2021年中考复习 数学考点专项训练-专题七十七：平行四边形

2021中考复习数学考点专项训练——专题七十七：平行四边形

1.在矩形侬刀中，点后在比'上，AE=AD,DFLAE,垂足为尸

(1)求证：DXAB；

(2)若//^4/=30°,且妨=4,求助.

2.如图，已知四边形施力为矩形,点£,尸分别为四、5中点，连结/尸，CE.

(1)求证：AF=CE；

(2)在"'上取点尸，连结房、PC,若310,AD=12,求△发T的面积.

3.如图，在△胸中，ZABC=90°,即为4c的中线，过点。作血即于点£,过点4作物的平行线,

交力的延长线于点凡在m的延长线上截取R7=切，连接比、DF.

(1)求证：BD=DF\

(2)求证：四边形M石为菱形；

(3)若ZG=13,CF=&,求四边形物弓的周长.

D

4.在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1,四边形用力是正方形，点E是边死的中点，

ZAEF=9Q°,且跖交正方形外角平分线"1于点尸.请你探究四与班存在怎样的数量关系，并证明你的

结论正确.

经过探究，小明得出的结论是/£=阮而要证明结论4£=斯,就需要证明花和跖所在的两个三角形全等,

但△上和△呼显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点£是边比'的中点，小明

想到的方法是如图2,取形的中点区连接为证明△/包丝△哥C从而得到/£=阮

请你参考小明的方法解决下列问题：

(1)如图3,若把条件“点£是边比的中点''改为"点£是边比1上的任意一点“，其余条件不变，证明

结论AE=EF仍然成龙.

(2)如图4,若把条件“点后是边比1的中点”改为：“点£是边犯延长线上的一点“，其余条件仍不变，

那么结论心即是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由.

BB

E

图3图4

5.如图，在Rt△胸中，NO=90。，AC=2,ZABC=30°,点0为Rt△胸内一点，连接4。.BO.CO,

且N/UNCQN及%=120°.以点5为旋转中心，将△?!必绕点8顺时针方向旋转60°,得到△/'0'

B,连接仇?'，求：

(1)ZOBO'的度数；

(2)曲+妙比'的长.

A'

6.如图，四边形侬刀为菱形，〃为a'上一点，连接■交对角线即于点G,并且仁2N54M

(1)求证：AG=BG；

(2)若点〃为死的中点，同时见腼=1,求三角形46的面积.

7.如图，在口ABCD中,AC=8,放=12,点反尸在对角线初上，点£从点8出发以1个单位每秒的速度

向点。运动，同时点尸从点。出发以相同速度向点6运动，到端点时运动停止，运动时间为6秒.

(1)求证：四边形极下为平行四边形.

(2)求才为何值时，四边形力呼为矩形.

8.如图，点2是等腰Rt△脑内一点，ZACB=90°,将△曲绕点C按逆时针方向旋转90°得△皈BD

延长线与超相交于点A

(1)如图1,求证：BHLAE-,

(2)如图2,连接物、DE,当NBDC=108°,N4！5=153°时，试判断△上的形状，并说明理由.

图1图2

9.在菱形四(力中，点0是对角线的交点，£点是边切的中点，点尸在比1延长线上，且冉48c.

(1)求证：四边形比斯是平行四边形；

(2)连接加；如果DF1CF,请你写出图中所有的等边三角形.

BF

10.如图，以△胸的各边，在边况'的同侧分别作三个正方形板/,BCFE,ACHG.

(1)求证：△应陛△胡C；

(2)求证：四边形血旗是平行四边形.

(3)直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△的满足什么条件时，四边形血颜是矩形？

②当△上满足什么条件时，四边形侬G是正方形？

11.如图，E,尸是正方形的?的对角线4c上的两点，且

(1)求证：四边形况如是菱形；

(2)若正方形边长为3,AE=\,求菱形龙加的面积.

12.如图，在矩形屈力中，过切的中点0作皿物，分别与四、勿交于点反F.连接“BF.

(1)求证：四边形座加是菱形；

(2)若〃是池中点，联结W与应交于点儿AD=0M=4,则如的长是多少？

13.如图，在四边形四切中，AD//BC,NO=90。，%=5，点区尸分别在边6GCD上,

且BE=DF=AD,"■与应交于点G.

(1)求证：AB=BF.

(2)当AB=5®,@=2掂，求册的长.

14.如图，在平行四边形相切中，连接班.过〃点作血四于点瓦过四上一点产作R7_L4?于点G,

交应于点尸；过F作F/LLDB于氤H,连接加

(1)若庞=6,DC=IO,AD=2y/lQ,求应的长.

(2)若AE=PE,求证：Dm

E

15.如图，在正方形用力中，等边△曲1的顶点反尸分别在死和龙上.

(1)求证：XABE^XADF；

(2)若等边△囱的周长为6,求正方形被笫的边长.

16.如图，在菱形被力中，对角线4c与即交于点0,过点。作4c的垂线，过点。作切的垂线，两直线

相交于点反

(1)求证：四边形比即是矩形；

(2)若31,DE=2,求四边形的侬力面积.

17.在△板'中，N54C=90°,9是灰■边上的中线，点£为由的中点，过点力作相〃况1交的的延长线

于点凡连接行：

(1)求证：AD=AF；

(2)填空：①当N43°时，四边形4如为正方形；

②连接加；当NACB=°时，四边形侬户为菱形.

2021中考复习数学考点专项训练——专题七十七：平行四边形参考答案

1.在矩形侬刀中，点后在比'上，AE=AD,DFLAE,垂足为尸

(1)求证：DXAB；

(2)若//^4/=30°,且妨=4,求助.

【答案】(1)证明：在矩形施为中，

,JAD//BC,N8=90°,

:.NAEB=ZDAF,

又YDFIAE,

...NM4=90°,

：.2DFA=4B,

，ZDAF=ZAEB

在和△痴中，＜ZDFA=ZB,

AD=AE

:.XADF@XEAB(A4S),

：.DF=AB.

(2)解：VZDFA=90°,ZFAD=30°,

：.AD=2DF,

,:DF=AB=4,

：.AD=2AB=8.

2.如图，已知四边形被力为矩形，点£,尸分别为"、切中点，连结ZECE.

(1)求证：AF=CE；

(2)在"'上取点只连结反、PC,若0=10,止=12,求△限的面积.

【答案】证明：(1)•.,四边形破力是矩形

：.AB=CD,AB//CD,AD=BC,NB=ND=90°,

•.•点瓦夕分别为四、5中点，

：.BE=AE=—AB,DF=CF=-CD

22

：.AE=BE=DF=CF,且N5=Ng90°,AD=BC,

:.XAD阻XCBE(SAG

：.AF=CE,

(2)'：AE=CF,AB//CD

...四边形侬声是平行四边形，

••Sc^PEC——5>ABCFt

VCP=10,AD^\2

:.CF=5

•*-5k/®c——->5>5X12=30

22

3.如图，在△被7中，ZABC=W°,切为4C的中线，过点。作血切于点£,过点力作切的平行线,

交龙的延长线于点凡在"'的延长线上截取尸6=如，连接8G、DF.

(1)求证：BD=DF；

(2)求证：四边形BDFG为菱形;

(3)若ZG=13,CF=6,求四边形即心的周长.

'：AG//BD,BD=FG,

：.四边形跖叨是平行四边形，

,/CFLBD,

：.CFVAG,

又：点。是4c中点，

：.DF=^AC,

：.BD=DF；

(2)证明："：BD=DF,

二四边形宛叨是菱形，

(3)解：设/x,则仍=13-x,AC=2x,

:在RW6F中，ZCK4=90°,

工球+C#=A*即(13-x)2+62=(2x)2,

解得：x=5,

二四边形的周长=4劭=20.

4.在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1,四边形屈力是正方形，点£是边比'的中点，

/幽占90°,且厮交正方形外角平分线CF于点自请你探究四与班存在怎样的数量关系，并证明你的

结论正确.

经过探究，小明得出的结论是但既而要证明结论但愿就需要证明熊和跖所在的两个三角形全等,

但△上和△斯显然不全等(一个是直角三角形，一个是钝角三角形)，考虑到点后是边死的中点，小明

想到的方法是如图2,取四的中点区连接防证明△侬丝△所K.从而得到止;阮

请你参考小明的方法解决下列问题：

(1)如图3,若把条件“点E是边比的中点”改为“点£是边死上的任意一点“，其余条件不变，证明

结论从三炉仍然成立.

(2)如图4,若把条件“点£是边宛的中点”改为：“点£是边正延长线上的一点”其余条件仍不变,

那么结论但跖是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由.

图3图4

【答案】(1)证明：如图2,在池上取点八连接跖使加』

图3

•.•四边形侬》是正方形，

：.AB=BC,NB=NBCD=9Q。,

"：AP=EC,

：.BP=BE,

：.ABPE=^a,N/咫-135°,

•••切是正方形外角的平分线，

.,.N£gl35°,

VZ.AEF=^°,Z5=90",

：.^BAE=ZCEF,

在△月伤和△心尸中，

"ZPAE=ZCEF

<PA=EC,

,ZAPE=ZECF

:ZA跆ACEF,

：.AE=EF；

(2)证明：延长班至H,使A/f=CE,连接的

H

图4

'：BA=BC,AH=CE,

.".ZJ¥=45",

是正方形外角的平分线，

：.4H=4ECF,

"：ZAEF=90°,Z^=90",NHAE=N吩NBEA,NCEF=NAEA/BEA,

：.4HAE=4CEF,

在△必超和△砂'中，

，ZHAE=ZCEF

-AH=CE,

ZH=ZECF

...△胡巫△侬

：.AE=EF.

5.如图，在Rt△胸中，Zr=90°,AC=2,ZAffC=30°,点0为Rt△的内一点，连接4。.BO.CO,

且//仍=/。d=/眄1=：120。.以点8为旋转中心，将4//绕点6顺时针方向旋转60°,得到4/0'

B,连接仇/,求：

(1)ZOBO'的度数；

(2)0A+网0C的长.

【答案】解：（1）•.•将必绕点方顺时针方向旋转60°,得到△/0'8（得到。的对应点为点。）,

：.NOBO'=60"；

（2）-：^€=90°,AC=2,ZABC=3Q0,

：.BA=4,

22=2

BC=VAB-ACV3>

•将△”®绕点6顺时针方向旋转60°,得到0'夕（得到/、。的对应点分别为点H、0'）,

：.OA=O'A',BO=BO',BA'=坳=4,NOBO'=NABA,=60°,

.♦.NHBC=NCBA+NABA'=30°+60°=90°,

'：BO=BO',ZOBO'=^ABA'=60"

：./\BOO'为等边三角形，

：.OO'=BO,NBOO'=NBO'f2=60°,

而N及解=120°,

：.^COO'=Z.BOOZ.BOO'=60°+120°=180°,

...点O'在直线CO上，

同理可得点0、O'、/共线，

：.A'C=OC+OO'+0'A'=0&0B^0A,

■:NCBA'=90",

27

二"^VBC+BA2~2V7«

即出+明第=2折.

6.如图，四边形幽功为菱形，〃为比'上一点，连接阴交对角线即于点G,并且/府仁2N54区

(1)求证：AG=BG；

(2)若点〃为况1的中点，同时位例=1,求三角形泌的面积.

【答案】(1)证明：•.•四边形屈力是菱形,

,.NABD=NCBD,

：4ABM=24BAM,

NABD=NBAM,

\AG=BG；

(2)解：-：AD//BC,

,.△ADGSXMBG,

•AG=AD

•前一丽’

:点、M为死的中点,

.AD=9

"BM'

2=(AD)2=4

SABMGBM

,•*S^an;=1>

••S4Hxi=4.

7.如图，在。ABCD中,AC=8,BD=\2,点反产在对角线加上，点£从点8出发以1个单位每秒的速度

向点〃运动，同时点厂从点。出发以相同速度向点8运动，到端点时运动停止，运动时间为t秒.

(1)求证：四边形侬万为平行四边形.

(2)求才为何值时，四边形为矩形.

D

【答案】证明：在。ABCD中,

'：AD//BC,AD=BC,

：.NEBC=ZADF,

由题意知，BE=DF,

在△班C与△〃必中，

'BE=DF

<ZEBC=ZFDC.

BC=AD

:.△BEM4DFA(OS),

二CE=AF,

同理可得：AE=CF,

.•.四边形侬尸为平行四边形；

(2)当2=2或2=10时以点儿C,E,尸为顶点的四边形为矩形；

理由：由矩形的性质知0E=0F、OA=OC,要使/的是直角，只需0E=0X0A=5AC=4cm.

则N1=N2,Z3=Z4,

•；N1+N2+N3+N4=18O°,

...2/2+2/3=180°,

r.Z2+Z3=90°

即NM1F=9O°.

此时班=加一《(BD-E玲=4(12-8)=2cm戢BE=DF=\2-2=\0cm

8.如图，点〃是等腰Rt△侬?内一点，N4龙=90。，将△曲绕点。按逆时针方向旋转90°得△绝BD

延长线与四相交于点"

(1)如图1,求证：BHVAE-,

(2)如图2,连接物、DE,当乙眦=108°,N4厉=153°时，试判断唐的形状，并说明理由.

A

【答案】解：(1)・・•将△物绕点。按逆时针方向旋转90°得△口及

"EAC=/CBD、

VZCB^Z2=90°,

VZ2=Z1,

.♦.N网■Nl=90°,

•IN的/Nl=90°,

：.ZAHB=90°,

：.BHVAEx

(2)△地应是等腰三角形，

理由：YCD=DE,N戊力=90°,

.・•△以力是等腰直角三角形，

:・/EDC=45°,

・・.N£C0=45°+108°=153°,

:.4ADB=4EDB,

VNADB=4AHA/HAD,

NEDB=4DH吩NAED,

"DAH=4AED,

•••△侬是等腰三角形.

9.在菱形被力中，点。是对角线的交点，£点是边切的中点，点尸在死延长线上，且CF=^BC.

(1)求证：四边形比如是平行四边形；

(2)连接用如果DF工CF,请你写出图中所有的等边三角形.

【答案】(1)证明：・・,四边形极力是菱形,

：.BO=DO,

点是边切的中点，

二龙是△戚的中位线，

：.0E〃BCnOE=—BC,

2

'：CF=—BC,

2

：.OE=CF,

'：OE//CF,

：.四边形况?若是平行四边形；

(2)解：,:DFXXF,£点是边切的中点，

二密轴，

..•但匆，

CP=^C=^CD,

二△反万为等边三角形；

•；四边形欧F是平行四边形，

：.OC=EF=CE=CF=OE,

.•.△仇若为等边三角形；

为等边三角形，

，N£g60°,

：./LABC=^°,

•.•四边形被力是菱形，

二△放为等边三角形；

同理得为等边三角形；

.•.图中的等边三角形有：XOCE,AECF,XABC、XADC

10.如图，以△胸的各边，在边宽的同侧分别作三个正方形板/,BCFE,ACHG.

(1)求证：△及松△9C；

(2)求证：四边形NG是平行四边形.

(3)直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△放满足什么条件时，四边形侬1G是矩形？

②当△被7满足什么条件时，四边形是正方形？

E

RC

【答案】(1)证明：♦.•四边形板/、四边形BCFE、四边形/颂都是正方形，

：.AC=AG,AB=BD,BC=BE,NGAC=4EBC=NDBA=9Q°.

:.NABC=NEBD(同为AEBA的余角).

在△核和△物C中，

'BD=BA

<ZDBE=ZABC.

BE=BC

：.XBD昭ABAC(SAS'),

(2)二XBD曜ABAC,

：.DE=AC=AG,4BAC=4BDE.

是正方形板/的对角线，

:.NBDA=NBAD=45°.

■:NEDA=NBDE-NBDA=NBDE-45°,

Z244^360°-Z.GAC-ZBAC-ZBAD

=360--900-ZBAC-45"

=225°-ZBAC

：.ZEDA+ZDAG=ZBDE-45°+225°-ZBAC=18O°

：.DE//AG,

二四边形血！跖是平行四边形(一组对边平行且相等).

(3)①当四边形物跖是矩形时，N%G=90。.

则/物g360°-/LBAD-/LDAG-AGAC=^°-45°-90°-90°=135°,

即当N为8135°时，平行四边形儿蛇是矩形；

②当四边形加(跖是正方形时，NZMG=90。，且

由①知，当N%G=90°时，N^r=135°.

•.•四边形板/是正方形，

：.AD=42AB.

又•.•四边形/碗是正方形，

：.AC=AG,

：.AC=y[2AB.

...当N班8135°且〃^扬5时，四边形血如是正方形.

11.如图，E,厂是正方形被力的对角线4c上的两点，且但CF.

(1)求证：四边形应加是菱形；

(2)若正方形边长为3,AE=1,求菱形应加的面积.

D.

【答案】解：(1)证明：•.•四边形眼力是正方形,

J.AD//BC,AD=BC,

：.4DAC=4BCA,

"：AE=CF,

:.XAD昭XCBF(SAS),

：.DE=BF,

同理力占阳

二四边形她户是平行四边形，

ZACB=ZACD=45°,BC=DC,CF=CF,

：./\BCF^/\DCF(必S),

：.DF=BF,

.•.平行四边形应加'是菱形.

(2)连接班，如图所示：

;正方形ABCD的边长为3,

：.AC=BD,N腕=90。,AB=AD=3,

在Rt△腕中，^VAB2+BC2=3V2

:.BD=3扇

'：AE=CF=\,

:.S想2=容>EF=/X34^X(3&-1-1)=9-3V2-

12.如图，在矩形被切中，过被的中点0作&<1切，分别与相、切交于点反F.连接应、BF.

(1)求证：四边形阻户是菱形；

(2)若〃是初中点，联结W与血交于点MAD=OM=4,则的长是多少？

【答案】(1)证明：•.•四边形用力是矩形，

：.AB//CD,

：.NDFO=ZBEO,

•：NDOF=NEOB,OD=OB,

：./\DOF^/\BOE(A45),

：.DF=BE,

：.四边形应如是平行四边形，

,：EFLBD,

二四边形阻户是菱形.

(2)解：'：DM^AM,DO=OB,

：.OM//AB,AB=2OM=8,

：.DN=EN,ON=^BE,设DE=EB=x,

在中，则有/=42+(8-x)2,

解得x=5,

R

二0N=—.

2

13.如图，在四边形侬》中，AD//BC,NL=90。，BC=CD,HE,尸分别在边比；CD上,

且BE=DF=AD,AF与比1交于点G.

(1)求证：AB=BF.

(2)当四=5&，AD=2屈,求少的长.

【答案】解：(1)证明：

■:BC=CD,BE=DF,

：.CF=CE,

在△比尸与△以方中，

'CF=CE

<ZC=ZC=90°.

BC=DC

：.^BCF^^DCE,

：.BF=DE,

'：AD//BC,BE=AD,

：.四边形池即是平行四边形；

'.AB=DE,

：.AB=BF.

(2)由(1)可得奶=丝=5如，设EC=FC=x,

在Rt△龙C中，由勾股定理可得/+(户2娓)2=(5&)2,

解得：

延长"4交比延长线于点〃,

、：ADHBC,

：.ZA=/H,

9：AD=DF,

・・.N1=N2,

VZ2=Z3,

:•43=4H,

：.FC=CH9

,:EH=2x=20

：.AD=EH,

AD//BC,

：.DG=EG,

14.如图，在平行四边形极力中，连接Z0.过D点作DE上AB于点E,过班上一点F作FGLAP于点G,

交应于点尸；过户作加施于点，，连接敬

(1)若DE=6,DC=1Q92y5，求庞的长.

(2)若AE=PE,求证：D/fi-HF=yj2EH.

22=

・•・AE=7AD-DEV40-36=2，

V四边形侬?是平行四边形，

:.AB=CD=\O,

:.BE=AB-AE=8,

(2)方法一：如图，过尽E作EMLHE,交阳的延长线于点M连接仍GE,DF,

■:AE=PE,且血1典

:・NPAE=NAPE=45°,

VZAGP=ZAEP=9Q°,

，点4点E,点P,点G四点共圆，

：.ZPGE=ZPAE=45°,

•：ZDGF=/DEF=90。,

・・・点〃，GH,点瓦点产四点共圆，

:./EDF=NPGE=45°,

•IN曲4N加F=45°,

：.DE=EF.

.：/DHF=/DEF=gy,

・♦・点〃，点区点E点，四点共圆，

AZDFE=ZDHE=45°,ZEDF=ZEHF=45°,且EMLEH,

:.NM=/EHF=铉。,

：.EH=EM,

：.HM=42EH,

・・・/颂=/庞胪=90°,

工NDEH=/FEM,且/丽=/445°,DE=EF,

:.XDEgRFEM(AA0

:.DH=MF,

：.DlhHF=MF^HF=HM=42EH.

方法二：VNAED=NDGP=/PEF=90。,/DPG=Z.EPF,

：./ADE=NPFE,

:.△AD3XPFE(A45),

:・DE=EF,

延长切到Q使DQ=FH,

■:FHLBD,

:./ED济/DBE=/HFB^NHBF=90°,

:./EPB=/HFB,

："QDE=/HFE,

:ZQ咯4EFH(SAC,

："QED=/HEF,QE=EH,

:./QEH=/DEB=gy,

・・・△网是等腰直角三角形，

工QH=®EH,

:・D杀FH=y[^H.

2-

D

'E\/F0

•.z

M：/

15.如图，在正方形屈力中，等边△曲1的顶点反尸分别在死和龙上.

(1)求证：XABE^XADF；

(2)若等边即的周长为6,求正方形侬刀的边长.

【答案】(1)证明：I•四边形被笫是正方形，

：.AB=