专题08相似图形（3个知识点3种题型1个中考考点）

专题08相似图形（3个知识点3种题型1个中考考点）【目录】倍速学习三种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.相似图形知识点2.相似三角形（难点）知识点3.相似多边形（重点）【方法二】实例探索法题型1.相似三角形性质的应用题型2.相似多边形性质的应用题型3.相似多边形的判定【方法三】成果评定法【学习目标】了解形状相同的图形是相似图形，能在诸多图形中找出相似的图形。了解相似三角形，相似多边形，相似比的概念。会根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似，并会运用相似多边形的性质进行相关的计算。【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.相似图形相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．重点剖析：相似图形不仅有平面图形，还有立体图形，在初中阶段主要研究平面图形的相似。在两个大小不相等的相似图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形经过放大而成的，也可以认为小的图形是由大的图形经过缩小而成的。学法指导：两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关。【例1】下列给出的图形中，不是相似形的是（ ）（A）由同一张底片印出来大小不同的照片（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像（D）五星红旗上的大五角星和小五角星【答案】C【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同．知识点2.相似三角形（难点）定义三角分别相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。如图：在ABC和DEF中，相似三角形的“三性”：对应性、顺序性、传递性【例2】下列能够相似的一组三角形为().

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.知识点3.相似多边形（重点）1.相似多边形的定义：各角分别对应相等；各边对应成比例的两个多边形是相似多边形。如果五边形ABCDEG与五边形相似，记住五边形ABCDEG五边形数学表达式：如图：“”读作“相似于”2相似比：相似多边形对应边之比叫做相似比注意！！！判断两个多边形是否相似时，既要考虑对应角是否相等，又要考虑对应边长度的比是否相等，二者缺一不可。学法指导：在判断两个多边形是否为相似多边形时，边数相同、角分别相等容易判断，而边是否成比例则需要通过计算来确定，即分别计算长边与长边的比，短边与短边的比，在判断时应注意对应关系。【例3】下列各组四边形中是相似多边形的是（ ）（A）一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形（B）有一个内角为的两个菱形（C）边长分别为厘米和厘米的两个菱形（D）两个高相等的等腰梯形【答案】B【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比例，可知B选项正确；A选项边不对应成比例，C选项菱形有不稳定性，形状不固定，D选项等腰梯形形状不固定．【总结】考查相似图形的特征．【变式】如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（

）

A．甲与丙 B．乙与丙 C．甲与乙 D．三个矩形都不相似【答案】A【分析】如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，据此作答．解：三个矩形的角都是直角，甲、乙、丙相邻两边的比分别为，，，∴甲与丙相似，故选：A．【点拨】本题考查相似多边形的概念，解题的关键是要考虑对应角相等，对应边成比例．【方法二】实例探索法题型1.相似三角形性质的应用1．（2022秋•大城县期末）的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15，则的边的长为A．15 B．36 C．39 D．以上都有可能【分析】根据相似三角形的性质得到相似比，求出的三边长，即可得到答案．【解答】解：的三边长分别为5，12，13，与它相似的的最小边长为15，与的相似比为，的三边长分别为15，36，39，的边的长为15或36或39，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．2．（2022秋•西湖区校级期末）已知在中，，，，分别是，边上的点，且．若和相似，则A．5 B．3 C． D．3或【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解．【解答】解：①如图所示，，，，，，；②如图所示，，，，综上所述，的长为3或，故选：．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中对应边成比例是解题的关键．题型2.相似多边形性质的应用3.如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求角α、β的大小和EF的长度x．【答案】，，【分析】利用相似多边形的性质：对应边的成相等，对应角相等，即可求解．解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28．在四边形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．∴∠G＝∠C＝67°．故x＝28．【点拨】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键．4.如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）证明四边形ABEF是菱形即可；（2）根据相似列出比例式求解即可．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD.∴∠FAE＝∠AEB.∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形．∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝EB.∴四边形ABEF是菱形．∴BF平分∠ABC；(2)∵四边形ABEF为菱形，∴BE＝EF＝AB＝6.∵四边形ABCD与CEFD相似，∴＝，即＝.解得,BC＝3±3．∵BC＞0，∴BC＝【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算题型3.相似多边形的判定5.在菱形与菱形中，，这两个菱形相似吗？为什么？【答案】菱形与菱形相似．理由见分析．【分析】根据如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形解答．解：在菱形与菱形中，设，，，，即菱形与菱形的对应角相等；又菱形的四条边都相等，两菱形的对应边成比例，即菱形与菱形的对应边的比相等，菱形与菱形相似．【点拨】本题考查了相似多边形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和相似多边形的判定定理．6.如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】相似【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案．解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性．【点拨】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断．7.将三角形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图(1)所示的图形，变化前后的两个三角形相似吗？如果把三角形改为正方形、长方形呢？【分析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，进而判断即可．解：∵三角形、矩形对应边向外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，∴变化前后的两个三角形、矩形都不相似，∵正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，∴变化前后的两个正方形相似．【点拨】此题主要考查了相似图形的判定，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．8．图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．【答案】不相似，理由见分析【分析】根据四边形的内角和为360°以及相似多边形的定义：对应角相等，对应边·成比例的两个多边形，叫做相似多边形进行判断即可．解：这两个多边形不相似．理由：∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°，∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°，∴这两个多边形不相似．【点拨】本题考查四边形的内角和为360°、相似多边形的定义，熟知相似多边形的定义是解答的关键．【方法三】成果评定法一、单选题1．（2023上·广西桂林·九年级校考期中）下列图形是相似多边形的是（

）A．所有的等边三角形 B．所有的矩形C．所有的菱形 D．所有的平行四边形【答案】A【分析】本题考查了相似多边形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形，据此即可作答．【详解】解：A、所有的等边三角形满足对应角相等，对应边成比例，故该选项是正确的；B、所有的矩形对应角相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；C、所有的菱形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；D、所有的平行四边形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；故选：A2．（2023上·福建宁德·九年级统考期中）下列各组图形中一定是相似图形的是（

）A．两个等边三角形 B．两个矩形C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【答案】A【分析】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．【详解】解：A、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；D、两个等腰三角形，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意．故选：A．3．（2023上·山西大同·九年级校联考期末）如图，已知五边形五边形，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键在于熟知相似多边形的面积之比等于相似比的平方．【详解】解：∵五边形五边形，，∴，故选D．4．（2023上·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（

）

A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙【答案】D【分析】本题主要考查相似多边形的判定，根据图形得到对应边的比值，进而问题可求解．【详解】解：甲图矩形的长宽之比为，乙图矩形的长宽之比为，丙图矩形的长宽之比为，∴甲与丙是相似矩形；故选D．5．（2023上·河南周口·九年级统考期中）如图，两个菱形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，则两个图形对应边不成比例的一组是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断．【详解】解：由题意得，B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；A中菱形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形故选：D．6．（2023上·四川达州·九年级四川省渠县中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，点分别在、边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（

）A．20 B．18 C．12 D．9【答案】A【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案．【详解】解：矩形矩形，且面积比为，∴，∵，∴，，∴，故选A7．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质进行解答即可．解题的关键是熟练掌握两个相似多边形的对应边成比例．【详解】解：设另一个多边形的最短边长为x，根据题意得：，解得：，故选：B．8．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．【详解】解：设矩形的长，宽，则，矩形与矩形相似，，即，即．．故选：A．二、填空题9．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，四边形四边形．则y（即）的长为．【答案】【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵四边形四边形，∴，即，解得，故答案为：．10．（2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知两个相似的菱形的相似比为，面积之差为，则这两个菱形的面积和是．【答案】【分析】本题主要考查了相似图形的性质；分别设两个菱形的面积为、，然后根据相似图形的面积的比等于相似比的平方列式求解即可．【详解】解：设两个菱形的面积为、，∵两个相似的菱形的相似比为，∴，解得：，经检验，是方程的解且符合题意，则，∴这两个菱形的面积和是，故答案为：．11．（2022上·陕西榆林·九年级校考期中）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是．

【答案】【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形五边形可得相似比为，进而求解即可．【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，，∴五边形五边形可得相似比为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键．12．（2021上·全国·九年级专题练习）指出下列各组图中，哪组肯定是相似形：（1）两个腰长不等的等腰三角形（2）两个半径不等的圆（3）两个面积不等的矩形（4）两个边长不等的正方形【答案】（2）（4）【分析】（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【详解】（1）等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；（3）中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；（2）（4）中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形．【点睛】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别．13．（2022上·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考期中）在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是【答案】32【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，∴相似比，∴面积比，∴这次复印出来的图案的面积．故答案是：32．【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．14．（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm；若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是．【答案】【分析】此题主要考查了相似多边形的性质．直接根据相似多边形的性质列式求解即可．【详解】解：如图，∵矩形中，，∴，又∵矩形中，，，∴，又∵矩形矩形，∴，∴，∴，∴，故答案为：．15．（2021上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为．【答案】6【分析】设另一个与它相似的六边形的最短边为，再根据其周长的比等于相似比进行解答即可．【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为，由题意，得：，整理得：，解得：，故答案为：6．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形周长的比等于相似比．16．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论：①；②；③若，则；④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）【答案】②④【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出，以及，，即可得出P点一定在上．【详解】如图，作，作，∵以AD为底边，以BC为底边，∴此时两三角形的高的和为AB，即可得到，同理可得，∴，故②正确，则①错误，③若，只能得出与高度之比，不一定等于，故此选项错误；④若，，∴与高度之比为：，∵，∴四边形是矩形，∴此时矩形与矩形相似，∴，∴P点在矩形的对角线上，故答案为：②和④．【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出是解题关键．17．（2022下·全国·九年级专题练习）如图，相似的正方形共有个，相似的三角形共有个．【答案】516【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答．【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似，故答案为：5，16．【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键．三、解答题18．（2023上·吉林长春·九年级统考期末）四边形∽四边形，，，若四边形的面积为12，求四边形的面积．【答案】【分析】由题意可求出四边形与四边形的相似比为，再根据相似图形面积比等于相似比的平方求解即可．【详解】解：∵四边形∽四边形，，，∴四边形与四边形的相似比为，∴，即，∴．【点睛】本题考查相似图形的性质．掌握相似图形面积比等于相似比的平方是解题关键．19．（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．

【答案】【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等．【详解】设，，则，，由相似图形的性质得：，即，解得或（不符题意，舍去），则．20．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，四边形四边形．

(1)______．(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查相似多边形的性质，关键是熟知相似多边形的对应角相等，对应边成比例．（1）先利用相似多边形的对应角相等得到，，再利用四边形的内角和为求解即可；（2）根据相似多边形对应边成比例求解即可．【详解】（1）解：∵四边形四边形，∴，，∵，∴，故答案为：；（2）解：∵四边形四边形，∴，即，解得．21．如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．

【答案】运动或能使矩形与矩形相似，证明见解析【分析】设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可．【详解】解：设运动时间能使矩形与矩形相似，由题意或，解得：或．当时，，∵，又∵与都是矩形，∴矩形与矩形相似．同理可证当时矩形与矩形相似．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，进行分类讨论是解题的关键．22．（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）将下列图形分别分成四小块，使它们得的形状大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可）(1)(2)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可；(2)分别取各边的中点，根据要求及原图的形状作图即可．【详解】（1）解：作图如下：（2）解：作图如下：【点睛】本题考查了作全等形和相似形，根据原图形，作出全等形是解决本题的关键．23．（2023上·江苏南京·九年级南师附中树人学校校考阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．

一分为二（1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______．（2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______．一分为多（3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似