数学教案：函数的应用（Ⅰ）VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7（),\s\do5（整体设计)）教学分析函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在例题中,分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用．三维目标1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力,即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．2．会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．3．通过学习函数基本模型的应用,体会实践与理论的关系,初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．重点难点教学重点:根据实际问题分析建立数学模型，并根据数学模型解决实际问题．教学难点：建立数学模型．课时安排1课时eq\o(\s\up7(），\s\do5（教学过程)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（应用示例））思路1例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系,并求离开北京2h时火车行驶的路程．解:因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝eq\f(11，5）（h)，所以0≤t≤eq\f（11,5）.因为火车匀速行驶th所行驶路程为120t,所以，火车行驶的总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是s＝13＋120t(0≤t≤eq\f（11,5））．离开北京2h时火车行驶的路程s＝13＋120×eq\f（11，6）＝233(km）．点评:本题函数模型是一次函数，要借助于相关的物理知识来解决。变式训练电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟）之间关系如下图所示（其中MN∥CD)．（1）分别求出方案A、B应付话费（元）与通话时间x（分钟)的函数表达式f(x)和g(x）;(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案的?并说明理由．解：（1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（20,0≤x≤100，\f（3,10)x－10，x>100,）)g（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（50，0≤x≤500,\f（3,10）x－100，x〉500.))（2）当f(x)＝g（x）时,eq\f(3，10)x－10＝50，∴x＝200。∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g（x)＞f（x)，故选择方案A；当客户通话时间为x＞200分钟时，g(x)＜f(x)，故选择方案B.例2某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元,每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高？分析：由题设可知,每天客房总的租金是增加2元的倍数的函数．设提高为x个2元，则依题意可算出总租金(用y表示）的表达式．由于客房间数不太多，为了帮助同学理解这道应用题,我们先用列表法求解,然后再用函数的解析表达式求解．解：方法一依题意可列表如下：xy0300×20＝60001(300－10×1）(20＋2×1)＝63802(300－10×2)（20＋2×2)＝67203（300－10×3）（20＋2×3）＝70204(300－10×4)（20＋2×4)＝72805（300－10×5)（20＋2×5）＝75006(300－10×6）(20＋2×6）＝76807（300－10×7）(20＋2×7）＝78208（300－10×8)(20＋2×8）＝79209(300－10×9)(20＋2×9）＝798010（300－10×10)（20＋2×10)＝800011（300－10×11）（20＋2×11)＝798012(300－10×12)（20＋2×12）＝792013（300－10×13)(20＋2×13）＝7820……由上表容易得到，当x＝10,即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元．再提高租金，总收入就要小于8000元了．方法二设客房租金每间提高x个2元,则将有10x间客房空出,客房租金的总收入为y＝(20＋2x)（300－10x）＝－20x2＋600x－200x＋6000＝－20（x2－20x＋100－100）＋6000＝－20(x－10)2＋8000。由此得到，当x＝10时，ymax＝8000.因此每间租金为20＋10×2＝40（元)时，客房租金的总收入最高,每天为8000元．点评：二次函数模型是最重要的函数模型,是课程标准和高考的重点.变式训练某车间生产某种产品,固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元,已知总收益R（总收益指工厂出售产品的全部收入,它是成本与总利润的和，单位：元）是年产量Q（单位：件)的函数,满足关系式：R＝f（Q）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(400Q－\f(1，2)Q2，0≤Q≤400,,80000，Q〉400，)）求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？解:y＝R－100Q－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（300Q－\f（1,2)Q2－20000，0≤Q≤400，，60000－100Q，Q〉400））(Q∈Z）．(1)0≤Q≤400时，y＝－eq\f(1,2）（Q－300）2＋25000,∴当Q＝300时,ymax＝25000.（2）Q＞400时，y＝60000－100Q＜20000,∴综合(1）（2)，当每年生产300件时利润最大为25000元。例1某单位计划用围墙围出一块矩形场地，现有材料可筑墙的总长度为l，如果要使围墙围出的场地面积最大，问矩形的长、宽各等于多少？解：设矩形的长为x(0＜x＜eq\f(l,2)），则宽为eq\f（1，2)（l－2x),从而矩形的面积为S＝x·eq\f（l－2x,2）＝－x2＋eq\f（l，2）x＝－[x2－eq\f(l，2）x＋(eq\f（l，4）)2－(eq\f(l，4））2］＝－（x－eq\f（l，4））2＋eq\f(l2，16）。由此可得,该函数在x＝eq\f(l，4)时取得最大值，且Smax＝eq\f（l2，16)。这时矩形的宽为eq\f（l－2x，2)＝eq\f(l,4).即这个矩形是边长等于eq\f（l，4）的正方形时，所围出的面积最大．点评：本题转化为求二次函数的最值，在实际应用问题中，二次函数是最常见的函数模型.变式训练某农产品去年各季度的市场价格如下表：季度第一季度第二季度第三季度第四季度每吨售价(单位：元）195.5200。5204。5199。5今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m"（平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每个100元纳税10元（又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，（1)根据题中条件填空,m＝________（元/吨);(2)写出税收y（万元）与x的函数关系式；（3）若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2％，试确定x的取值范围．解：（1）∵f(m)＝(m－195。5)2＋(m－200.5）2＋(m－204。5）2＋(m－199。5）2＝4m2－1600m＋160041,∴m＝200。（2)降低税率后的税率为(10－x）%,农产品的收购量为a(1＋2x％)万吨,收购总金额为200a（1＋2x%），故y＝200a(1＋2x%）(10－x）%＝eq\f（200,10000）a（100＋2x）(10－x）＝eq\f(1，50)a(100＋2x)（10－x)(0＜x＜10）．(3）原计划税收为200a×10％＝20a（万元)，依题意得eq\f（1，50)a（100＋2x）(10－x）≥20a×83。2％，即x2＋40x－84≤0.解得－42≤x≤2.又0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是0＜x≤2。例2建立函数数学模型的例子．问题：我国1999～2002年国内生产总值(单位：万亿元）如下表所示:年份1999200020012002x0123生产总值8.20678.94429。593310。2398（1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系,近似地写出一个函数关系式；(2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；(3）利用关系式估计2003年我国的国内生产总值．解：（1）画出函数图形．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，可选择线性函数建立数学模型．如下图所示．设所求的线性函数为y＝kx＋b.把直线通过的两点(0，8.2067）和(3，10。2398）代入上式，解方程组，得k＝0.6777，b＝8.2067.因此，所求的函数关系式为y＝f(x）＝0.6777x＋8.2067。（2）由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f（1)＝0.6777×1＋8.2067＝8。8844，f（2）＝0。6777×2＋8。2067＝9。5621,与实际的生产总值相比，误差不超过0。1万亿元．（3)假设我国2002年以后国内生产总值还按上面的关系式增长,则2003年(即x＝4时）的国内生产总值为y＝f（4）＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，所以2003年国内生产总值约为10。9175万亿元．点评：根据国家统计局公布的数据，我国2003年国内生产总值为11.6694万亿元，比估计的数字高得多．这说明为解决实际问题所建立的数学模型是否符合实际情况，还要经过实践的验证,如果与实际误差较大，就要修正得到的数学模型．这里是同学们第一次学习数学建模，问题虽然简单，但体现了数学建模的主要思路．顺此思路，同学们不妨取两点(0，8。2067），（2，9.5933)去求函数关系式，进一步体会数学建模的思想。变式训练九十年代,政府间气候变化专业委员会(IPCC）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a、b、c为常数)，且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？解：（1)若以f（x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（p＋q＋r＝1，,4p＋2q＋r＝3，,9p＋3q＋r＝6，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（p＝\f(1,2)，,q＝\f（1，2），，r＝0，）)∴f（x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f（1,2)x.(2）若以g(x）＝a·bx＋c作模拟函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ab＋c＝1,,ab2＋c＝3，,ab3＋c＝6，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(8，3），,b＝\f（3，2）,，c＝－3，))∴g(x)＝eq\f(8，3）·(eq\f（3,2））x－3.(3)利用f（x）、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：f（5）＝15可比单位，g（5）＝17.25可比单位，∵|f（5）－16|＜|g(5)－16｜，故选f（x）＝eq\f（1,2）x2＋eq\f（1,2)x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能训练)）1．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好,但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x)元(15≤x≤40），试求f（x)和g(x）．答案:f(x）＝5x（15≤x≤40）；g（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（90，15≤x≤30，，2x＋90,30<x≤40。）)2．A、B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距城市距离不得少于10km。已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ＝0.25。若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．把月供电总费用y表示成x的函数,并求定义域．答案:y＝5x2＋eq\f(5,2)（100—x)2（10≤x≤90)．3．当人的生活环境温度改变时,人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据,这组数据能说明什么?环境温度/（℃)410203038代谢率/4185J/(h·m2）60444040.554解：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率．不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应,这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如下图）．根据图象，可以看出下列性质：(1）代谢率曲线在小于20℃的范围内是下降的,在大于30℃的范围内是上升的；（2）环境温度在20℃～30℃时,代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；（3）环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．所以，临床上做“基础代谢率”测定时,室温要保持在20℃～30℃之间,这样可以使环境温度的影响最小．4．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求,计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0。5x，同时预计日销售量增加的百分率为0。8x,已知日利润＝(出厂价一成本)×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.（1)写出y与x的关系式；(2）为使日利润有所增加,求x的取值范围．解：（1)由题意，得y＝[60×(1＋0。5x)－40×(1＋x）]×1000×（1＋0.8x）＝2000(－4x2＋3x＋10）（0＜x＜1）．（2)要保证日利润有所增加，当且仅当eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－（60－40）×1000>0，,0<x<1，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－4x2＋3x>0,，0〈x〈1.))解得0＜x＜eq\f（3，4）.所以为保证日利润有所增加,x应满足0＜x＜eq\f(3,4）.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1。8元,饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的85％)．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由．解：(1)设该厂应隔x（x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1，∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0。03＝6(元），∴x天饲料的保管与其他费用共有6(x－1）＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元）．从而有y1＝eq\f（1,x）(3x2－3x＋300)＋200×1。8＝eq\f（300,x）＋3x＋357,可以证明y1＝eq\f（300,x）＋3x＋357在(0，10）上为减函数，在（10，＋∞)上为增函数．∴当x＝10时，y1有最小值417,即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25）购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y2,则y2＝eq\f(1，x)(3x2－3x＋300）＋200×1.8×0.85＝eq\f（300，x）＋3x＋303(x≥25)．∵函数y2在[25，＋∞）上是增函数,∴当x＝25时，y2取得最小值为390。而390＜417，∴该厂应接受此优惠条件．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(课堂小结))本节学习了一、二次函数的实际应用，建立函数模型解决实际问题．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业）)课本习题2－3A2、3、4.eq\o(\s\up7(）,\s\do5（设计感想))本节设计从现实例题开始，让学生从现实中体会函数模型的选择,然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题,本节的每个例题的素材都是贴近现代生活，学生非常感兴趣的问题,很容易引起学生的共鸣．eq\o(\s\up7(），\s\do5(备课资料))[备选例题］例1假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫税率为8%)，计划可收购m万担（其中m为正常数),为了减轻农民负担，如果税率降低x%，预计收购量可增加(2x)％.（1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，求x的取值范围．解：(1）y＝120m×104［1＋(2x)%]×(8－x）％＝120m（－2x2－84x＋800)．(2）由题意知120m(－2x2－84x＋800)≥0.78×120m×104×8％，解得0＜x≤2。所以x的取值范围是0＜x≤2。例2某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？解：总成本C与产量x的关系为C＝200000＋300x；单位成本P与产量x的关系为P＝eq\f(200000，x）＋300；销售收入R与产量x的关系为R＝500x；利润L与产量x的关