人教版九年级数学上册尖子生同步培优题典专题21.8一元二次方程的应用：传播比赛数字问题(重难点培优)特训(原卷版+解析)

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.8一元二次方程的应用：传播比赛问题（重难点培优）【名师点睛】一、列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．二、传播问题【典例剖析】【例1】（2022•南宁模拟）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米．请完成下列填空及问题：①用科学记数法表示数据8000万个为个；②如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米＝10﹣9米）【变式】（2022春•庐阳区校级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．（1）现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；（2）在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•包河区三模）受疫情反弹的影响，某景区今年3月份游客人数比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，随着疫情逐步得到控制，预计5月份游客人数将比2月份翻一番（即是2月份的2倍），设5月份与4月份相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（）A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2 B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2 C．（1﹣40%）（1﹣50%）（l+x）2＝2 D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝22．（2022春•西湖区校级期中）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗，已知该小区常驻人口2022人，三月已有600人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．600（1+x）2＝2022 B．600+600（1+x）2＝2022 C．600（1+x）+600（1+x）2＝2022 D．600+600（1+x）+600（1+x）2＝20223．（2022春•杭州月考）某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（）支球队参加了比赛．A．6 B．12 C．7 D．144．（2022•前进区二模）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14 B．15 C．16 D．175．（2022•禹城市模拟）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点……，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A．741 B．600 C．465 D．3006．（2021秋•津南区期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（）A．7 B．8 C．9 D．107．（2021秋•永年区期末）有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中每人传染x人，其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感，则根据题意可列方程为（）A．0.2（1+x）2＝81 B．（1+0.2x）2＝81 C．0.8（1+x）2＝81 D．（1+0.8x）2＝818．（2020秋•东海县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（）A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝919．（2021•岳麓区校级模拟）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．（2019秋•江岸区校级月考）一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（）A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16二．填空题（共6小题）11．（2020秋•榕江县校级期中）某次同学聚会时，每两个人之间都相互握手一次，已知共握手36次，设参加聚会的同学人数为x人，则可列方程为．12．（2020秋•禹州市期中）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为．13．（2019秋•海陵区校级期末）某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为．14．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．15．（2021•泗洪县一模）已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝．16．（2019秋•抚州期末）九年级8班第一小组x名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是．三．解答题（共4小题）17．（2022•白云区一模）老张与老李购买了相同数量的种兔．（1）一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔数不超过老李养兔数的，一年前老张至少买了多少只种兔？（2）两年后，老张的养兔数比买入种兔数增加了69%．若这两年兔子数目的增长率不变，则每年的增长率为多少？18．（2020•大连二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？19．（2020秋•云县校级期末）某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是43，那么每个支干长出多少个小分支．20．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然暴发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题21.8一元二次方程的应用：传播比赛数字问题（重难点培优）【名师点睛】一、列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．二、传播问题【典例剖析】【例1】．（2022•南宁模拟）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）若一个患流感的人打一个喷嚏喷出的病毒粒子（忽略触角近似于球体）达8000万个，且该流感病毒粒子的直径为160纳米．请完成下列填空及问题：①用科学记数法表示数据8000万个为8×107个；②如图，若把8000万个病毒粒子最大纵切面圆面相切放在一条直线上，求这些病毒粒子纵切面的总直径是多少米？（参考数据：1纳米＝10﹣9米）【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意列一元二次方程，求解即可；（2）①根据科学记数法表示即可；②根据题意，计算8×107×160×10﹣9即可．【解析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得2（1+x）2＝242，解得x＝10，答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；（2）①8000万＝8×107，故答案为：8×107；②根据题意，得8×107×160×10﹣9＝12.8（米），答：这些病毒粒子纵切面的总直径是12.8米．【变式】．（2022春•庐阳区校级期中）某种流感病毒，若有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．（1）现有一人患上这种流感，求第一轮传染后患病的人数（用含x的代数式表示）；（2）在进入第二轮传染前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数会有21人吗？【分析】（1）利用第一轮传染后患病的人数＝1+在每轮传染中一人传染的人数，即可用含x的代数式表示出第一轮传染后患病的人数；（2）利用第二轮传染后患病的人数＝第一轮传染后患病的人数﹣2+在每轮传染中一人传染的人数×（第一轮传染后患病的人数﹣2），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合x为正整数，即可得出第二轮传染后患病的人数为21人的情况不会发生．【解析】（1）依题意得：第一轮传染后患病的人数为（1+x）人．（2）依题意得：1+x﹣2+x（1+x﹣2）＝21，整理得：x2﹣1﹣21＝0，解得：x1＝，x2＝﹣．∵x1，x2都不是正整数，∴第二轮传染后患病的人数为21人的情况不会发生．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022•包河区三模）受疫情反弹的影响，某景区今年3月份游客人数比2月份下降了40%，4月份又比3月份下降了50%，随着疫情逐步得到控制，预计5月份游客人数将比2月份翻一番（即是2月份的2倍），设5月份与4月份相比游客人数的增长率为x，则下列关系正确的是（）A．（1﹣40%﹣50%）（1+x）＝2 B．（1﹣40%﹣50%）（1+x）2＝2 C．（1﹣40%）（1﹣50%）（l+x）2＝2 D．（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2【分析】根据“5月份游客人数将比2月份翻一番（即是2月份的2倍）”列方程即可．【解析】根据题意，得（1﹣40%）（1﹣50%）（1+x）＝2，故选：D．2．（2022春•西湖区校级期中）某小区居民今年从三月开始到五月底全部接种新冠疫苗，已知该小区常驻人口2022人，三月已有600人接种新冠疫苗，四月、五月每月新接种人数都较前一个月有增长，且月增长率均为x，则下面所列方程正确的是（）A．600（1+x）2＝2022 B．600+600（1+x）2＝2022 C．600（1+x）+600（1+x）2＝2022 D．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2022【分析】分别表示出四月和五月的人数即可列出方程．【解析】∵三月已有600人接种新冠疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，∴四月份接种人数为600（1+x），五月份为600（1+x）2人，∴方程为：600+600（1+x）+600（1+x）2＝2022，故选：D．3．（2022春•杭州月考）某年级举行篮球比赛，每一支球队都和其他球队进行了一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（）支球队参加了比赛．A．6 B．12 C．7 D．14【分析】设共有x支球队参加了比赛，利用比赛的总场数＝参赛队伍支数×（参赛队伍支数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】设共有x支球队参加了比赛，依题意得：x（x﹣1）＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去），∴共有7支球队参加了比赛．故选：C．4．（2022•前进区二模）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有225人感染，若设1人平均感染x人，则x为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】此题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程，然后解方程即可得到结论．【解析】设1人平均感染x人，依题意可列方程：（1+x）2＝225．解得：x1＝14，x2＝﹣16（不合题意舍去），即：x＝14，故选：A．5．（2022•禹城市模拟）如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点……，前n行的点数和不能是以下哪个结果（）A．741 B．600 C．465 D．300【分析】前n行的点数之和为1+2+3+……+n＝n（n+1），再分别求出该代数式的值分别为741、600、465、300时n的值即可判断．【解析】前n行的点数之和为1+2+3+……+n＝n（n+1），若前n行的点数之和为741，则n（n+1）＝741，解得n＝38或n＝﹣39（舍），即前38行的点数之和为741，不符合题意；若前n行的点数之和为600，则n（n+1）＝600，解得n＝﹣±，n不是整数，即不存在前n行的点数之和为600，符合题意；若前n行的点数之和为465，则n（n+1）＝465，解得n＝30或n＝﹣31（舍），即前30行的点数之和为465，不符合题意；若前n行的点数之和为300，则n（n+1）＝300，解得n＝24或n＝﹣25（舍），即前24行的点数之和为300，不符合题意；故选：B．6．（2021秋•津南区期中）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个队参加比赛．设应邀请x个队参加比赛，则x的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛列出方程即可．【解析】设应邀请x个队参加比赛，则列方程为x（x﹣1）＝21，解这个方程，得x1＝7，x2＝﹣6（舍去）．即x的值为7．故选：A．7．（2021秋•永年区期末）有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中每人传染x人，其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感，则根据题意可列方程为（）A．0.2（1+x）2＝81 B．（1+0.2x）2＝81 C．0.8（1+x）2＝81 D．（1+0.8x）2＝81【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感，那么经过第一轮后有（1+0.8x）人患了流感，经过第二轮后有（1+0.8x）2人患了流感，再根据经过两轮传染后共有81人患了流感即可列出方程．【解析】依题意得（1+0.8x）2＝81，故选：D．8．（2020秋•东海县期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（）A．x2+x+1＝91 B．（x+1）2＝91 C．x2+x＝91 D．x2+1＝91【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．【解析】设每个支干长出x个小分支，根据题意列方程得：x2+x+1＝91．故选：A．9．（2021•岳麓区校级模拟）为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】依题意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11．故选：B．10．（2019秋•江岸区校级月考）一个两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（）A．27 B．72 C．27或16 D．﹣27或﹣16【分析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+5），根据该两位数等于它的十位数与个位数的和的平方的三分之一，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其整数值即可得出结论．【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为（x+5），依题意，得：10x+x+5＝（x+x+5）2，整理，得：4x2﹣13x+10＝0，解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去），∴x+5＝7，∴这个两位数是27．故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2020秋•榕江县校级期中）某次同学聚会时，每两个人之间都相互握手一次，已知共握手36次，设参加聚会的同学人数为x人，则可列方程为x（x﹣1）＝36．．【分析】设参加聚会的人数是x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手（x﹣1）次，且其中任何两个人的握手只有一次，因而共有x（x﹣1）次，设出未知数列方程解答即可．【解析】设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程得，x（x﹣1）＝36，故答案为：x（x﹣1）＝36．12．（2020秋•禹州市期中）某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为x（x﹣1）＝45．【分析】利用比赛的总场次数＝参赛的队伍数×（参赛的队伍数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】设参加比赛的球队有x支，依题意得：x（x﹣1）＝45．故答案为：x（x﹣1）＝45．13．（2019秋•海陵区校级期末）某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为（1+x）2＝121．【分析】等量关系为：1+第一轮传染的人数+第二轮传染的人数＝121，把相关数值代入即可求得所求方程．【解析】∵1人患流感，一个人传染x人，∴第一轮传染x人，此时患病总人数为1+x；∴第二轮传染的人数为（1+x）x，此时患病总人数为1+x+（1+x）x，∵经过两轮传染后共有121人患了流感，∴可列方程为：（1+x）2＝121．故答案为：（1+x）2＝121．14．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了12个人．【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．【解析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．15．（2021•泗洪县一模）已知3个连续整数的和为m，它们的平方和是n，且n＝11（m﹣8），则m＝15或18．【分析】设连续的整数分别为a，a+1，a+2，用a的代数式分别表示出m，n，再建立关于a的方程求出a即可．【解析】设三个整数分别为a，a+1，a+2，所以m＝3a+3，n＝a2+（a+1）2+（a+2）2＝3a2+6a+5，由n＝11（m﹣8），所以3a2+6a+5＝11（3a﹣5），解得a＝4或5，则m＝15或18．16．（2019秋•抚州期末）九年级8班第一小组x名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x的值是6．【分析】由8班第一小组共送出贺卡30张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝30，解得：x1＝6，x2＝﹣5（不合题意，舍去）．故答案为：6．三．解答题（共6小题）17．（2022•白云区一模）老张与老李购买了相同数量的种兔．（1）一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了2只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔数不超过老李养兔数的，一年前老张至少买了多少只种兔？（2）两年后，老张的养兔数比买入种兔数增加了69%．若这两年兔子数目的增长率不变，则每年的增长率为多少？【分析】（1）设一年前老张买了x只种兔，则一年后老张养兔数为（x+2）只，老李养兔数为（2x﹣1）只，根据一年后老张养兔数不超过老李养兔数的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；（2）设每年的增长率为y，利用两年后老张的养兔数＝购进的种兔数×（1+每年的增长率）2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】（1）设一年前老张买了x只种兔，则一年后老张养兔数为（x+2）只，老李养兔数为（2x﹣1）只，依题意得：x+2≤（2x﹣1），解得：x≥8．答：一年前老张至少买了8只种兔．（2）设每年的增长率为y，依题意得：（1+y）2＝1+69%，解得：y1＝0.3＝30%，y2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．答：每年的增长率为30%．18．（2020•大连二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，