2023-2024学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）第三章 因式分解（知识归纳+题型突破）（原卷版）

第三章因式分解（知识归纳+题型突破）1、了解平方差公式、完全平方公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理．2、能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）．1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。2、常用的因式分解方法：（1）提取公因式法：（2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。（5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：3、因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法。题型一多项式的因式分解【例1】（判断是否是因式分解）（2024上·广东东莞·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【例2】（公因式）（2023上·全国·八年级课堂例题）（1）多项式的公因式是；（2）多项式的公因式是；（3）多项式的公因式是；（4）多项式的公因式是．【例3】（已知因式分解的结果求参数）（2024上·北京东城·八年级北京二中校联考期中）【例题讲解】因式分解：．∵为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即，展开等式右边得：，∴恒成立．∴等号左右两边的同类项的系数应相等，即，解得，∴．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】(1)若，则__________；(2)若有一个因式是，求k的值及另一个因式．巩固训练：1．（2023下·全国·八年级假期作业）下列式子从左到右的变形中，是因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·新疆哈密·八年级期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．3．（2023上·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考期中）下列变形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．4．（2024上·安徽芜湖·八年级统考期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（

）A． B． C． D．45．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）将多项式进行因式分解得到，则分别是（

）A． B．C． D．6．（2017上·福建泉州·八年级泉州第十六中学校考期中）若多项式可分解为，则a+b的值为（）A．2 B．1 C． D．7．（2024下·全国·七年级假期作业）若多项式可以分解为，则的值是（

）A． B．4 C．10 D．8．（2023上·甘肃金昌·八年级统考期末）分解因式时，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．9．（2023上·全国·八年级专题练习）多项式的公因式是（）A． B． C． D．10．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）已知二次三项式有一个因式是，则的值为.11．（2023下·全国·八年级假期作业）（1）多项式中，各项的公因式是；（2）多项式中，各项的公因式是．12．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）多项式的公因式为．13．（2023上·全国·八年级专题练习）多项式的公因式是．14．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）完成下面各题(1)若二次三项式可分解为，则______；(2)若二次三项式可分解为，则______；______；(3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．题型二提公因式法【例1】（2023上·八年级课时练习）因式分解：（1）；（2）；（3）．【例2】（2023下·贵州贵阳·八年级校考期中）利用因式分解可以简便计算：分解正确的是(

)A． B．C． D．【例3】（2022上·八年级单元测试）已知，那么的值为（）A． B． C． D．【例4】（2023上·福建莆田·八年级校考阶段练习）观察等式：；；；……已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，，若，用含的式子表示这组数据的和是（

）A． B． C． D．巩固训练1．（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）把多项式，提取公因式后，余下的部分是（

）A． B． C． D．2．（2023下·全国·八年级假期作业）多项式因式分解的结果是（

）A． B． C． D．3．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）等于（

）A． B． C． D．4．（2023上·四川内江·八年级统考期中）已知实数m满足，则代数式的值为（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20255．（2023上·全国·八年级专题练习）若，则A为（）A． B． C． D．6．（2018下·七年级单元测试）计算(-2)1999+(-2)2000等于(

)A．-23999 B．-2 C．-21999 D．219997．（2021下·河北邢台·七年级统考期末）已知，那么代数式的值是（

）A．2000 B．－2000 C．2001 D．－20018．（2022上·湖北十堰·八年级统考期末）已知，则的值是(

)A．0 B．1 C．－1 D．29．（2023下·河北石家庄·七年级校考阶段练习）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：．（1）上述分解因数的方法是，其应用了次；（2）若分解，则需应用上述方法次，结果是．10．（2023下·全国·八年级假期作业）已知，求的值．11．（2023上·全国·八年级专题练习）把下列各式进行因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．12．（2023上·四川宜宾·八年级校联考期中）化简求值：，其中13．（2023上·八年级课时练习）将下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．题型三公式法【例1】（判断能否用公式法分解因式）（2023上·山东青岛·八年级统考期中）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（

）A． B． C． D．【例2】（综合运用提公因式法、公式法分解因式）（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）因式分解(1)(2)(3)(4)【例3】（因式分解在简算中的运用）（2023上·全国·八年级专题练习）利用乘法公式简便计算．(1)(2)【例4】（公式法在数字变化规律问题中的应用）（2023上·广东广州·八年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）计算：．巩固训练1．（2023上·山东德州·八年级校考阶段练习）下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）（1）（2）（3）（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）要使多项式能运用平方差公式进行分解因式，整式可以是（

）A．1 B． C． D．4．（2023上·山东济南·八年级统考期中）若能用完全平方公式因式分解，则的值为（

）A． B． C．或11 D．13或5．（2024上·福建厦门·八年级统考期末）分解因式：（1）；（2）；（3）．6．（2023·江苏南通·统考二模）若，，则．7．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）计算：．8．（2023上·福建厦门·八年级厦门双十中学校考期末）已知，，则的值是．9．（2023上·全国·八年级课堂例题）已知，，则的值是．10．（2023上·全国·八年级课堂例题）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．11．（2023下·全国·八年级假期作业）因式分解：(1)（2a-1）（a＋1）-7（a＋1）；(2)；(3)；(4)；(5)．12．（2023下·全国·八年级假期作业）把下列各式因式分解：(1)(2)13．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）（1）因式分解：；（2）利用因式分解计算：．14．（2023上·山东东营·八年级校考期中）分解因式(1)；(2)．（用简便方法计算）15．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）利用乘法公式计算：．16．（2023上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）简便计算：(1)；(2)．17．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算．例1：；例2：．(1)；(2)．题型四十字相乘法【例1】（2024上·北京东城·八年级统考期末）利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：；(2)用十字相乘法分解因式：；(3)结合本题知识，分解因式：．【例2】（2019下·浙江宁波·七年级统考期中）【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1xc1a2xc2a1a2x2a1c2xa2c1xc1c2a1ax2a1c2a2c1xc1c2．反过来，就得到：．我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1，a2，c1，c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1xc1a2xc2，其中a1，c1位于图的上一行，a2，c2位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2=－1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x2)(x3)．请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：=．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）=；（2）=．【探究与拓展】对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mqnpb，pkqje，mknjd，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=mxpyjnxqyk，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式=；（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．巩固训练1．（2023上·上海浦东新·七年级校联考期末）分解因式：．2．（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：材料将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．(1)根据材料，把分解因式．(2)结合材料和材料，完成下面小题：①分解因式：；②分解因式：．3．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考：型式子的因式分解型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢?在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得

①利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得.上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）.这样，我们也可以得到.利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：（1）分解因式：_____________；【知识应用】（2），则_________，_________；【拓展提升】（3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值.4．（2024上·北京西城·八年级校考期中）我们有公式：．反过来，就得到可以作为因式分解的公式：．如果有一个关于的二次项系数是1的二次三项式，它的常数项可以看作两个数与的积，而它的一次项的系数恰是与的和，它就可以分解为，也就是说：当，时，有．例如：；；；．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．解：设，则原式．(1)该同学因式分解的结果是否彻底？（填“是”或“否”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．(2)请你运用上述公式并模仿以上方法，尝试对多项式进行因式分解．5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由得，；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子分解因式．分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以．解：请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)分解因式：________；(2)分解因式：________；6．（2023上·上海青浦·七年级校考期中）用简便方法计算：．7．（2022下·贵州铜仁·七年级统考期中）(1)【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究与拓展】对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①

分解因式__________；②

若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．8．（2021下·陕西宝鸡·八年级统考期末）阅读下列材料：材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）²，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）²上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；①分解因式：（x﹣y）²﹣8（x﹣y）＋16；②分解因式：m（m﹣2）（m²﹣2m﹣2）﹣39．（2018上·湖南长沙·七年级统考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题：“十字相乘法”能将二次三项式分解因式，对于形如的关于，的二次三项式来说，方法的关键是将项系数分解成两个因数，的积，即，将项系数分解成两个因式，的积，即，并使正好等于项的系数，那么可以直接写成结果：例：分解因式：解：如图1，其中，，而所以而对于形如的关于，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．如图2．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，即第1、2列，第2、3列和第1、3列都满足十字相乘规则，则原式例：分解因式解：如图3，其中，，而，，所以请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：①．②．（2）若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．10．（2019上·江西南昌·八年级南昌大学附属中学校考期中）根据多项式乘法法则，因此，这种因式分解的方法称为十字相乘法，按照上面方法对下列式子进行因式分解（1）

（2）

（3）（4）

（5）题型五分组分解法【例1】（2023上·河北张家口·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：．②拆项法：例如：．仿照以上方法分解因式：(1)；(2)．(3)解决问题：已知、、、为的三边长，，且为等腰三角形，求的周长．【例2】（2023上·全国·八年级专题练习）阅读下列文字与例题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．①；②试用上述方法分解因式：(1)；(2)．【例3】（2023上·四川内江·八年级威远中学校校考期中）先阅读以下材料，然后解答问题：以上分解因式的方法称为分组分解法．(1)请用分组分解法分解因式：(2)拓展延伸①若，求x，y的值；②求当x、y分别为多少时，代数式有最小的值，最小的值是多少？巩固训练1．（2024上·湖北恩施·八年级统考期末）先阅读下面的材料，再完成后面的任务．材料一材料二如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组的方法来分解因式，这种因式分解的方法叫做分组分解法．例在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例进行因式分解的过程：设，原式(1)填空：因式分解_______；(2)因式分解（写出详细步骤）：；(3)若三边分别为a，b，c，其中，，判断的形状，并说明理由．2．（2023上·辽宁鞍山·八年级统考期中）阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)因式分解：；(2)已知，求的值．3．（2023上·全国·八年级课堂例题）（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状．（2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？4．（2023下·全国·七年级假期作业）观察下列因式分解的过程：①（分成两组）（直接提取公因式）；②（分成两组）（直接运用公式）．请仿照上述因式分解的方法，把下列各式因式分解：(1)；(2)．5．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）阅读与思考：因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，观察这个式子发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，其分解过程为：，这种因式分解的方法叫作“分组分解法”，根据以上方法，解答下列问题：(1)因式分解：；(2)已知，，求的值．6．（2023上·江西赣州·八年级统考阶段练习）通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程．甲：（先分成两组）．乙：（先分成两组）．两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解．(1)．(2)．7．（2023上·全国·八年级专题练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，过程为：这种方法叫分组分解法，利用这种方法分解因式：(1)；(2)．8．（2023上·全国·八年级专题练习）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：解法一：原式解法二：原式小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：(1)因式分解：；(2)因式分解：．9．（2023上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．例1：“两两分组”：

例2：“三一分组”：；

解：原式

解：原式

．

．归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：(1)①填空：解：原式＝____