新高考数学题型全归纳之排列组合专题01两个计数原理(原卷版+解析)

专题1两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】．【例2】若、是正整数，且，则以为坐标的点共有多少个？【解析】．【例3】用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A． B． C． D．【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有根据分类计数原理知共有故选：．【例4】用数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A． B． C． D．【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有（个．故选：．【例5】用这个数字，可以组成____个大于，小于的数字不重复的四位数．【解析】分四类：=1\*GB3①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有个；=2\*GB3②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有个；=3\*GB3③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有个.故答案为．类型二、乘法原理【例6】公园有个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出，则进门的方法有4种，出门的方法也有4种，则不同的走法有种【例7】将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有_______．【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法，同理第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即不同的放法，故答案为：64．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有安排方法，故不同的安排种法有，故答案为120．【例9】高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法种．【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？【解析】由题意，每项比赛的冠军都有种可能，因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有种可能【例12】用，，，，，组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且和相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有种排法．由分步乘法计数原理得共有（种．答案为：40【例13】从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为（）A． B． C． D．【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，，所以有两类，一类是，从，2，3，，7，任选两个不同数字，方法有令一类是从9，10，两个数字中选一个，从，2，3，，7，中选一个方法是：所以满足题意的椭圆个数是：故选：．【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有（）A．个 B．个 C．个 D．个【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有、1中的一个和、3中的一个，满足条件的定义有：，、，、，、，、，1，、，1，、，，、，，、，1，，，共9个．故选：．【例15】某银行储蓄卡的密码是一个位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选，并且千位、百位上都能取．这样设计出来的密码共有（）A．个 B．个C．个 D．个【例16】从集合中，选出个数组成子集，使得这个数中的任何两个数之和不等于，则取出这样的子集的个数为（）A．B．C．D．【解析】从集合，，，，0，1，2，3，4，中，随机选出5个数组成子集，共有种取法，即可组成个子集，记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件，而两数之和为1的数组分别为，，，，，，包含的结果有①只有有一组数的和为1，有种结果②有两组数之和为1，有种，则包含的结果共有种故答案为：．【例17】若、是整数，且，，则以为坐标的不同的点共有多少个？【解析】整数，满足，则，，，0，1，2，，，，，，0，1，2，3，，从种选一个共有种方法，从选一个共有种方法，故有种．故答案为：．【例18】用，，，，，这个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数．⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法，②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有种选法，则可以组成个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法，②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法，③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法，则可以组成个数字允许重复的三位数；【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？【解析】【例20】将名教师分配到所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（）种．A． B． C． D．【解析】将名教师分配到所中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种结果1，2，首先从个人中选个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，共有种结果，故选：．类型三、基本计数原理的综合应用【例21】用，，，，排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【解析】按首位数字的奇偶性分两类：一类是首位是奇数的，有：；另一类是首位是偶数，有：则这样的五位数的个数是：．故答案为：．【例22】若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象．则称为“可连数”．例如：是“可连数”，因不产生进位现象；不是“可连数”，因产生进位现象．那么，小于的“可连数”的个数为（）A． B． C． D．【解析】如果是良数，则的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为，而小于1000的数至多三位，一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有个．综上，小于1000的“良数”的个数为个故选：．【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共个.故答案为：【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【解析】因为，在这385个自然数中，5的倍数有（个，7的倍数有（个，11的倍数有（个，的倍数有（个，的倍数有（个，的倍数有（个，385的倍数有1个．由容斥原理知，在中能被5、7或11整除的数有（个，而5、7、11互质的数有（个．即分母为385的真分数有240（个．如果有一个真分数为，则必还有另一个真分数，即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为．【例25】用，，，，，这个数字，可以组成_______个大于，小于的数字不重复的四位数．【解析】分四类：=1\*GB3①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有个；=2\*GB3②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有个；=3\*GB3③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有个；最后还有5420也满足题意.所以，所求四位数共有个.故答案为．【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A． B． C． D．【解析】个号码中不含4、7的有，“优惠卡”的个数为，故选：．【例27】同室人各写张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿张别人送出的贺年卡，则张贺年卡不同的分配方式有（

）A．

B．种

C．种

D．种【解析】设四人分别为、、、，写的卡片分别为、、、，由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故有三种拿法，不妨设拿了，则可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，和只能有一种拿法，所以共有种分配方式，故选：．【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A． B． C． D．【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为，故选：．【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种 B．12种 C．9种 D．6种【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有2种结果，总上可知共有种结果，故选：．【例30】用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A． B． C． D．【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有当尾数为0时，百位