高中数学（必修五）校本教材正文

第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

重点与难点：

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

知识方法归纳：

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法;

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

范例剖析：

例1.在AABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

点评：直接使用正弦定理解题，对于运算复杂的可利用计算器

训练1.在AABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形［角度精确到1°,边长

精确到1cm）。

点评：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

例2.已知AABC中，ZA=60°,a=求——,，十丝。——

sinJ+sinZ/+sin6'

a+0+c

点评:在AABC中，等式布=A（A>0）恒成立。

sin71+sin4+sinC

达标练习

1.在AABC中，若理4:要自，则B的值为（）

ab

A.30°B.450C.60°D.90°

2.已知AABC中，acosB=bcosA,则aABC为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.钝角三角形

3.在4ABC中,C=2B,则把当等于（）

sinB

a0b_a_c

A.-B.-C.-D.一

baca

4.在AABC中，己知々=5后,c=10,A=30。,则B=（）

A.105°B.60°C.15°D.105°或15°

5.AABC根据下列条件,确定AABC有两解的是（）

A.a=18,b=20,A=120°B.a=60,c=48,B=60°

C.a=3,b=6,A=30°D.a=14,b=16,A=45°

6.在AABC中，A：B：C=1：2：3,则Q：/?：C等于.

7.（2010广东）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=l,b=,A+C=2B,

则sinC=

8.在4ABC中,A=60°,C=45°,b=2,求此三角形的最小边长。

9.已知AABC中,a=6,b=l,B=30°,求其面机

★10.在A43C中，A:3=l:2,。的角平分线8把三角形面积分成3:2两部分，求cosA。

§1.1.2余弦定理

重点与难点：

“重点:‘余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

知识方法归纳：

掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类

基本的解三角形问题。

范例剖析：

例1.在AABC中，已知白=26，c=V6+V2,8=60°,求b及A

点评：求A可以利用余弦定理，乜可以利用正弦定理：注意确定A的取值范围。

训练1.已知a、b、c分别是△A6C中角A、B、C的对边，且2

(1)求角8的大小；(2)若c=3a,求tanA的值.

例2.在△ABC中，已知a=134.6ow,Z?=87.&T??,c=l61.7cm,解三角形

点评：可以考虑先用余弦定理求得其中的一个角，另外一个角用正弦定理余弦定理都可以。

训练2.在AABC中，角A、B、C所对的边分别是。、b、c,Ka2+c2-b2=-ac.

2

A-L-C

(1)求cosB的值；(2)求sin?——上+cos28的值.

2

达标练习

2

1.在AA8C中，8=60°,b=act则AA8C一定是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

2.在A48C中，若a=2,b=2叵,c=V6+V2,则4的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

3.在AABC中，已知方=4Ji,C=2A/3,ZA=120°,则a等于•)

A.2历B.6C.2亚或6D.2>/15+65/3

4.在△ABC中，已知。=2,bcosC+ccosB=()

A.1B.V2C.2D.4

5.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）

A.90°B.120°C.135°D.150”

6.(2011四川)在△48。中，sin:A<sin2B+sin2C-sinBsinC,则力的取值范围是

£,乃)吟㈤

A.(0,刍B.c.(0,^1D.

6633

7.在AABC中，a2+b29,则AABC的形状是

..ci—[b-c).

8.在AABC中，--------二1,n则/人=_______________

be

9.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=—,则最大角的余弦值是______.

14

10.（2011湖北）设A48C的内角A、B、。所对的边分别为a、b、c已知a=1,6=2,

二1

cose=—.

4

（I）求A45c的周长；（II）求cos（A—C）的值.

§1.1.3正、余弦定理综合应用

重点与难点：

重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形:

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

知识方法归纳：

1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情

形：三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2.学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

范例剖析：

例1.在AABC中，已知a=7,。=5,c=3,判断AABC的类型。

点评：直接应用余弦定理，由角的余弦值的正负决定角的大小，进而决定三角形的形状。

训练1.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边.

(1)若AABC面积为无,。=2,4=60。,求2,b的值；

2

(2)若acosA=bcosB,试判断△ABC的形状.

例2.a,4c为△ABC的三边，其面积5八仙;=12石，反=48,b-c=2,求a.

点评：正余弦定理的灵活转换是解题的关键。

训练2.在AABC中，人6。。一=】，面积为争求击信募菽的值

达标练习

1.在AABC中，已知〃=5j5,c=10,A=30。,则B=()

A.105°B.60°C.I50D.105。或15°

2.在AABC中，已知a=6,b=4,C=120°,则sinB的值是（）

A后R历C上D回

A・------fc>.------------L）.----------

7193819

A

3.在△ABC中，中，若sin8sinC=cos2?,则^ABC是（）

2

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

4.若aABC的三边长为a、b、c,且/（幻=//+（/+。2一。2）工+。2,贝|£（x）的图

象是（）

A.在x轴的上方B.在x粕的下方C.与x轴相切D.与x轴交于两点

5.已知。=3后，c=2,8=150°,则AABC的面积&=.

tanAa2

----------------

6.在△ABC中，若tanBb2,则^ABC的形状是.

7.三角形4ABC中AB=14,角。=60',AC：BC=8：5,求AABC的面积S。

8.（2011辽宁）△48C的三个内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,asiivUin3+加os2A=0

（I）求2；（II）若/=於+6。2，求B.

★9.设AABC的内角力，B,C的对边分别为a,6,。，且。=36.求:

a

⑵鬻+篝的值

(1)c的值;

cosA-2cosC_2c-a

10.（2011山东）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

cosBb

(1)求吧C的值；(2)若cosB=1,Z?=2.求A4BC的面积.

sinA4

§1.2应用举例（一）

重点与难点:

重点：用正、余弦定理解决与三角形有关的实际问题中的距离问题

难点：根据题意建立解三角形的数学模型

知识方法归纳：

1.方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角。

如方位角60°,如图1-2-1所示。

3.方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。

如东偏北60°,南偏西300等。

范例剖析：

例1.如图1-2-2,为测量河对岸A、B两点的距离，在河的

这边测出CD的长为—km,ZADB=ZCDB=30°,NACD=6。，

2

求、两点间的距离。

NACB=45°,ABC

图122

点评：测量不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为应用正弦定理、余弦定理求三角形

边长的问题。

训练1.为测鼠河对岸A、B两点的距离，若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得

NBC4=60",NACD=30°,NCDB=45°,ZBDA=60\求A、B两点间的距离。

例2.某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M

站行驶。公路的走向是M站的北偏东40°。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进

20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

点评：1.正确理解方向角、方位角的概念画出图形是解本题的首要条件；

2.根据图形结合已知，将问题转化为解三角形的问题。

训练2.海上有甲乙两个小岛相距10nmile,从甲岛望丙岛和乙岛成6。的视角，从乙岛望

丙岛成75°的视角，求丙岛和乙岛之间的距离.

达标练习

1.如图1,为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据,

测量时应用数据（）.

A.a>Cl>hB.6Z,Cl

C.D.

2.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是。km,从C处观察，A的方位角是/纷，B

的方位角是为〃，则灯塔A与B两点间的距离是（）.

A.akmB.y/3akmC.D.2akm

3.一角槽的横断面如图所示，四边形ADEB是矩形，若NC4D=50',

NCBE=70°,AC=3cm,BC=5cm、则DE等于()

A.7cmB.7\/3cm

C.(3cos500+5cos70)cmD.(3cos40+5cos20)cm

4.在某测量中，设A在B的南偏东34〃27',则B在A的(

A.北偏西34°27'B.七偏东55°33'C.北偏西55°33'D.南偏西55"33'

5.某人在船上看见灯塔在船的南偏东30°方向，后来该船沿南偏东6D'的方向航行45nmiIe

后看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是（）.

A.15yfinmileB.叵nmileC.27nmileD.lOyfbnmile

6.为了测量河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸

的标记物C,测得NCAB=30°,ZCBA=75°,AB=120m,

则河的宽度是m。

7.已知海岛A四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75°,

航行海里后20应，见此岛在北偏东30',如货轮不改变航向继续前进，间有无触礁危

险？

8.如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于C,D,已知4ACD为正三角形，当目标

出现于点B时，测得NBCD=75'，NCDB=45°,A、B、C、D在同一平面上，求炮兵阵

地与FI标的距离AB是多少？

9.由A地到B地，以前无直达列车，必须经D,C两地转车才能达到，现在要在A,B两地

间修一条直达铁路，如图4,经测量得NBAD=45°,ZBCD=60°,ZADC=150\

BC=10A/2km,DC=20A/2km,求A,B两地间的距离.

§1.2应用举例（二）

重点与难点:

重点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体

高度测量的问题和测量角度问题.

难点:：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.

知识方法归纳：

1.坡角：坡面与水平面的夹角。

2.坡比：坡面的铅垂高度与水平宽度之比。i=4=tana

3.仰角和俯角：

在同一铅直平面内，目标视线与水平线

的夹角，当视线在水平线上方时叫仰角，

当视线在水平线下方时叫俯角。

范例剖析

例1.如图，地面上有一根旗杆0P，为了测得它的高度，在地面上取一基线AB=20m,在

A处测得点P的仰角/OAP=30°,在B处测得P的仰角NOBP=45°,乂测得N

AOB=60°,求旗杆的高度h（结果保留根式）.

图3

点评：一般是转化为直角三角形模型，利用直角三角形知识解决。

训练1.为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A处测得塔尖的仰角为30°,前进

312石m后，到达B处测得塔尖的仰角为60°,求东方明珠塔的高度。

训练2.为测某塔的高度，在一幢与塔相距20机的楼的楼顶处测得塔顶人的仰角为

30°,测得塔基8的俯角为45',则塔A8的高度为多少米？

例2.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距10海里，乙船向正

北行驶，若甲船速度是乙船的百倍，问甲船应向什么方向行驶才能追上乙船？

点评：体会数形结合思想，理解三角形模型的实际应用。

训练3.某建筑物高100米，在它的正西方向A望该建筑物顶的仰角为45°,在该建筑物

南偏西600方向上有一处B,测得AB=100米，求在B处望该建筑物顶的仰角？

训练4.甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是

沿着东偏北105°方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上

甲船，问乙船应以什么速度、向何方向航行？（取Sin22〃k之叵）

14

达标练习

1.从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的俯角为夕，则有（）.

A.a>/3B.a=pC.a+P=90°D,a+尸=180"

2.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为45°,60°,则塔高为（）.

A.200（1B.mC.100V3wD.100m

3.有一段两岸平行的河流，水流为lm/s,小船的速度为正m/s,,为使所走路程最短，小

船行驶方向应与水流方向所成的角是（）.

A.90°B.120°C.135°D.150°

4.有一长为。的斜坡，它的倾斜角为巴现要将倾斜角改为坡高不变，则坡底要伸长（）.

2

A.acos。B.asin。C.4cos且D.a

2

5.某山坡的坡度i=l:2,设坡角为a,贝ijsina的值是（）

V?2百八1.

A.B.-------C.-D.2

552

6.从高出海平面h米的小岛A处看到正东方向有一只船俯角为30°,正南方向有一只船

俯角为45°,则此时两船间的距离为（）

A.2。米B,收力米C.血米D,20万米

7.当太阳光线与水平面的倾角为60°,一根长为2m的竹竿要使它的影子最长，则竹竿与

地面所成的角为.

8.某人向正北方向走了26km后向右转了一定的角度，然后朝新方向走了3km,此时距

出发地恰好百km,则此人右转的角度是

9.从某电线杆的正东方向的A点处测得电线杆顶端的仰角是

60。，从电线杆正西偏南30。的B处测得电线杆顶端的仰角

是45°,A,B间距离为35m,则此电线杆的高度是.

B

10.如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为。，沿BE方向前进30m至C处测得

顶端A的仰角为28,再继续前进至D点，测得顶端A的仰角为4。，求。的大小和

建筑物AE的高。

§1.2应用举例（三）

重点与难点：

重点：解三角形的综合运用。

难点：解决有关三角形的计算问题和证明问题。

知识方法归纳：

△ABC中，A、B、C分别对应a、b、c边，则4ABC的面积

S=—absinC=—bcsinA=—acsinB

222

范例剖析：

例1.已知园内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD

的面积.

点评：正确利用三角形的性质解决面积问题。

训练I.四边形ABCD中，B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,求该四边形的面积。

训练2.在4ABC中，B=30",AB=2百，AC=2,求△ABC的面积。

例2.在4ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为。、）、C,其中c=10,且

丝2=2=3。求证：ZXABC是直角三角形。

cosBa3

点评：熟记解三角形有关的公式和性质是解题的关键。

cos2Acos2B11

训练3.在aABC中，求证:

b-

训练4.在AABC中，已知a=2bcosC,求证：ZXABC是等腰三角形。

达标练习

1.△ABC"sin2A=sin2B+sin2C,则AABC为（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

-什sinAcosBcosC曰八八口/、

2.若-------------------,则AAABC是（）

abc

A.等边三角形B.有一内角是30°三角形

C.等腰直角三角形D.有一内角是3（）o等腰三角形

3.若等腰三角形的底边长为。，腰长为2〃，则腰上的中线长为（）.

V33V65

A.---aB.—ciC.---CLD.-ci

2223

4.在AABC中，A=60°,AC=16,面积S=220Ji,则BC的长为（）

A.20V6B.75C.51D.49

5.已知aBC的三边长分别为。-2,〃，。+2,且它的最大角的正弦值为沙贝脑

个三角形的面积是（)

A厉015后3573

A.----c,正D.-----

4444

6.(2010湖南)ZXABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若NC=120°,

c=&a,贝!!()

A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b的大小关系不能确定

2

7.在AABC中，已知B=45°,AC=V1(),cosC=-^—,则边BC三

8.（2010浙江）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=-一

4

(I)求sinC的值;(II)当a=2,2sinA=sinC时，求b及c的长.

9.在4ABC中，已知Iga-Ige=lgsinB=-1gV2,且B为锐角，试判断AABC的形状。

★10.在aABC中，Ulb2=acS^a2—c2=ac—bc,

求：（1）角A的大小；（2）皿0的值。

第二章数列

§2.1数列的概念与简单表示法(第一课时)

重点与难点：

重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用

难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式

知识方法归纳：

1.数列的通项公式：如果数列｛4｝的第n项勺与n之间的关系可以用一个公式来表示,

那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

2.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N“(或它的有限子集(1,2,3,n｝)

为定义域的函数4=/5),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数片乙般,如果/口(i=l、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到

一个数列/1/〃、f⑵、f(3)、f(4)…,f(n),…

3.根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项天于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

范例剖析:

例1.以下数列哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？

(1)3,5,9,17,33,2.AAA12

3115*玉’63*99

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)3,3,3,3,3,3,3,

点评：掌握数列的的分类，初步让学生领会根据数列的项写出通项公式

例2.而数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

246810

(1)3,5,9,17,33,....；(2)—,—,—,—,—,....;

315356399

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)13,3,5,5,7,7,9,9,……；

达标练习

1.下列解析式中不是数列1,一1,1,一1』...，的通项公式的是()

B.q=(-1严C.q=(-1严D.%=匕〃离蠡

2.数列6,2及，而….的一个通项公式是()

A.an=>J3n-3B.a“=《3n-lC.=J3〃+1D.a“=j3r+3

3.数列2,-6,12,一20,30,—42,....的一个通项公式是()

nn+1

A.%=(—1)n(n+l)B.%=(—1)n(n+l)

nn+\

C.%=(—1)n(n-l)D.%=(—1)n(n-l)

4.已知数列｛q｝,an=—!—（WGTVJ,那么」一是这个数列的第（）项.

1"J〃n（n+2）+120

A.9B.10C.11D.12

5.数列｛/｝,%=/5）是一个函数，则它的定义域为（）

A.非负整数集B.正整数集

C.正整数集或其子集D.正整数集或｛1,2,3,4,

6.已知数列｛凡｝,q=2〃2—10〃+3,它的最小项是（）

A.第一项B.第二项C.第三项D.第二项或第三项

7.数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为；数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…

的一个通项公式为.

2

8.已知/（X）=log2（x+7）,an=f（n）,则｛4｝的第五项为.

9.数列竺，注，毛，竺，巨…，的一个通项公式为.

25101726

10.已知数列｛〃“｝中，4=3,40=21,通项％是项数〃的一次函数,

①求｛吗的通项公式，并求4005；

②若也｝是由。2，。4，。6，。8，一，组成，试归纳也｝的一个通项公式.

§2.1数列的概念与简单表示法（第二课时）

重点与难点：

重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项

难点：理解递推公式与通项公式的关系

.知识方法归纳：

1.通项公式法：如果数列｛凡｝的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这

个公式就叫做这个数列的通项公式。

2.图象法

3.递推公式法：递推公式：如果已知数列｛外｝的第1项（或前几项），且任一项凡与它

的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个

数列的递推公式。

4.列举法：劭,内，…,即，…,简记为｛4）.

范例剖析：

q=l（n=l）

例1.设数列｛。〃｝满足,।1z八写出这个数列的前五项。

4=1+—（n>1）.

*

点评：让学生体会递推法，掌握用递推公式来求数列中的项

训练1.己知数列｛勺｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象:

（一1）〃

（2）牝=

71+12"

例2.已知％=2,an+l2%写出前5项，并猜想*.

点评：培养学生的观察能力，让学生掌握累乘法求通向公式

训练2.若数列｛aj的通项公式劣=一二•，记f(n)=2(1-a।)(1。)…(la),试通过计

5+1)2

算f(l),f(2),f(3)的值，推测出f(n)o(用含n的代数式表示)

达标练习

1.数列3,33,333,3333,….的一个通项公式是()

nnn

A.an=1(10-l).B.an=1(10+l).C.a„=l(lO-2).D.a„=l(l0"+2).

2.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中

需用黑色瓷砖()块.

(1)(2)(3)

A.4n+8B.4n+7C.4n+6D.4n+9

3.已知数列｛aj中,ai=l,(n+l)an=ran+i,则数列｛aj的一个通项公式an二()

A.4nB.2nC.nD.3n

4.已知数列｛4｝满足q=-2,j=2+工，则田二()

\-a„

5.已知数列｛%｝,q=如-5,且/=11,则知=()

A.31B.28C.30D.29

6.已知数列｛(｝,4=3,%=6,且%+2=。向-勺，则数列的第五项为()

A.6B.-3C.-12D.-6

7.已知数列｛aj对任意的p,q£N*满足a〉q=ap+aq且a2=-6,那么a】产.

8.在数歹U｛an｝中,a「=4n-；,a1+a2+…+an=an2+bn,n£N*,其中a、b为常数，贝ijab=.

9.已知｛4｝满足4=3,%讨=2%+1,试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数

列的一个通项公式.

x-x

10.己知函数f(x)=2-2,数列｛加｝满足f(log2an)=2n.求数列⑸｝的通项公式;

§2.2等差数列(第一课时)

重点与难点：

重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式；

难点：等差数列的概念的理解，等差数列的通项公式及其应用；

知识方法归纳：

1.等差数列的概念：________________________________________________________

数学语言：____________________________________________________________________

2.等差数列的通项公式：：

范例剖析：

例1.已知｛aj是一个等差数列，请在下表中填入适当的数:

aia2a.i36d

-32

84

点评：(1)灵活掌握等差数列的通项公式为二q+(〃-1)〃，并能用其求数列的各项;

(2)学会运用公式d=来求等差数列的公差。

n-m

训练1.(1)在等差数列区｝中，%=9,a9=6,求由,d,正;

(2)2011是数列7,13,19,25,31,…,中的第()项.

A.332B.333C.334D.335

例2.已知5个数成等差数列，它们的和为15,平方和为85,求这5个数。

点评：为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

ci—2d,a—dS,a+2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，

a-3d,a-d,a^-d,a+3d,­•­（公差为2d）；

训练2.成等差数列的四个数的和为26,第二数与第二数之积为40,求这四个数.

达标练习：

1.等差数列｛〃“）的前三项为1一1,x+1,2x+3,则这个数列的逐项公式为（）

A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1

2.在数列｛即｝中，的=2,2%u=2%+1则以⑼的值为（）

A.49B.50C.51D.52

3.在9和-3之间依次插入三个数a,b,c,使得这五个数成等差数列，则下列正确的是（）

A.a=4B.b=lC.c=0D.6=6

4.一个首项为23,公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它

的公差是（）

A.-2B.—3C.—4D.—5

5.｛%｝是首项4=2,公差d=4的等差数列，若勺=2010,则序号〃=（）

A.501B.502C.503D.504

6.数列｛%｝中，a2=5,an+i=an+2,则这个数列的通项公式是

7.若机。〃，数列根和孙乙，打，”3，〃都是等差数列，则出一％=________

b2f

★8.已知｛-!-｝是等差数列,且6=收-1,44=0+1.则30=.

%

9.梯子的最高一级宽30厘米，最低一级宽100厘米，中间还有9级，各级的宽度组成等差

数列，计算中间各级的宽度。

10.若lg2,IgQX-l）,lg（2'+3）成等差数列，求x的值。

3

★II.已知/(x+l)=f_4,笨差数列｛〃“｝中，a]=/(x-l),a2=--,«3=/(x)；

(1)求x的值；(2)求通项公式勺；

§2.2等差数列(第二课时)

重点与难点t

重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用；

难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题；

知识方法归纳：

1.等差中项的概念：若三个数A6组成,那么A叫做。与力的,

即2A=或A=o

2.等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；公差时,

数列为递减数列;公差时,数列为常数列;等差数列不可能是。

范例剖析：

例1.在等差数列｛%｝中，若4+&=9,%=7,求知，。9.

点评：(1)结论：(性质)在等差数列中，若m+n=p+q,则。卅++4；

特别地，当m+〃=2〃时，则有%+/=2%(m,n,p,qEN*)；

(2)等差数列中，已知四个元素句，〃，d,中的任意三个，便可求出其余两个。

训练1.(1)在等差数列｛。〃｝中，若a4=5ta9=17,求《4,%；

(2)已知｛an｝是等差数列，a7+ai3=20,则ag+aio+ai尸()

A.36B.30C.24D.18

例2.在正项数列｛an｝中，〃]=1，an=yla^+2（n>2）,求数列｛aj的通项公式。

点评：

（1）等差数列的判断方法：定义法4+]-4”=d（d为常数）或。“+[=。”一。”_1（〃之2）;

（2）｛册｝是等差数列=〃“二"詈^（«>2）；

⑶若｛%｝、电｝是等差数列，则｛g〃｝,｛她+P〃J（0〃是非零常数），

｛j｝（P，"M），S"凡"-Sn，S3bs筋，…也成等差数列。

训练2.在非零数列｛%｝中，《=3,且对任意大于1的正整数〃，点（向，向7）在直

A-j-V3=0上，求数列｛%｝的通项公式。

达标练习

1.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为（）

n

A.aH=2n-\B.a”=（一1）"（1一2〃）C.a„=（-l）（2«-1）D.。”=（一1）”（2〃+1）

2.在等差数列｛〃〃｝中，若。3+。4+。5+。6+%=领，则%+%=（）

A.45B.75C.160D.180

3.在等差数列51,47,43……中，第一个负数的是（）

A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项

4.已知等差数列％,av…。〃的公差为d，则c%，cavc%，…。为常数且

（?工0）是（）

A.公差为d的等差数列B.公差为cd的等差数列

C.非等差数列D.以上都不对

5.首项为24的等差数列，从第10项起开始为负数，则公差d的范围是（）

o88

A.d<—B.d-3C.-3<dV—D.-3Wd<—

333

6.设数列｛/｝是单调递增的等差数列，前三项和为12,前三项积为48,则它的公差是（）

A.IB.2C.±2D.4

7.等差数列｛（｝中，组与4的等差中项为5，%与生的等差中项为7，则q=.

8.等差数列｛%｝中，an=tn,a„=n,(〃，meN,5.n^m),则&“+,“=

9.已知数列｛Iog2(a“一D,(〃£/*)｝为等差数列，且4=3,%=9.求数列｛%｝的通项

式。

10.已知等差数列｛aj中，公差d>0,且满足a2•a3=45,ai+a4=14,求数列｛aj的通项公式.

§2.3等差数列的前n项和(第一课时)

重点与难点：

重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.

难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.

知识方法归纳：

1.等差数列前n项和公式(略)

2.用倒序相加法推导等差数列前n项和公式(略)

3.公式的应用，解题时需要根据已知条件灵活选用公式。

范例剖析：

例1.(1)已知等差数歹U｛an｝中，ai=4,S8=172,求a8和d;

(2)等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是54?

点评：=〃(4+""),对于这个公式，只要知道等差数列首项小.尾项。”和