解答题精准限时训练4(新高考版)(原卷版+解析)

解答题精准限时训练4（新高考版）(建议用时60-70分钟）四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17．（2021·重庆·高三阶段练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18．（2021·上海浦东新·一模）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.（1）求岸线上点与点之间的直线距离；（2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）19．（2021·河北·高三阶段练习）一个盒子中装有红色和白色小球共8个.若从中任取2个球，取到一红球和一白球的概率为，妈妈陪小明和小兰兄弟俩玩游戏，游戏规划如下：“现小明和小兰两人从盒子中轮流取出一个小球，小明先取，小兰后取，然后小明再取，……，取后均不放回，直到有一人取到红球时游戏终止，该人获胜.”每个小球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用随机变量表示游戏终止时所取出球的个数.（1）游戏之前，分别求盒子中红色和白色小球的个数；（2）求随机变量的分布列和数学期望；（3）请说明这个游戏规则是否公平.20．（2021·全国·高三阶段练习（理））如图，在多面体中，侧面为菱形，平面，平面，，是的中点，为棱上的动点，．（1）证明：平面平面；（2）当点位于棱的什么位置时，面与面，所成的二面角的正弦值最小？21．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）过轴上一点且不与坐标轴平行的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求点的坐标.22．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数.解答题精准限时训练4（新高考版）(建议用时60-70分钟）四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）17．（2021·重庆·高三阶段练习）已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【详解】(1)当时，，由，得，即，当时，，当时，，所以；设正项等比数列的公比为，则，所以，解得或(舍)，所以.(2)，所以当时,，当时，即18．（2021·上海浦东新·一模）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.（1）求岸线上点与点之间的直线距离；（2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【答案】（1）米（2）55076元（1），岸线上点与点之间的直线距离为米.（2）△中，，，，（），设两段网箱获得的经济总收益为元，则，当，即时，（元）所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.19．（2021·河北·高三阶段练习）一个盒子中装有红色和白色小球共8个.若从中任取2个球，取到一红球和一白球的概率为，妈妈陪小明和小兰兄弟俩玩游戏，游戏规划如下：“现小明和小兰两人从盒子中轮流取出一个小球，小明先取，小兰后取，然后小明再取，……，取后均不放回，直到有一人取到红球时游戏终止，该人获胜.”每个小球在每一次被摸出的机会都是等可能的，用随机变量表示游戏终止时所取出球的个数.（1）游戏之前，分别求盒子中红色和白色小球的个数；（2）求随机变量的分布列和数学期望；（3）请说明这个游戏规则是否公平.【答案】（1）盒子中有红色小球4个，有白色小球4个.（2）分布列答案见解析，数学期望：.（3）这个游戏规则不公平.（1）解：设盒子中有红色小球（，且）个，得有白色小球（8-n）个，由从盒子中任取2个球，取到一红球和一白球的概率为，有，解得，故盒子中有红色小球4个，有白色小球4个；（2）解：随机变量的可能取值分别为，有，，，，，故随机变量的分布列为12345；（3）解：小明获胜的概率为，小兰获胜的概率为，由，所以小明更容易获胜，这个游戏规则不公平.20．（2021·全国·高三阶段练习（理））如图，在多面体中，侧面为菱形，平面，平面，，是的中点，为棱上的动点，．（1）证明：平面平面；（2）当点位于棱的什么位置时，面与面，所成的二面角的正弦值最小？【答案】（1）证明见解析；（2）点为棱靠近点的四等分点．【详解】∵面，面，∴，，由侧面为菱形知：，又，则，又，∴平面，面∴，则，，两两垂直．以为坐标原点，分别以射线，，为轴、轴、轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，，，（1）证明：由上，，，则，∴，又，，∴平面，而平面，∴平面平面（2）设，则，∴，，设平面的一个法向量为，则，有，令，则，，∴．又平面，则平面的一个法向量为，∴．当，即点为棱靠近点的四等分点时，面与面所成的二面角余弦值的绝对值最大，此时正弦值最小．21．（2021·云南师大附中高三阶段练习（理））已知点，，动点满足直线与的斜率之积为.记点的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）过轴上一点且不与坐标轴平行的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，若，求点的坐标.【答案】（1）；（2）.（1）设，则直线，的斜率之积为，∴整理得，即，因此，点的轨迹曲线的方程为.（2）设，，，.由，得，当时，，，∴.又线段的中点为，即，∴线段的垂直平分线为，令，得，故.由，得，整理得，∴，则有，即.22．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）讨论函数的零点个数.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减（2）答案见解析（1）当时，，，令，则，所以在上是减函数.由于，所以当时，，即，当x>1时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）由于，所以的零点个数即的零点个数.，当时，，所以在上单调递增，又，，所以有唯一零点.当时，，有唯一