第07讲二次函数与一元二次方程（知识解读真题演练课后巩固）（原卷版）3

第07讲二次函数与一元二次方程会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；经历探索验证二次函数与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题．知识点1二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数(a≠0)的图象与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：判别式二次函数一元二次方程图象与x轴的交点坐标根的情况△＞0抛物线与x轴交于，两点，且，此时称抛物线与x轴相交一元二次方程有两个不相等的实数根△＝0抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切一元二次方程有两个相等的实数根△＜0抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离一元二次方程在实数范围内无解（或称无实数根）注意：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定的.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线(a≠0)与y轴交点和二次函数与一次函数的交点问题．抛物线(a≠0)与y轴的交点是(0，c)．抛物线(a≠0)与一次函数(k≠0)的交点个数由方程组的解的个数决定．（1）当方程组有两组不同的解时两函数图象有两个交点；（2）当方程组有两组相同的解时两函数图象只有一个交点；（3）当方程组无解时两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题．注意：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题．知识点2：利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2.确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大致范围；3.在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的x值即是一元二次方的近似根．注意：求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根；(3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.知识点3：点抛物线与不等式的关系二次函数(a≠0)与一元二次不等式(a≠0)及(a≠0)之间的关系如下：【题型1：二次函数与x轴交点问题】【典例1】（2023•遵义三模）二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（）A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定【变式11】（2023•遵义三模）二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（）A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定【变式12】（2023•汝阳县一模）二次函数y＝ax2﹣4x+2的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3【变式13】（2023•雨山区校级一模）若函数y＝（a﹣1）x2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴有且只有一个交点，那么a满足（）A．a＝且a≠1 B．a＝ C．a＝1 D．a＝或a＝1【典例2】（2023•河西区二模）抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴的交点坐标为（）A．（0，3） B．（2，0） C．（1，0）和（3，0） D．（﹣1，0）和（﹣3，0）【变式21】（2022秋•东丽区期末）二次函数y＝2x2﹣8x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（﹣1，0），则另一个交点坐标为（）A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（5，0） D．（9，0）【变式22】（2022秋•太和县期末）若二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，则点B的坐标是（）A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）【题型2:图像法确定一元二次方程的根】【典例3】（2022秋•即墨区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：x3.233.243.253.26y﹣0.06﹣0.08﹣0.030.09判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【变式31】（2022秋•夏津县期中）如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（）x……22.12.22.32.4……y……﹣1﹣0.390.240.891.56……A．﹣4 B．2.2 C．﹣4.2 D．﹣4.3【变式32】（2022秋•荆门期末）一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（）A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2 C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2【题型3：已知函数值y求X的取值范围】【典例4】（2022秋•西湖区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…188202…则当y＞8时，x的取值范围是（）A．0＜x＜4 B．0＜x＜5 C．x＜0或x＞4 D．x＜0或x＞5【变式41】（2023•博兴县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…当y＜5时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4【变式42】（2023•阿瓦提县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．若y＜0，则x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＜﹣1 C．﹣1＜x＜1 D．x＜﹣1或x＞3【变式43】（2022秋•西岗区校级期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c≥0的解集是（）A．1＜x＜5 B．x≤5 C．﹣1≤x≤5 D．x＜﹣1或x＞5【题型4：二次函数与不等式的关系】【典例5】（2023•邹城市一模）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2＞y1时，x的取值范围（）A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1【变式51】（2023春•苏州月考）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3【变式52】（2022秋•仙居县期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）两点，则不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范围是．【变式53】（2022秋•大兴区校级期末）某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）Z的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N，则当y1＜y2时，自变量x的取值范围是．【题型5:二次函数综合】【典例6】（2023•牡丹区二模）已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由．【变式61】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状；（3）已知点M为线段AB上方抛物线上的一个动点，请写出△ABM面积关系式，并求出当△ABM面积最大时点M的坐标．【变式62】如图，二次函数y＝（t﹣1）x2+（t+1）x+2（t≠1），x＝0与x＝3时的函数值相等，其图象与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点．（1）求二次函数的解析式．（2）在第一象限的抛物线上求点P，使得S△PBC最大．（3）点P是抛物线上x轴上方一点，若∠CAP＝45°，求P点坐标．1．（2021•铜仁市）已知直线y＝kx+2过一、二、三象限，则直线y＝kx+2与抛物线y＝x2﹣2x+3的交点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个2．（2023•武功县模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+x﹣5与y＝x2+（m+n）x﹣5（m＞0＞n）关于y轴对称，则抛物线y＝mx2+2nx+m与x轴的交点情况是（）A．没有或有一个交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．没有交点3．（2023•上虞区模拟）已知二次方程x2+bx+c＝0的两根为﹣1和5，则对于二次函数y＝x2+bx+c，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，函数的最大值是9 B．当x＝﹣2时，函数的最大值是9 C．当x＝2时，函数的最小值是﹣9 D．当x＝﹣2时，函数的最小值是﹣94．（2023•城中区三模）已知关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0无实数根，则抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2021•丽水模拟）根据下列表格中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，x6.176.186.196.20y＝ax2+bx+c﹣0.03﹣0.010.020.04判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围可能是（）A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．（2023•邵阳县二模）已知如图，平面直角坐标系中，一条直线y2与抛物线y1相交于、两点，求当y1＞y2时的x的取值范围是．7．（2023•泸县二模）已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是．8．（2022•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是．9．（2023•梧州一模）如图，直线y＝kx+h与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣2，m），B（6，n）两点，则关于x的不等式h＜ax2+（b﹣k）x+c的解集是．10．（2023•二道区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线y2＝kx（k＞0）交于点O和点A．若点A的横坐标是3，则﹣kx+2k＞ax2﹣2ax的解集为．1．（2023•汇川区三模）二次函数y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的图象与x轴的交点情况是（）A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定2．（2023•德城区三模）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（）x﹣2﹣101y0466A．抛物线的开口向下 B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0） C．抛物线的对称轴为直线x＝ D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为3．（2022秋•郸城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（）A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．54．（2023春•海淀区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞25．（2022秋•如皋市期末）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（）x…1.21.31.41.51.6…y…﹣1.16﹣0.71﹣0.240.250.76…A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4 C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.66．（2023秋•泉山区校级月考）y是x的二次函数，其对应值如下表：x…﹣101234…y…4m0149…下列叙述不正确的是（）A．该二次函数的图象的对称轴是直线x＝1 B．m＝1 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有两个公共点7．（2023秋•瑶海区校级期中）二次函数y＝x2+3x+n的图象与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．48．（2023秋•丛台区校级月考）抛物线y＝﹣（2x﹣1）（x+3）与x轴的两个交点之间的距离是（）A． B．2 C． D．49．（2023秋•海淀区校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，C．下列四个结论中，所有正确结论的序号是（）①抛物线开口向上；②当x＝﹣2时，y取最大值；③当m＜4时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝m必有两个不相等的实数根；④直线y＝kx+c经过点A，C，当kx+c＜ax2+bx+c时，x的取值范围是﹣4＜x＜0．A．③④ B．②③ C．②④ D．①②③④10．（2023春•仓山区校级期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝111．（2023秋•蒙城县月考）下列二次函数的图象与x轴没有交点的是（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2+x+1 C．y＝4x2+4x+1 D．12．（2023•长汀县模拟）已知抛物线y＝ax2+4ax+3与x轴交于（﹣1，0），（m，0），该函数在m﹣1≤x≤﹣a时，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣1，有最大值3 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值﹣3，有最大值4 D．有最小值﹣1，有最大值413．（2023•济南模拟）二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4 D．﹣5＜t≤414．（2022秋•肇源县期末）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（）A．﹣1≤x≤6 B．﹣1≤x＜6 C．﹣1＜x≤6 D．x≤﹣1或x≥615．（2023秋•岳麓区校级月考）已知抛物线y＝x2+2x+k﹣1与x轴有两个交