数学教案：回归分析的基本思想及其初步应用第三课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三课时教学目标知识与技能能根据散点分布特点，建立不同的回归模型；知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；通过散点图及相关指数比较不同模型的拟合效果．过程与方法通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化"的思想;让学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，体会统计方法的特点,认识统计方法的应用;通过使用转化后的数据，利用计算器求相关指数,使学生体会使用计算器处理数据的方法．情感、态度与价值观通过案例的解决，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力，并通过合作学习，培养学生的团队合作意识．重点难点教学重点:通过探究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型;教学难点：如何启发学生“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）",变非线性为线性，建立线性回归模型．eq\o(\s\up7(），\s\do5（教学过程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入背景材料）)我国是世界产棉大国，种植棉花是我国很多地区农民的主要经济来源，在棉花的种植过程中，病虫害的防治是棉农的一项重要任务，如果处置不当就会造成棉花的减产．其中红铃虫就是危害棉花生长的一种常见害虫，在1953年,我国18省曾发生红铃虫大灾害，受灾面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨．如图就是红铃虫的有关图片:红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为25～32℃，相对湿度为80%~100％，低于20℃和高于35℃卵不能孵化,相对湿度60%以下成虫不产卵．冬季月平均气温低于－4。8℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死．为采取有效防治方法，有必要研究红铃虫的产卵数和温度之间的关系．现收集了红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表:温度x/℃21232527293235产卵数y/个711212466115325（1）试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为28℃时产卵的数目．（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？学生活动：类比前面所学过的建立线性回归模型的步骤,动手实施．活动结果：(1)画散点图：通过计算器求得线性回归方程:eq\o（y，\s\up6(^)）＝19.87x－463.73。当x＝28℃时,eq\o（y,\s\up6（^))＝19。87×28－463.73≈93，即温度为28℃时，产卵数大约为93.(2）进行回归分析计算得：R2≈0.7464，即这个线性回归模型中温度解释了74.64％产卵数的变化．设计目的：通过背景材料,加深学生对问题的理解，并明白“为什么要学”．体会问题产生于生活，并通过问题的解决复习建立回归模型的基本步骤．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（探究新知）)提出问题：结合数据可以发现，随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28℃时,估计产卵数应该低于66个,但是从推算的结果来看93个比66个却多了27个，是什么原因造成的呢？学生活动：分组合作讨论交流．学情预测：由于我们所建立的线性回归模型的相关指数约等于0.7464，即解释变量仅能解释预报变量大约74。64％的变化，所占比例偏小．这样根据我们建立的模型进行预报，会存在较大的误差．我们还可以从残差图上分析一下我们所建立的回归模型的拟合效果：残差数据表：x21232527293235y711212466115325残差53。4617.72－12。02－48.78－46。5－57.1193.28画出残差图根据残差图可以发现,残差点分布的带状区域较宽，并不集中，这表明我们所建立的回归模型拟合效果并不理想．之所以造成预报值偏差太大的原因是所选模型并不理想．实际上根据散点图也可以发现，样本点并没有很好地集中在一条直线附近，故变量之间不会存在很强的线性相关性．设计目的：引导学生对结果进行分析，从而发现存在的问题,激发好奇心、求知欲．同时培养学生对问题的洞悉能力，增强对结果的敏感自检能力．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（理解新知))提出问题：如何选择合适的回归模型进行预测呢？学生活动：学生讨论，教师合理引导学生观察图象特征，联想学过的基本函数．学情预测：方案一：建立二次函数模型y＝bx2＋a。方案二：建立指数函数模型y＝c1ac2x。提出问题：如何求出所建立的回归模型的系数呢?我们不妨尝试解决方案一中的系数．学生活动：分组合作,教师引导学生观察y＝bx2＋a与y＝bx＋a的关系．学情预测：通过比较，发现可利用t＝x2，将y＝bx2＋a(二次函数）转化成y＝bt＋a(一次函数）．求出x，t,y间的数据转换表：x21232527293235t＝x244152962572984110241225y711212466115325利用计算器计算出y和t的线性回归方程：eq\o(y,\s\up6(^)）＝0.367t－202.54，转换回y和x的模型:eq\o（y，\s\up6（^））＝0.367x2－202.54.当x＝28℃时，eq\o(y,\s\up6(^)）＝0.367×282－202.54≈85，即温度为28℃时,产卵数大约为85。计算相关指数R2≈0。802，这个回归模型中温度解释了80.2％产卵数的变化．提出问题:提出问题“如果选用指数模型,是否也能转换成线性模型，如何转化?"学生活动：独立思考也可相互讨论．教师可启发学生思考“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂？”可引导学生回忆对数的运算性质以及指对数关系．学情预测：可利用取对数的方法，即在y＝c1ac2x两边取对数，得logay＝c2x＋logac1.提出问题：在上面的运算中，由于底数a不确定，对于x的值无法求出相应的logay，这时可取a＝10时的情况，以便利用计算器进行计算，试求出回归模型．学生活动：合作协作，讨论解决．学情预测：建立数据转换表:x21232527293235z＝lgy0。851。041。321。381.822.062。51y711212466115325根据数据，可求得变量z关于x的回归方程：eq\o（z,\s\up6(^））＝0.118x－1.665.转换回y和x的模型：eq\o（y,\s\up6(^）)＝100.118x－1.665。当x＝28℃时，eq\o（y，\s\up6(^))≈44，即温度为28℃时，产卵数大约为44.计算相关指数R2≈0.985，这个回归模型中温度解释了98。5%产卵数的变化．提出问题：试选择合适的方法，比较方案一和方案二在数据拟合程度上的效果有什么不同？学生活动：独立思考也可相互讨论，教师加以适当的引导提示．活动结果：相关指数R2残差平方和残差图方案一0.80215448。432方案二0.9851450。673无论从图形上直观观察，还是从数据上分析，指数函数模型都是更好的模型．设计目的：引导学生进行不同模型的比较，体会“虽然任意两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合,但不能保证这种模型对数据的拟合效果最好，为更好地刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型"．提出问题：由上面的分析可以看出，回归模型不一定是线性回归模型，对于非线性回归模型,我们的处理方法是什么?学生活动：独立思考，回顾上面的解决过程．学情预测:选用非线性回归模型时，一般思路是转化成线性回归模型，往往要用“等量变换、对数变换”等方法．设计目的:让学生整理建立非线性回归模型的思路．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（运用新知)）例1为了研究某种细菌繁殖个数y与时间x的关系，收集数据如下:天数x(天)123456繁殖个数y（个)612254995190试建立y与x之间的回归方程．思路分析：先画出散点图，根据散点图确定回归模型的类型,然后求y与x之间的回归方程．解:根据上表中的数据，作出散点图由图可以看出，样本点分布在某指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny,则上表变换后如下：x123456z1。792.483。223.894。555。25作出散点图从图中可以看出，变换后的样本点分布在某条直线附近,因此可用线性回归模型来拟合．由表中数据可得，z与x之间的线性回归方程为eq\o（z，\s\up6（^)）＝0.69x＋1.112，则y与x之间的回归方程为eq\o(y，\s\up6(^））＝e0。69x＋1.112。【变练演编】例2混凝土的抗压强度X较易测定,其抗弯强度Y不易测定，已知X与Y由关系式Y＝AXb表示，工程中希望由X估算出Y，以便应用．现测得一批对应数据如下：X141152168182195204223254277Y23.125。325.929.831.131。832.534.835.2试求Y对X的回归方程．思路分析：题目中已经给出回归模型为Y＝AXb类型，故只要通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤即可．解:对Y＝AXb两边取自然对数得：lnY＝blnX＋lnA，做变换y＝lnY，x＝lnX，a＝lnA，则上述数据对应表格如下：X141152168182195204223254277Y23。125。325.929.831。131.832.534.835.2x4。955.025。125。205。275。325。415。545.62y3。143.233.253.393.443.463.483。553.56根据公式可求得eq\o(y，\s\up6（^）)＝0。64x＋0。0172，则eq\o(Y,\s\up6（^)）＝e0.64lnx＋0.0172＝1。02X0.64。变式1：若X与Y的关系由关系式eq\o(Y,\s\up6（^))＝eq\o(β，\s\up6（^))Xb＋eq\o(α,\s\up6(^））表示,试根据给出的数据求Y对X的回归方程．活动设计：学生分组讨论，尝试解决．活动成果：eq\o（Y，\s\up6（^））＝0.086X＋13。005.变式2：试选择合适的方法比较上述两种回归模型，相对于给出的数据哪一个的拟合效果更好？活动成果：计算残差平方和与相关指数，对于模型Y＝AXb，残差平方和eq\o(Q，\s\up6(^))（1）＝9.819,相关指数Req\o\al（2，1）＝0.9304；对于模型eq\o(Y,\s\up6（^））＝eq\o(β，\s\up6（^）)Xb＋eq\o(α，\s\up6(^）），残差平方和eq\o(Q,\s\up6(^)）（2）＝12。306，相关指数Req\o\al（2，2)＝0。908，故模型Y＝AXb的拟合效果较好．设计意图：熟悉判断回归模型拟合效果的方法．【达标检测】1．变量x，y的散点图如图所示,那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为（）A．1B．－0。5C．0D．0。52．变量x与y之间的回归方程表示（)A．x与y之间的函数关系B．x与y之间的不确定性关系C．x与y之间的真实关系形式D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合3．非线性回归分析的解题思路是__________．答案：1。C2。D3.通过变量置换转化为线性回归分析eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结）)1．数学知识：建立回归模型及残差图分析的基本步骤；非线性模型向线性模型的转换方法；不同模型拟合效果的比较方法：相关指数和残差的分析．2．数学思想：数形结合的思想，化归思想及整体思想．3．数学方法：数形结合法，转化法，换元法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（补充练习））【基础练习】1．相关指数R2，残差平方和与模型拟合效果之间的关系是(）A．R2的值越大，残差的平方和越大,拟合效果越好B．R2的值越小，残差的平方和越大，拟合效果越好C．R2的值越大，残差的平方和越小，拟合效果越好D．以上说法都不正确2．如果散点图的所有点都在一条直线上,则残差均为____________________,残差平方和为__________，相关指数为______________．答案：1。C2.001【拓展练习】3．某种书每册的成本费Y元与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下:x123510203050100200Y10。155。524。082。852.111。621.411.301。211.15检验每册书的成本费Y元与印刷册数的倒数eq\f（1，x）之间是否有线性相关关系，如有，求出Y对eq\f(1,x)的回归方程．解：把eq\f(1，x）置换为z，则z＝eq\f（1,x)，从而z与Y的数据为：z10.50。3330。20。10。050.0330.020。010.005Y10.155.524.082。852。111。621。411。301。211.15根据数据可得r≈0。9998〉0.75，故z与Y具有很强的线性相关关系．所以eq\o（b，\s\up6(^）)≈8.976，eq\o(a，\s\up6(^)）≈1.120，从而eq\o(y,\s\up6（^）)＝8.976z＋1.120。又z＝eq\f(1,x),所以eq\o（y,\s\up6（^）)＝eq\f(8.976，x)＋1.120。eq\o(\s\up7（)，\s\do5（设计说明））本课时内容教材中只安排了一道关于“红铃虫"的例题,但是它却代表了一种“回归分析”的类型．如何利用这道例题使学生掌握这类问题的解决方法呢？为此,本课时设计了“引导发现、合作探究”的教学方法．首先展示“红铃虫”的背景资料来激发学生的学习兴趣；鼓励学生用已有知识解决问题，引导学生检查结果从而发现新问题;通过分组合作来对不同方案进行探索;使学生在合作探索的过程中体会“选择模型—-将非线性转化成线性”的方法，体会“化未知为已知、用已知探索未知"思想，同时认识不同模型的效果