专题19二元一次方程组的特殊解法

专题19二元一次方程组的特殊解法【例题讲解】阅读下列材料：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令，．原方程组化为，解得，把代入，，得，解得．∴原方程组的解为．请你参考小明同学的做法解方程组：(1)(2)【详解】（1）令，，方程组变形为，解得，所以，解得∴原方程组的解为．（2）令原方程组化为解得，把代入得,解得·【综合解答】1．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用换元法，结合题意求出，从而得出，再解关于m、n的二元一次方程组即可．【详解】解：设，则，由题意得：，即，解得．故答案为：A【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．2．若关于，的方程组，解为．则关于，的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】已知方程组和x和y的解，将x和y代入可得到a1、b1、c1和a2、b2、c2两个等式的关系，再将此关系列为方程组反解出x和y即可．【详解】解：关于，的方程组，解为，关于，的方程组中，解得：，即第二个方程组的解是，故选A．【点睛】本题考查了方程组的运算，明白通过已知条件解出第一个方程组的关系，再通过第一个方程组的关系解出答案是本题的关键．3．若方程组的解是，则方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将变形为，再设3x+1=x’，2y=y’，列出方程组，再得其解即可．【详解】解：将变形为,设3x+1=x’，2y=y’，则原方程变形为：，因为方程组的解是，所以，解得：，所以方程组的解是，故选：A．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．4．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．【详解】解：由题意得，，．∴．故选：C．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义解决此题．5．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则关于m，n的方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】观察两个方程组，根据已知方程组的解可得，由此即可得．【详解】解：由题意得：，解得，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．6．若方程组的解是，则方程组的解为_________．【答案】.【分析】原方程组的解为，所以可以得到，而此方程可以化为,进一步可以得到，所以可以得到方程组的解为；【详解】方程组的解是把代入原方程组可得：即给上式方程组种的每个方程同乘3可得：方程组的解为；故答案是：；【点睛】本题主要考查利用换元法求解二元一次方程组，熟练的利用二元一次方程组的解进行换元变化是求解本题的关键.7．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是__．【答案】【分析】令x+y=a，xy=b，根据已知，比较后得出a，b的值，从而得出结论．【详解】解：令x+y=a，xy=b，则关于x、y的二元一次方程组变为：．∵二元一次方程组的解是，∴，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，关键是熟练掌握二元一次方程组的解法即代入消元法和加减消元法，本题要注意整体思想的运用．8．已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．【答案】【分析】由题意可得，即可求方程组的解．【详解】解：∵方程组的解是，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．9．方程组的解是，请你写出方程组的解______．【答案】【分析】仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可．【详解】解：方程组变形为，∵方程组的解为，∴，解得：，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．10．若方程组的解是，则方程组的解是_____．【答案】【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都乘以5，通过换元替代的方法来解决．【详解】解：将方程组的两个方程都乘以5得：，∵方程组的解是，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题是考查了解二元一次方程组，考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决，有一定的难度．11．关于x，y的方程组的解为，则①__________．②关于x，y的方程组的解为__________．【答案】

【分析】将已知解代入方程组中可得，将两式相加可得的值，将可得，与对比可得，解出即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，∴，∴，∴，∵，∴，解得，故答案为：；．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．12．三个同学对问题“若方程组，的解是求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________________．【答案】【分析】所求方程组变形后，根据已知方程组的解求出解即可．【详解】解：设m=x−1，n=y−2，∵方程组，的解是，∴的解是，∴，∴，故答案为．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，利用了换元的思想，弄清方程组解的意义是解本题的关键．13．三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．“提出各自的想法，甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7．通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．【答案】【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元替代的方法来解决．【详解】解：每个方程两边同时除以7得，，∵方程组和方程组的形式一样，∴，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，同时也考查了同学们的逻辑推理能力，需要通过类比来解决问题，有一定的难度．14．若关于x、y的方程组其中a、b、m为常数）的解为，则方程组的解为______．【答案】【分析】由原方程组的解及两方程组的特点知，、分别相当于原方程组中的x、y，据此列出方程组，解之可得．【详解】解：变形为，由题意知：由题意知，①+②，得：2x=6，x=3，①②，得：2y=10，y=5，故方程组的解为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二元一次方程组，解题的关键是得出两方程组的特点并据此得出关于x、y的方程组．15．已知关于x，y的方程组和是同解方程，则关于a，b的方程组的解是____________【答案】【分析】解得出，再结合题干可得出即可求出a、b的值．【详解】解：∵，∴，∴方程组的解为：，∵方程组，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握整体代入思想是解题的关键．16．阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为解得：．∴，∴原方程组的解为．(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．【详解】（1）∵方程组的解是，∴，解得：；（2）对于，令，则原方程组可化为，解得：，∴，解得：．【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．17．（1）解方程组．（2）直接写出方程组的解是______．【答案】（1）；（2）【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）仿照（1）中方程组的解确定出所求即可．【详解】解：（1），①②×2得：，解得：，把代入②得：，解得：，则方程组的解为；（2）根据（1）中方程组的解得：，解得：．故答案为：．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．18．甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；丙同学：先解方程组，再求的值．你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见解析【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，，得：，整理得：，代入得：，解得：，这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19．数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为：．(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设，，即可得，解方程组即可求解；（2）设，，则原方程组可化为，解方程组即可求解；（3）设，，则原方程组可化为，，根据的解为，可得，即有，则问题得解．【详解】（1）设，，则原方程组可化为，∵的解为，∴，解得，故答案为：；（2）设，，则原方程组可化为，解得，即有，解得，即：方程组的解为；（3）设，，则原方程组可化为，化简，得，∵关于x，y的二元一次方程组的解为，∴，即有，解得：，故方程组的解为：．【点睛】本题考查了用换元法解二元一次方程组的知识，紧密结合题目给出的示例，合理换元是解答本题的关键．20．阅读探索：知识累计：解方程组解：设，，原方程组可变为解方程组得：，即，解得．所以此种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：(2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据换元法设，，进行求解计算即可；（2）根据换元法设进行求解计算即可．【详解】（1）解：设，，原方程组可变为：解得：即解得：（2）解：设可得解得：．【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．21．已知方程组，求的值．小明凑出“”，虽然问题获得解决，但他觉得凑数字很辛苦！他问数学老师丁老师有没有不用凑数字的方法，丁老师提示道：假设，对照方程两边各项的系数可列出方程组它的解就是你凑的数！(1)根据丁老师的提示，已知方程组，求的值．(2)已知，且，当为时，为定值，此定值是．（直接写出结果）【答案】(1)7(2)2，8【分析】（1）仿照样例进行解答便可；（2）仿照样例进行解答．【详解】（1）解：假设2x+5y+8z＝m•（x+2y+3z）+n•（4x+3y+2z），对照方程两边各项的系数可列出方程组解得，∴，∴．（2）设8a+3b﹣2c＝m（2a﹣b+kc）+n（a+3b+2c），，∴，∴8a+3b﹣2＝3×4+2×（﹣2）＝8．故答案为：﹣2；8．【点睛】本题主要考查了方程组的解法，求代数式的值，关键读懂样例的解题方法．22．知识积累：解方程组．解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：．(2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照原题提供的思路，利用换元法进行计算即可解答；（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答．【详解】（1）解：设1＝x，2＝y，∴原方程组可变为：，解这个方程组得：，，所以：；（2）解：设，可得：，解得：．故答案为：【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键．23．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．【方法引领】用换元法解方程组：．分析：由于方程组中含有式子