2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第一章 二元一次方程组（单元重点综合测试）（解析版）

第一章二元一次方程组（单元重点综合测试）（考试时间：120分钟；满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题3分）（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个未知数的最高次数都是1的整式方程组是二元一次方程组，正确掌握二元一次方程组的定义的三要点：（1）共有两个未知数；（2）未知数的项最高次数都应是一次；（3）都是整式方程，是解题的关键．2．（本题3分）（2023上·陕西榆林·八年级校考阶段练习）已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】D【分析】此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程．把代入方程，得到一个含有未知数m的一元一次方程，从而可以求出m的值．【详解】解：把代入二元一次方程，得，解得：，故选：D3．（本题3分）（2023下·四川眉山·七年级校考期中）二元一次方程组的解是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二元一次方程组的解，知道二元一次方程组的解是两个方程的公共解是解题的关键．根据方程组的解法进行解答即可得出答案．【详解】解：①＋②，得：，解得：，把代入①，得：，∴方程组的解是．故选：B．4．（本题3分）（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）已知，满足方程组，则的值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】C【分析】此题考查了解二元一次方程组．方程组两方程相加，再整理即可求出的值．【详解】解：，得：，∴，即，故选：C．5．（本题3分）（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可．【详解】解；设木头长为x尺，绳子长为y尺，由题意得，，故选A．6．（本题3分）（2023下·甘肃天水·七年级校考期末）已知，则、的值分别是()A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本题考查了非负数的性质及解二元一次方程组，先根据非负数的性质得到关于、的二元一次方程，再用加减消元法或代入消元法求出未知数的值，求出，的值即可，根据非负数的性质得出方程组是解答此题的关键．【详解】∵，∴，解得：，故选：．7．（本题3分）（2023上·广西南宁·七年级统考期中）将4个完全相同的小长方形分别放入两个形状大小完全相同的长方形中，两个大长方形未被覆盖部分分别是图（1）和图（2）的阴影部分，如果大长方形的长为，则图（1）与图（2）的阴影部分周长之差是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了列代数式、整式的加减的应用，设小长方形的长为，宽为，由图（1）可得，解得，继而根据周长公式求出两个阴影部分的周长，从而得出答案，正确列出代数式是解此题的关键．【详解】解：设小长方形的长为，宽为，由图（1）可得，解得：，两个大长方形的形状大小相同，大长方形长为，宽为，图（1）阴影部分的周长为，图（2）阴影部分的周长为，周长差为：，故选：C．8．（本题3分）（2023下·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）若方程组与有相同的解，则a、b的值为（

）A．2，3 B．3，2 C．2，－1 D．－1，2【答案】B【分析】先求出的解，再代入，解关于a和b的方程组即可．【详解】解：，将得：，将代入①得：，∴该方程组的解为，由题意，的解也是，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了同解方程组的问题，解题关键是先求出方程组的解，再代入含字母的两个方程组成的方程组中求出字母的值即可．9．（本题3分）（2023上·四川达州·八年级校考期末）两位同学在解方程组时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得，则a、b、c正确的值应为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键是理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a，b，c的值，即可求出所求．【详解】解：解：把代入方程组得：，把代入得：，联立得：，解得：，由，得到，故选：C．10．（本题3分）（2022下·浙江宁波·七年级校联考期中）已知关于x，y的方程组的解为，则关于方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将方程组变形，结合题意得出，即可求出x，y的值．【详解】解：方程组变形为，设则，和的方程组的解是，∴，，解得，故A正确．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（本题3分）（2022上·湖南永州·七年级校考阶段练习）把方程化成用y的代数式表示x的形式．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的变形，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】∵，∴，∴，故答案为：．12．（本题3分）（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若关于，的方程是二元一次方程，则.【答案】2【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，据此解答即可．【详解】解：根据题意得：，解得．故答案为：．13．（本题3分）（2023上·安徽宿州·八年级统考阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是，其中y的值被墨汁盖住了，则b的值是．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解；先把代入求出y的值，再把x，y的值代入即可求出b．【详解】解：把代入得：，解得：，把，代入得：，解得：，故答案为：．14．（本题3分）（2023上·山东济南·八年级统考期中）已知关于x，y的方程组的解满足，则a的值为．【答案】4【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，再由，得到，解之即可得到答案．【详解】解：得：，∵，∴，解得：，故答案为：4．15．（本题3分）（2023上·四川达州·八年级校考期末）当方程组解是正整数时，整数值为．【答案】1或【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答此题的关键，根据为正整数，为整数，求出的值是解答此题的难点．对于方程组，得，根据为正整数，为整数可得出的值．【详解】解：对于方程组，得：．原方程组的解为：，∵为正整数，∴、为正整数，则、；又∵为整数，或1，综上所述：整数的值为1或，故答案为：1或．16．（本题3分）（2023上·河南郑州·八年级校考期中）上学年初一某班的学生都是两人一桌，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的．本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多．设上学年该班有男生x人，女生y人，则列方程组为．【答案】【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据本学年该班新转入4个男生后，男女生刚好一样多，其中男生与女生同桌，这些女生占全班女生的，可以列出相应的方程组．【详解】解：由题意可得，，故答案为：．17．（本题3分）（2023上·黑龙江绥化·七年级统考期末）中国瓷器以其精湛的工艺和精美的图案享誉世界．某瓷器厂一车间有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯．1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排名工人加工茶壶．【答案】6【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组求解即可.【详解】解：设名工人加工茶杯，名工人加工茶壶，根据题意得：，解得：，故8名工人加工茶杯，6名工人加工茶壶．故答案为：6．18．（本题3分）（2023上·重庆·八年级四川外国语大学附属外国语学校校考期中）若一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且千位数字的5倍等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“谦和数”．例如：四位数是“谦和数”．又如四位数不是“谦和数”．若四位数为“谦和数”，则．若“谦和数”（其中为偶数），将“谦和数”的十位数字与个位数字放到千位数字与百位数字之前，组成一个新的四位数，规定．若能被11整除，且能被3整除，则的最大值为．【答案】【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被整除，再分类讨论即可．清晰的分类讨论是解本题的关键．【详解】解：∵四位数为“谦和数”，∴，解得；∵是“谦和数”，∴，，∴，又∵新的四位数，∴，∴，∴能被11整除，又∵能被3整除，∴能被3整除，当时，或，由于是偶数，不符合题意；当时，，由于是偶数，不符合题意；当时，或，由于是偶数，不符合题意；当时，或，由于是偶数，不符合题意；当时，，由于是偶数，不符合题意；当时，（舍去）或，这时，而不能被3整除，不符合题意；当时，（舍去）或，这时，能被3整除，即b最大为，c为，∴的最大值为，故答案为：；．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）（2023下·四川德阳·七年级统考期中）解方程组：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组，步骤的完整性是解题关键．（1）运用加减消元法解答即可；（2）运用加减消元法解答即可【详解】（1），得，，把代入得，∴此方程组的解；（2）原方程组可化为：，得，把代入得，∴此方程组的解．20．（本题6分）（2023下·贵州黔东南·七年级校考阶段练习）若关于，的方程组的解，互为相反数，求的值【答案】【分析】根据已知条件，互为相反数知，然后将代入原方程组，转变为二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：，互为相反数，，即，将代入原方程组，，整理可得，，得，，即，将代入②得，．21．（本题8分）（2023下·福建泉州·七年级统考期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形，求每个小长方形的面积．

图1

图2【答案】【分析】设每个小长方形的长为，宽为，根据题意列二元一次方程组求解即可．【详解】解：由中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形其边长为，设每个小长方形的长为，宽为，根据题意得：，解得：，．答：每个小长方形面积为．22．（本题8分）（2023下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）关于x的代数式，当时，其值为；当时，其值为3；当时，其值为35；(1)求a，b，c的值(2)当时，求代数式的值．【答案】(1)，，(2)16【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的三元一次方程组，进行计算即可解答；（2）根据（1）中算出的a，b，c，得到代数式，然后令代入计算即可．【详解】（1）解：由题意得：，得：，得：，得：，得：，解得：，把代入④得：，解得：，把，代入①得：，解得：，∴原方程组的解为：，（2）当时，，∴的值为16．23．（本题9分）（2022下·陕西商洛·七年级校考阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的a，解得，果果看错了方程②中的b，解得，求的值．【答案】0【分析】把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代数式的值即可．【详解】解：甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，把代入②，得，解得：，把代入①，得，解得：，．24．（本题9分）（2023上·河南平顶山·八年级校联考阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元；购进辆型新能源汽车、辆型新能源汽车共需万元．(1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利万元，销售辆型汽车可获利万元．假如这些新能源汽车全部售出，问该公司的共有几种购买方案？最大利润是多少万元？【答案】(1)种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元；(2)该公司共有四种购买方案，最大利润是万元．【分析】（）设种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元，根据题意列出方程组即可；（）设购买辆种型号的新能源汽车，辆种型号的新能源汽车，根据题意得，由，均为正整数，求出，的值即可；此题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．【详解】（1）设种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元，根据题意得：，解得：，答：种型号的新能源汽车每辆进价为万元，种型号的新能源汽车每辆进价为万元；（2）设购买辆种型号的新能源汽车，辆种型号的新能源汽车，根据题意得：，∴，∵，均为正整数，∴或或或，∴该公司共有四种购买方案．当，时，获得的利润为（万元）；当，时，获得的利润为（万元）；当，时，获得的利润为（万元）；当，时，获得的利润为（万元）．∵．∴最大利润是万元．25．（本题10分）（2022下·北京怀柔·七年级校考期末）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．(1)填空：将写成矩阵形式为：；(2)若矩阵所对应的方程组的解为，求a与b的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为：，按照定义即可写出矩阵；（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解代入方程组，解得系数a、b．【详解】（1）解：整理方程得，，因此矩阵形式为：