数是的周期函数，，，由周期性可知，函数在区间上的图像与在区间上的图像一样，又当时，，由指数函数性质知在区间上单调递减，又函数为R上的奇函数，故当时，，故在上单调递减，且，所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减，函数取得最小值.故函数在区间上的最小值为故选：A.例2已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则下列结论错误的是（）A．方程=0最多有四个解B．函数的值域为[]C．函数的图象关于直线对称D．f(2020)=0解：由可得：，则，所以函数的周期为2，所以，正确，排除D；再由以及，所以，则函数的对称轴为，正确，排除C；当时，，，又函数是奇函数，时，，，即时，又因为函数的对称轴为，所以时，所以时又因为函数的周期为2，所以函数的值域为，正确，排除B；故选：．例3设函数fx为定义域为R的奇函数，且fx=f2−x，当x∈0,1时，fA．6B．7C．13D．14解：由题意，函数f(−x)=−f(x)，f(x)=f(2−x)，则−f(−x)=f(2−x)，可得f(x+4)=f(x)，即函数的周期为4，且y=f(x)的图象关于直线x=1对称．g(x)=|cos(π即方程|cos(πx)|=f(x)的零点，分别画∵两个函数的图象都关于直线x=1对称，∴方程|cos(π由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．例4已知函数，则（）A．1007B．1008C．2014D．2015解：函数，则，所以例5已知函数满足，若函数与图像的交点为则.解：所以的图象关于点对称，也关于点对称，例6定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（)A．15 B．16 C．17 D．18解：定义在上的奇函数满足，得即则的周期为8．则函数的图形如下：比如，当不同整数分别为-1，1，2，5，7…时，取最小值，，至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D例7已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点则实数的值为（）A．或 B．1或 C．或2 D．或1解：已知，①且，分别是上的偶函数和奇函数，则，得：，②①+②得：，由于关于对称，则关于对称，为偶函数，关于轴对称，则关于对称，由于有唯一零点，则必有，，即：，解得：或.故选：A.例8已知定义在上的函数满足，且当时，，函数，实数，满足.若，，使得成立，则的最大值为（）A． B．1 C． D．2解：当时，，令可得.∵，∴的周期为2，所以在[－1，5]的图象所示：结合题意，当，时，取得最大值.最大值为1.故选：B.例9定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．6解：由知函数的图象关于直线对称，∵，是R上的奇函数，∴，∴，∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，，故当时，，当时，，当时，，当时，，方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，则由于，故方程在上有唯一实数，在和上，则方程在和上没有实数根，从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为.故选：A.例10已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，，则函数在区间上的零点个数是_____．解：因为函数定义域为R，周期为3，所以如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在上的零点为所以共有9个零点例11已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．解：由于定义域为的奇函数满足，∴函数为周期函数，且周期为8，当时，，函数在区间上的零点的个数，即为函数与的交点的个数，作出函数上的函数的图象，显然，当时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为.例12已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.解：已知定义在上的函数若在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，联立可得有两个解，即可设，则，进而且不恒为零，可得在单调递增.由可得时，单调递减；时，单调递增，即在处取得极小值且为作出的图象，可得时，有两个解.故答案为：例13.已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________.解：因为是定义在上的奇函数，且满足所以，所以的最小正周期为又因为数列满足，且①；当时，②；①减②得，所以，所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即所以又所以被除余所以故答案为：0例14已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．解：因为偶函数满足，所以，即，所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，所以，当时，，函数递增；当时，，函数递减；当当时，函数取得极大值，作出函数在上的图象，如图所示：因为不等式在上有且只有150个整数解，所以不等式在上有且只有3个整数解，当时，不符合题意，故不等式在上有且只有3个整数解，因为，所以，即，故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，所以，，即，故选：B例15已知函数，，则关于的方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．解：当时，，而，故，故，当时，，而，故，故，故在上的图象关于对称，当且时，，而且，故，故此时与的图象无交点.下面仅考虑上与的图象，如图所示；因为，，，故在上与的图象共有4个不同的交点，故在区间上的所有实根之和为，故选：B.小结：思路小结：不可解方程的解性质的讨论，取决于两个函数的图象性质，而后者由函数的解析式来确定，根据对解析式合理变形后可发现其对应的图象性质，另外注意利用来确定函数图象的对称中心.例16设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）A． B． C． D．解：当时，，故，因为，故当时，，，同理，当时，，依次类推，可得当时，，其中.所以当时，必有.如图所示，因为当时，的取值范围为，故若对任意，都有，则，令，或，结合函数的图象可得，故选：D.小结：思路小结：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.例17定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是：____.①对，有；②函数的值域为；③存在，使得；解：因为,所以①对;因为当时，，当时，，当时，，当时，，因此当时，，从而函数的值域为；所以②对;因为，所以由上可得,即，无解.所以③错；综上正确结论的序号是①②例18已知、都是定义域为的连续函数.已知：满足：①当时，恒成立；②都有.满足：①都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．解：因为都有，所以是偶函数，又当时，恒成立，所以在上单调递增，所以等价于，只需，.因为都有，即，所以是周期函数，周期为2，当时，，所以，故时，，求导得，，令，解得，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以时，，所以，又因为，所以，则，解得或.所以实数的取值范围是.故选：D.例19已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________①对任何，都有；②