新教材必修第一册完美题型精讲（同步学习培优120个题型完美讲解）

2021新教材必修第一册完美题型精讲6/6目录TOC\o"1-3"\h\u66751.1集合的概念及特征 428505考点一集合的判断 55816考点二集合的表示方法 623414考点三集合中元素的意义 72904考点四元素与集合的关系 813645考点五求参数 9119811.2集合间的关系 1012194考点一集合关系的判断 1110962考点二（真）子集的个数 1212071考点三集合相等与空集 1313229考点四已知集合关系求参数 13225191.3集合的基本运算 1525144考点一交集 1730730考点二并集 182817考点三补集与全集 1815945考点四集合运算综合运用 1925497考点五求参数 20274251.4充分、必要条件 213925考点一命题及其判断 2220164考点二充分、必要条件 2214085考点三求参数 2319077考点四充分性必要性的证明 24111181.5全称量词与存在量词 2530185考点一全称命题的判断 2620618考点二特称命题的判断 2619809考点三全称、特称命题真假的判断 2716349考点四命题的否定 2816339考点五全称特称求参数 29169942.1等式与不等式的性质 3122868考点一等式性质 321748考点二不等式性质 3231935考点三比较大小 3324426考点四代数式的取值范围 3427414考点五不等式证明 35271932.2基本不等式 363787考点一公式的直接运用 3625046考点二条件型 3729279考点三配凑型 3832761考点四换元法 3817662考点五求参数 3927171考点六实际应用题 4094762.3二次函数与一元二次方程、不等式 418351考点一解无参数一元二次不等式 4226505考点二解含有参数的一元二次不等式 4327214考点三三个一元二次的关联 443427考点四一元二次的恒成立 4519493考点五实际运用题 47228603.1函数的概念 4820804考点一区间的表示 4922530考点二函数的判断 5020745考点三定义域 5229340考点四解析式 532713考点五函数值 549331考点六相等函数 5527044考点七分段函数 56310443.2函数的性质 589852考法一性质法求单调性（单调区间） 6023931考法二定义法求单调性（单调区间） 6017336考法三图像法求单调性（单调区间） 6122985考法四利用单调性求参数 6215851考法五奇偶性的判断 6223667考法六利用奇偶性求解析式 639800考法七利用奇偶性求参数 641523考法八单调性与奇偶性的综合运用 64264033.3幂函数 6623533考点一幂函数的判断 6610668考点二幂函数的三要素 677304考法三幂函数的性质 6820059考法四幂函数的图像 68321553.4函数的应用（一） 7013796考点一一次函数模型 7015963考点二二次函数模型 7018097考点三分段函数模型 71264774.1指数的运算 7315149考点一根式的运算 7413445考点二分数指数幂的运算 7526469考点三条件等式求值 7515354考点四综合运算 76227384.2指数函数 7719443考点一指数函数的判断 782373考点二定义域和值域 7829217考点三指数函数性质 8026181考点四定点 822593考点五图像 83144404.3对数的运算 8520464考点一指数对数的转化 864718考点二对数式求值 877972考点三对数式化简 8728191考点四换底公式 883268考点五指数对数运算的综合 8833954.4对数函数 8914574考点一对数函数的概念辨析 9010025考点二单调性（区间） 9124242考点三定义域和值域 9228569考点四比较大小 927118考点五解不等式 9310790考点六定点 9430502考点七图像 9421817考点八对数函数综合运用 9692704.5函数的应用（二） 974686考点一零点的求解 9813002考点二零点区间的判断 9923863考点三零点个数的判断 995569考点四根据零点求参数 10029283考点五二分法 101170考法六函数模型 10211515.1任意角和弧度制 10423412考点一基本概念的辨析 1079188考点二角度与弧度的转换 10817557考点三终边相同 1093761考点四象限的判断 1107493考点五扇形 11057645.2三角函数的概念 11314534考点一三角函数的定义 11528975考点二三角函数值正负判断 11620185考点三三角函数线 11713275考点四同角三角函数 1184804考点五弦的齐次 11929812考点六sinacosa与sina±cosa 12070585.3诱导公式 12111098考点一化简（求值） 12228550考点二诱导公式与定义综合运用 12432679考点三诱导公式与同角三角综合运用 12521449考点四角的拼凑 126149805.4三角函数的图象与性质 12719163考点一五点画图 12717007考点二周期 12916216考点三对称性 12917755考点四单调性 1301545考点五奇偶性 13112554考点七值域 13331068考点八正切函数性质 133212735.5三角恒等变换 13516820考点一两角和差公式 1351689考点二给值求值 13614649考点三给值求角 13817185考点四二倍角 1383842考点五角的拼凑 14016830考点六恒等变化 140114865.6函数 14220021考点一求解析式 14215357考点二伸缩平移 14420329考点三综合运用 145集合的概念及特征1．集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．2．元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．3．集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．【典例精讲】考点一集合的判断【例1】（2020·浙江高一课时练习）下列四组对象中能构成集合的是（）.A．本校学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数 D．倒数等于本身的数本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量本例题主要考查的是元素的确定性，即集合的中元素要有客观的标准可以衡量，不能用主观去衡量，例如“好”、“小”“近”等词没有统一的客观标准衡量。【玩转跟踪】1．（2020·全国高一）下列各组对象中能构成集合的是（）A．充分接近的实数的全体 B．数学成绩比较好的同学C．小于20的所有自然数 D．未来世界的高科技产品2．（2020·全国高一课时练习）下列对象能构成集合的是（）A．高一年级全体较胖的学生B．比较接近1的全体正数C．全体很大的自然数D．平面内到三个顶点距离相等的所有点【例2】（2020·全国高一课时练习）由实数所组成的集合中，含有元素的个数最多为（）A．2 B．3 C．4 D．5本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复本例题主要考查的是元素互异性，即一个集合中每个元素不能一样或重复【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）已知x，y均不为0，即的所有可能取值组成的集合中的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2020·全国高三其他（文））已知集合，则中元素的个数为（）A．1 B．5 C．6 D．无数个3．（2020·全国高一）已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为（）A．1或－1 B．1或3C．－1或3 D．1，－1或3考点二集合的表示方法【例2】（2020·全国高一）用合适的方法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集.（1）到A、B两点距离相等的点的集合（2）满足不等式的的集合（3）全体偶数（4）被5除余1的数（5）20以内的质数（6）（7）方程的解集本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合本例题主要考查集合的表示方法，列举法一般适用于有限集合且元素个数少；描述法一般适用于有限集合但元素个数多或者无限集合【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体构成的集合；（4）所有能被3整除的数的集合；（5）方程的解组成的集合；（6）不等式的解集.2．（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：（1）方程组的解集；（2）方程的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数的图象上所有的点组成的集合；（5）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合.考点三集合中元素的意义【例3】（2020·浙江高一课时练习）试说明下列集合各表示什么？；；；；.本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。本例题考查的是集合中的元素的意义，元素的意义可能是数集、点集等，一般用描述法表示，注意看描述法最左端。【玩转跟踪】1．（2020·上海高一课时练习）集合是指（）A．第二象限内的所有点 B．第四象限内的所有点C．第二象限和第四象限内的所有点 D．不在第一、第三象限内的所有点2．（2020·嫩江市高级中学高一月考）下列各组中的M、P表示同一集合的是()①；②；③；④A．① B．② C．③ D．④考点四元素与集合的关系【例4】（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：（1）2_____N；（2）______Q；（3）______Z；（4）3.14______R；（5）______N；（6）_____Q.本例题考查元素与集合的关系，即本例题考查元素与集合的关系，即，开口朝向集合背靠元素【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）用符号“”或“”填空：0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R.2．（2019·浙江湖州高一期中）设集合，则（）A． B． C． D．3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合，则与集合的关系是（）.A． B． C． D．考点五求参数【例5】（2020·吴起高级中学高二月考（文））若，则a=（）A．2 B．1或－1 C．1 D．－1本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！本例题根据题意求参数时，求完参数记得检验元素之间的互异性！！！【玩转跟踪】1．（2020·上海高一课时练习）若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是________．2．（2020·上海市进才中学高二期末）已知集合，且，则实数的值为________．3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.1.2集合间的关系1．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念[知识点拨](1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．(2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．(4)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；任何集合都不是它本身的真子集．(5)若A⊆B，且A≠B，则AB．3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．(3)若A⊆B，A≠B，则AB．【典例精讲】考点一集合关系的判断【例1】（2020·浙江高一单元测试）设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（） B． C． D．注意区分：元素与集合的关系为属于注意区分：元素与集合的关系为属于或不属于，集合与集合间的关系是包含、不包含、真包含【玩转跟踪】1．（2020·上海高一开学考试）（多选题）下列关系中，正确的有（）A． B． C． D．2．（2020·浙江高一课时练习）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（）A． B． C． D．3．（2020·浙江高一课时练习）已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{(x，y)|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是()A． B．C．M＝P D．M，P互不包含考点二（真）子集的个数【例2】（1）（2020·全国高三月考（文））设集合，则集合的真子集的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（2）（2020·浙江高一课时练习）已知为给定的实数，那么，集合的子集的个数为（）A．1 B．2 C．4 D．不确定求子集或真子集的个数：（1）确定集合中元素的个数（2）代入对应的公式求子集或真子集的个数：（1）确定集合中元素的个数（2）代入对应的公式子集与真子集的区分：子集比真子集多了一个子集即集合本身（集合相等）【玩转跟踪】1．（2020·沙坪坝重庆一中高三月考（理））已知集合，则的真子集共有（）个A．3 B．4 C．6 D．72．（2020·浙江高一课时练习）满足的集合M共有（）.A．6个 B．7个 C．8个 D．15个3．（2020·贵州凤冈一中高一月考）已知集合，且中至多有一个偶数，则这样的集合共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个考点三集合相等与空集【例3】（2020·广东潮州）下列各组集合中，表示同一集合的是（）A．， B．，C．， D．，同一集合的判断：（1）元素的意义相同（2）元素属性的关系式相同同一集合的判断：（1）元素的意义相同（2）元素属性的关系式相同【玩转跟踪】1．下列集合与集合相等的是()A． B．C． D．2．给出以下5组集合：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．其中是相等集合的有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组考点四已知集合关系求参数【例4】（1）（2020·河南林州一中）已知集合，，且，则实数的值是（） B． C． D．（2）（2020·浙江高一课时练习）若集合，集合，若，则实数a的取值范围是（）.A． B． C． D．真子集求参数，要注意检验是否出现集合相等的情况真子集求参数，要注意检验是否出现集合相等的情况子集求参数，对于不等式要注意端点是否取等号，一般情况下里实外空不取等号。【玩转跟踪】1．（2020·盘锦市第二高级中学）已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}.若B⊆A，则实数m等于（）A．±1 B．－1 C．1 D．02．（2020·全国高一）设集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2020·全国高一）M={x|6x2−5x+1=0}，P={x|ax=1}，若P⊆M，则a的取值集合为A．{2} B．{3} C．{2,3} 1.3集合的基本运算1．并集和交集的定义定义并集交集自然语言一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}图形语言[知识点拨](1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．2．并集和交集的性质并集交集简单性质A∪A＝A；A∪∅＝AA∩A＝A；A∩∅＝∅常用结论A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆BA∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A3．全集文字语言一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集4.补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA符号语言∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言[知识点拨](1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．(2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．【典例精讲】考点一交集【例1】（1）（2020·上海高一开学考试）设集合，集合，则等于（）A． B． C． D．（2）（2020·安徽省庐江金牛中学）已知集合，，则（）A． B． C． D．交集：两个集合的相同部分的元素所组成的集合交集：两个集合的相同部分的元素所组成的集合单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）设集合，，则（）A． B． C． D．2（2020·浙江省兰溪市第三中学高三开学考试）已知集合，，则（）A． B． C． D．3．（2020·湖南怀化高二期末）设集合，，则（）A． B． C． D．考点二并集【例2】（2020·甘肃城关.兰大附中高三月考（理））若集合，，则（）A． B． C． D．并集：两个集合所有元素集中在一起的集合，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性并集：两个集合所有元素集中在一起的集合，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性【玩转跟踪】1．（2020·贵州南明贵阳一中高三其他（理））已知集合，若，则B可能是（）A． B． C． D．2（2020·上海高一课时练习）满足条件的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．43．（2019·浙江高一期中）已知集合，，那么=()A． B． C． D．考点三补集与全集【例3】（2020·上海高一课时练习）已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是()A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8易错点：并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。易错点：并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。【玩转跟踪】1．（2020·全国高一）设集合，集合，若，则实数_____.2．（2020·全国高一专题练习）已知全集,则的值为__________3．（2019·上海虹口.上外附中高一期中）设全集，集合，，则a=___________. 考点四集合运算综合运用【例4】（2020·全国高一课时练习）已知集合，则集合＝（）A． B． C． D．多种集合运算的计算，先算括号内再算括号外，括号外的从左到右计算。多种集合运算的计算，先算括号内再算括号外，括号外的从左到右计算。【玩转跟踪】1．（2019·浙江高三月考）已知集合，，则（）A． B．C． D．2．（2020·浙江高三月考）已知全集，集合，，则（）A． B．C． D．3．（2019·浙江高三月考）已知全集，集合，，则（）A． B． C． D．考点五求参数【例5】2．（2020·黑龙江萨尔图.大庆实验中学高二月考（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．作为子集的集合，要分该集合是空集、不是空集两类讨论。作为子集的集合，要分该集合是空集、不是空集两类讨论。【玩转跟踪】1．（2020·安徽金安六安一中高一期末（理））若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．2（2020·湖北高一期末）设全集，已知集合或，集合.若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．3．（2020·浙江高一课时练习）设集合，．（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若全集，，求实数的取值范围．1.4充分、必要条件一.充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpeq\o(⇒,/)q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的不充分条件q不是p的不必要条件二.充要条件1．如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q．2．如果peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p，则p是q的既不充分也不必要条件．3．如果p⇒q且qeq\o(⇒,/)p，则称p是q的充分不必要条件．4．如果peq\o(⇒,/)q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立．p不成立时，一定有q不成立．【典例精讲】考点一命题及其判断【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）下列语句为命题的是（）A． B．求证对顶角相等C．不是偶数 D．今天心情真好啊（2）（2020·全国高一课时练习）命题“三角形中，大边对大角”，改成“若，则”的形式，则（)A．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题B．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题C．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题D．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题命题的判断：（1）陈述句（2）可以判断对错命题的判断：（1）陈述句（2）可以判断对错命题的一般形式：若p则q命题的逆命题、否命题、逆否命题的改写时，先把原命题改成若p则q【玩转跟踪】1．（2019·宁波市第四中学高二期中）命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（）A．若两个整数与的和是偶数，则，都是奇数B．若两个整数，不都是奇数，则不是偶数C．若两个整数与的和不是偶数，则，都不是奇数D．若两个整数与的和不是偶数，则，不都是奇数2．（2020·全国高三专题练习（文））命题“若，则”的逆否命题是（）A．若，则，或 B．若，则C．若，或，则 D．若或，则3．（2020·黑龙江高二期末（文））若，则的否命题是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考点二充分、必要条件【例2】（1）（2019年天津市高考数学试卷（理科））设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2）（2019安徽省合肥市第一中学）不等式成立的一个充分不必要条件是（）A． B．或C． D．或【玩转跟踪】1.（北师大版新教材2.1必要条件与充分条件）设集合，，则“”是“”的（)A．充分条件 B．必要条件C．没有充分、必要性 D．既是充分又是必要条件2．（2020届山东省烟台市高考诊断性测试）设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若集合，下列各式是“”的充分不必要条件的是（)A． B． C． D．考点三求参数【例3】（《2020年高考一轮复习讲练测》）已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．利用原命题与其逆否命题的等价性，对利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.【玩转跟踪】1“关于x的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是()A． B．C． D．或2．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．3．（河南省高中毕业班阶段性测试（四）理科数学试）关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（）A． B． C． D．考点四充分性必要性的证明【例4】（2020年【衔接教材暑假作业】初高中衔接数学）已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.【玩转跟踪】1．（2020年【衔接教材.暑假作业】初高中衔接数学（新人教版））求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.1.5全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．3．命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．4．常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x∈A使p(x)假【典例精讲】考点一全称命题的判断【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是（)A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数【玩转跟踪】1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（）A．至少有一个x使成立 B．对任意的x都有成立C．对任意的x都有不成立 D．存在x使成立E.矩形的对角线垂直平分考点二特称命题的判断【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.（1）∀x∈N，2x＋1是奇数；（2）存在一个x∈R，使＝0；（3）对任意实数a，|a|＞0；【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（）A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意，是奇数 D．存在，是奇数考点三全称、特称命题真假的判断【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论取何实数,关于的方程必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)函数图象恒过原点.判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.判断命题是特称命题还是全称命题，要注意补上省略词，同时注意判断命题为假命题时，只要能举出反例即可.【玩转跟踪】1．（2020·平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>02．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当时，方程没有实数解”，下列说法正确的是（)A．是全称量词命题，假命题 B．是全称量词命题，真命题C．是存在量词命题，假命题 D．是存在量词命题，真命题3．（2020·全国高一）用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a，二次函数的图象关于y轴对称；(3)存在整数x，y，使得；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数.考点四命题的否定【例4】（2020·全国高一课时练习）设是奇数集，是偶数集，则命题“，”的否定是（)A．， B．，C．， D．，全称(存在性)命题进行否定的两步操作：全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（）A．， B．，C．， D．，2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题，，则命题的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“”的否定为（）A． B．C． D．考点五全称特称求参数【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为()A． B．C． D．（3）（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是()A． B． C． D．1.1.含参数的一元二次不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题，也可以讨论不等式对应的二次函数的最值.2.求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称命题“∀x∈M，a>f(x)(或a<f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a>f(x)max(或a<f(x)min)．(2)对于特称命题“∃x0∈M，a>f(x0)(或a<f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a>f(x)min(或a<f(x)max)．【玩转跟踪】1．（2020·浙江高一课时练习）若命题“”是真命题，则实数a的取值范围是（）.A． B． C． D．2．（2020·全国高一课时练习）命题“已知，都有”是真命题，则实数的取值范围是（)A． B． C． D．3．（2020·广东高三其他（文））已知命题，命题，若p假q真，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．4．（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是___________.2.1等式与不等式的性质1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)性质7：如果a>b>0，那么an>bn，(n∈N，n≥2)．(8)性质8：如果a>b>0，那么eq\r(n,a)>eq\r(n,b)，(n∈N，n≥2)．【典例精讲】考点一等式性质【例1】（2019·全国高一课时练习）下列变形中错误的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【玩转跟踪】1．（2019·全国高一课时练习）根据等式的性质判断下列变形正确的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么2．（2019·全国高一课时练习）若，则下列变形正确的是（）A． B． C． D．考点二不等式性质【例2】（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法【玩转跟踪】1．（2020·上海高一开学考试）下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则2．（2020·全国高一开学考试）若、、为实数，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．（2020·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则考点三比较大小【例3】（2020·全国高一课时练习）已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小.一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法一．作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法．①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论．②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值．三．比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）已知，那么的大小关系是（）A． B．C． D．2．（2020·浙江高一课时练习）设，则的大小关系为（）．A． B． C． D． 考点四代数式的取值范围【例4】(1)（2019·广东高考模拟（理））已知，，则的取值范围是（）A． B． C． D．(2)（2019·浙江绍兴一中高一月考）已知实数，满足，，则的取值范围是（）A． B．C． D．代数式的取值范围的一般思路：代数式的取值范围的一般思路：借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解【玩转跟踪】1．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2020·山东济宁.高一月考）若，则的范围为_______________3．（2019·全国高一课时练习）已知，，则的值为____________.考点五不等式证明【例5】（2020·全国高一课时练习）已知，，求证：.【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）证明不等式().2．（2020·全国高一课时练习）如果，，证明：.3．（2020·全国高一）已知，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：．2.2基本不等式1．重要不等式当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式当a>0，b>0时有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．3．基本不等式与最值已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．【典例精讲】考点一公式的直接运用【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）若，则的最大值是（）A． B． C． D．（2）（2020·全国高一课时练习）已知，求函数的最小值是（)A．4 B．3 C．2 D．1考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。可【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）若，则的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．42．（2020·上海高一开学考试）已知，函数的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．63．（2020·全国高一课时练习）已知函数在时取得最小值，则________．考点二条件型【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知实数，则的最小值为（)A． B． C． D．（2）（2020·哈尔滨德强学校高一期末）已知实数，，，则的最小值是（）A． B． C． D．条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法条件型（乘K法）：和为定值K，求倒数和的最小值，采用乘K法【玩转跟踪】1．（2020·全国高一开学考试）已知,则的最小值是()A．2 B． C．4 D．2．（2020·四川金牛。成都外国语学校高一期末（文））若正数，满足，则的最小值是（）A． B． C．5 D．253．（2020·全国高一课时练习）已知，，则的最小值为_______________；考点三配凑型【例3】（1）（2020·衡水市第十三中学高一月考）已知，则的最小值是________．（2019·四川高一期末）已知正数、满足，则的最小值为1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分母同除一次函数2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降次-配凑-均值不等式【玩转跟踪】1（2020·全国高一专题练习）设，求的最大值.2．（2020·全国高一课时练习）函数的最小值为（）A．3 B．2 C． D．3．（2020·全国高一课时练习）已知，则有A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1考点四换元法【例4】（2019·河北路南.唐山一中高三期中（文））已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是()A．3 B．4 C． D．【玩转跟踪】1．（2020·上海高一开学考试）若正数满足，则的最小值是（）A． B． C． D．2．（2020·江西高一期末）已知a，，且满足，则的最小值为（）A． B． C． D．3．（2020·黑龙江工农.鹤岗一中高一期末（理））若正数满足，则的最大值为（）A． B． C． D．4．（2020·浙江高三月考）已知实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．考点五求参数【例5】（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（）A． B． C． D．【玩转跟踪】1．（2020·河北路南.唐山一中高一期中）若对于任意恒成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2020·河南高三其他（理））若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．3．（2020·西夏.宁夏大学附属中学高二月考（文））若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．考点六实际应用题【例6】（2020·浙江高一课时练习）某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图R3－1所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（）A．米，米 B．米，米 C．米,米 D．米，米【玩转跟踪】1．（2019·全国高一课时练习）设计用32m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为A．（38－373)m3 B．16m3 C．42m3 D．14m2．（2020·全国高一课时练习）将一根铁丝切割成三段，做一个面积为，形状为直角三角形的框架，在下列4种长度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是()A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m3．（2020·全国高一课时练习）某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为_____________； 2.3二次函数与一元二次方程、不等式1．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．2．一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系(1)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.(2)关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；若二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集，就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．(3)三个“二次”之间的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0解不等式f(x)>0的步骤（f(x)<0的步骤类似）求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得不等式的解集f(x)>0{x|x<x1或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R【典例精讲】考点一解无参数一元二次不等式【例1】（2020·全国高一课时练习）解下列不等式：（1）；（2）；（3）.解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得．方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法【玩转跟踪】1（2020·全国高一课时练习）解下列一元二次不等式：(1)；(2)2．（2020·浙江高一课时练习）解不等式：．3．（2020·荆州市北门中学高一期末）不等式的解集是________.考点二解含有参数的一元二次不等式【例2】（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））解关于的不等式:解含参数的一元二次不等式时解含参数的一元二次不等式时（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0；（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)；（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．【玩转跟踪】1．（2019·山东济宁.高一月考）求关于的一元二次不等式的解集．2．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））解关于x的不等式．3．（2019·陕西秦都咸阳市实验中学高二月考（理））解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.考点三三个一元二次的关联【例3】(1（2020·江西上高二中高一期末（文））设一元二次不等式的解集为则的值为（）A．1 B． C．4 D．(2)（2020·全国高一课时练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（)A． B．C． D．1．一元二次不等式1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【玩转跟踪】1．（2020·农安县实验中学高一期末）已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A． B．11 C． D．12．（2020·上海高一开学考试）一元二次不等式的解集是，则的值是（）A．10 B．-10 C．14 D．-143．（2020·全国高一课时练习）关于的不等式的解集为，则_____________.4．（2020·浙江高一课时练习）已知关于的不等式的解集是，则_____. 考点四一元二次的恒成立【例4】（1）（2020·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（2）（2020·安徽金安。六安一中高一期中（理））若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：1.利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x)＞0恒成立a＞0且Δ＜0；f(x)≥0恒成立a＞0且Δ≤0；f(x)＜0恒成立a＜0且Δ＜0；f(x)≤0恒成立a＜0且Δ≤0．注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论a＝0的情况．2,。将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为f(x)＞a或f(x)≥a或f(x)＜a或f(x)≤a恒成立的问题）即：存在成立若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)＜a恒成立a＞m；若f(x)在定义域内存在最大值m，则f(x)≤a恒成立a≥m；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)＞a恒成立a＜m；若f(x)在定义域内存在最小值m，则f(x)≥a恒成立a≤m．（2）恒成立在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则，不等式恒成立，则，不等式能成立，则．转化时要注意是求最最小【玩转跟踪】1．（2020·安徽省六安中学高二期末（文））若命题“存在，”为假命题，则实数的取值范围是____2．（2020·全国高一课时练习）不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（）A．［－4，4］B．（－4，4）C．（－∞，－4］∪［4，＋∞）D．（－∞，－4）∪（4，＋∞）3．（2019·山东济宁.高一月考）（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）若不等式在实数集上恒成立，求的范围．考点五实际运用题【例5】（2020·浙江高一课时练习）某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．（1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？【玩转跟踪】1．（2020·全国高一专题练习）国家原计划以2400元/t的价格收购某种农产品按规定,农户向国家纳税为:每收入100元的税为8元(称作税率为8个百分点,即8%).为了减轻农民负担,制定积极的收购政策,根据市场规律税率降低x个百分点,收购量能增加2x个百分点,试确定x的范围,使税率调低后,国家此项税收总收入不低于原计划的78%.2．（2019·全国高一课时练习）某小企业生产某种产品，月销售量x（件）与货价p（元/件）之间的关系为，生产x件的成本元.该厂月产量多大时，月获利不少于1300元？3.1函数的概念1．函数的概念定义设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值集合值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.[知识点拨](1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[知识点拨](1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．3.函数的表示法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式图象法以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用图象表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法[知识点拨]三种表示法的优缺点如下表：表示法优点缺点解析法简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值只能表示有限个数的自变量所对应的函数值4.分段函数所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．[知识点拨]分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．考点一区间的表示【例1】（2019·全国高一）一般区间的表示设，且，规定如下:定义名称符号数轴表示闭区间______开区间______半开半闭区间______半开半闭区间______不等式改写成区间表达形式,注意边界情况不等式改写成区间表达形式,注意边界情况【玩转跟踪】1．（2019·全国高一课时练习）已知区间，则的取值范围为______．2．（2019·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．3．（2019·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：______；______；______；______.考点二函数的判断【例2-1】（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B．C． D．【例2-2】（2019·浙江湖州.高一期中）下列对应关系是从集合到集合的函数的是（）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，：【玩转跟踪】1．（2020·上海高一课时练习）如图所示，表示函数图像的是（）A． B．C． D．2．（2020·上海高一课时练习）下列各图中能作为函数图像的是（）．A．①② B．①③ C．②④ D．③④3．（2020·全国高一课时练习）判断下列对应是否为函数：（1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；（3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.考点三定义域【例3-1】（2020·上海高一开学考试）函数的定义域为（）A． B．C． D．【例3-2】（2020·全国高一）已知的定义域为，（1）求的定义域；（2）求的定义域抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.（3）对于抽象函数定义域的求解，（1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式.（4）若复合函数的定义域为，则函数的定义域为在上的值域.【玩转跟踪】1．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是()A． B． C． D．2．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）函数的定义域为（）A． B． C． D．3．（2020·浙江高一课时练习）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．4．（2020·呼和浩特开来中学高二期末（文））设的定义域为，则函数的定义域是___________.5．（2020·全国高一）已知函数的定义域为，求的定义域.6（2020·全国高一）已知函数的定义域为[1，4]，求的定义域.考点四解析式【例4】（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）根据下列条件，求f(x)的解析式.（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；（2）f(2x＋1)＝6x＋5；（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.2．（2020·全国高一）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式；（2）已知是二次函数，且满足，，求的解析式．3．（2019·山西高一月考）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．考点五函数值【例5】（2020·浙江高一课时练习）若函数，那么（）A．1 B．3 C．15 D．30【玩转跟踪】1．（2020·浙江杭州高二期末）已知，则（）A．15 B．21 C．3 D．02．（2020·上海高一课时练习）已知，则_________．3．（2020·全国高一课时练习）若函数f(x)＝，g(x)＝，则的值为____________.4．（2018·浙江下城.杭州高级中学高一期中）若函数，则______________．考点六相等函数【例6】（2019·内蒙古集宁一中高三月考）下列四组函数中,表示同一函数的是（）A． B．C． D．根据定义域和对应关系是否同时相等来判断是否为同一函数根据定义域和对应关系是否同时相等来判断是否为同一函数【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).（1）y＝x－1和y＝；（2）y＝x0和y＝1；（3）f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；（4）f(x)＝和g(x)＝.2．（2020·全国高一课时练习）下列函数；；；与函数是同一函数的是________.3．（2020·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________.①，；②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：③，；④，.考点七分段函数【例7-1】（2020·上海高一开学考试）已知函数，则的值为（）A．1 B．2 C． D．【例7-2】（2020·全国高一课时练习）设函数若f（a）＝4，则实数a＝（）A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2【玩转跟踪】1．（2020·全国高一课时练习）设，则等于（）A．1 B．0 C．2 D．-12．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝，则使函数值为的的值是（）A．或 B．或C． D．或或3．（2020·全国高一课时练习）已知（1）画出f(x)的图象；（2）若，求x的值；（3）若，求x的取值范围.3.2函数的性质1．增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间图象特征函数f(x)在区间D上的图象是上升的函数f(x)在区间D上的图象是下降的图示[知识点拨](1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，则x1<x2⇔f(x1)<f(x2)．(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，则x1<x2⇔f(x1)>f(x2)．2．单调性(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．[归纳总结]基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0)k＞0R无k＜0无R反比例函数(y＝eq\f(k,x)，k≠0)k＞0无(－∞，0)和(0，＋∞)k＜0(－∞，0)和(0，＋∞)无二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)a＞0[－eq\f(b,2a)，＋∞)(－∞，－eq\f(b,2a)]a＜0(－∞，－eq\f(b,2a)][－eq\f(b,2a)，＋∞)3.最大值和最小值最大值最小值条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；对于任意的x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论称M是函数y＝f(x)的最大值称M是函数y＝f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标[知识拓展]函数最大值和最小值定义中两个关键词：①“存在”：M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.②“任意”：最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．4.函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于f(x)定义域内的任意一个x结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称[知识点拨](1)奇、偶函数定义域的特点．由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．(2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝－1(f(x)≠0)；②偶函数有f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq\f(f－x,fx)＝1(f(x)≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．(4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．【典例精讲】考法一性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数的减区间是（）A． B．C．， D．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间