chapter 3线性控制系统数学模型

2024/10/221控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院第3章

线性控制系统的数学模型薛定宇著《控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用》第二版，清华大学出版社2006CAI课件开发：张望舒哈尔滨工程大学薛定宇东北大学2024/10/222控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院系统的数学模型系统数学模型的重要性系统仿真分析必须已知数学模型系统设计必须已知数学模型本课程数学模型是基础系统数学模型的获取建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型2024/10/223控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院系统数学模型的分类系统模型非线性线性连续离散混合单变量多变量定常时变2024/10/224控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院主要内容线性连续系统的数学模型与MATLAB表示线性离散时间系统的数学模型方框图描述系统的化简系统模型的相互转换线性系统的模型降阶线性系统的模型辨识本章要点简介2024/10/225控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.1连续线性系统的数学

模型与MATLAB表示3.1.1线性系统的状态方程模型3.1.2线性系统的传递函数模型3.1.3线性系统的零极点模型3.1.4多变量系统的传递函数矩阵模型2024/10/226控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.1.1线性连续系统数学模型及MATLAB表示线性系统的传递函数模型为阶次，为常数，物理可实现2024/10/227控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院传递函数的引入Pierre-SimonLaplace(1749--1827)，法国数学家

Laplace变换Laplace变换的一条重要性质：若则2024/10/228控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院传递函数表示数学方式MATLAB输入语句2024/10/229控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院传递函数输入举例例3-1输入传递函数模型MATLAB输入语句在MATLAB环境中建立一个变量G2024/10/2210控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院另外一种传递函数输入方法例3-2如何处理如下的传递函数？定义算子，再输入传递函数2024/10/2211控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院应该根据给出传递函数形式选择输入方法例3-3输入混合运算的传递函数模型显然用第一种方法麻烦，所以2024/10/2212控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院MATLAB的传递函数对象2024/10/2213控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院传递函数属性修改例3-4延迟传递函数，即若假设复域变量为，则2024/10/2214控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院传递函数参数提取由于使用单元数组，直接用不行有两种方法可以提取参数这样定义的优点：可以直接描述多变量系统第i输入对第j输入的传递函数2024/10/2215控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.1.2线性系统的状态方程模型状态方程模型状态变量，阶次n

，输入和输出非线性函数：一般非线性系统的状态方程描述2024/10/2216控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院线性状态方程时变模型线性时不变模型(lineartimeinvariant,LTI)2024/10/2217控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院线性时不变模型的MATLAB描述MATLAB输入方法矩阵是方阵，为矩阵为矩阵，为矩阵可以直接处理多变量模型给出矩阵即可注意维数的兼容性2024/10/2218控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-52024/10/2219控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院带时间延迟的状态方程数学模型MATLAB输入语句其他延迟属性：ioDelay2024/10/2220控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.1.3线性系统的零极点模型零极点模型是因式型传递函数模型零点、极点和增益零极点模型的

MATLAB表示2024/10/2221控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-5零极点模型MATLAB输入方法另一种输入方法2024/10/2222控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.1.4多变量系统传递函数矩阵模型传递函数矩阵为第i输出对第j输入的传递函数可以先定义子传递函数，再由矩阵定义2024/10/2223控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-7多变量模型2024/10/2224控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.2线性离散时间系统的数学模型单变量系统：差分方程取代微分方程主要内容离散传递函数离散状态方程2024/10/2225控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.2.1离散传递函数模型数学表示（Z变换代替Laplace变换）MATLAB表示（采样周期）算子输入方法：2024/10/2226控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-8离散传递函数，采样周期MATLAB输入方法另一种输入方法2024/10/2227控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院离散延迟系统与输入数学模型延迟为采样周期的整数倍MATLAB输入方法2024/10/2228控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院滤波器型描述方法滤波器型离散模型分子、分母除以记，则2024/10/2229控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院MATLAB表示方法例3-92024/10/2230控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.2.2离散状态方程模型数学形式注意兼容性MATLAB表示方法2024/10/2231控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院离散延迟系统的状态方程数学模型MATLAB表示方法2024/10/2232控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.3方框图描述系统的化简单环节模型前面已经介绍了实际系统为多个环节互连，如何解决互连问题，获得等效模型？主要内容控制系统的典型连接结构节点移动时的等效变换复杂系统模型的简化2024/10/2233控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.3.1控制系统的典型连接结构系统串、并联串联传递函数并联传递函数2024/10/2234控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院串、并联状态方程模型串联系统的状态方程并联系统的状态方程2024/10/2235控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院串、并联系统的MATLAB求解若一个模型为传递函数、另一个为状态方程，如何处理？将二者变换成同样结构再计算基于MATLAB的计算方法串联注意次序：多变量系统并联优点，无需实现转换2024/10/2236控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院系统的反馈连接反馈连接正反馈负反馈2024/10/2237控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院状态方程的反馈等效方法其中若2024/10/2238控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院反馈连接的MATLAB求解LTI模型符号运算(置于@sym目录)2024/10/2239控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-102024/10/2240控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-11控制器为对角矩阵2024/10/2241控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院2024/10/2242控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.3.2节点移动时的等效变换考虑模型难点：A点在回路间，移至输出端2024/10/2243控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院节点移动2024/10/2244控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.3.3复杂系统模型的简化例3-12原系统可以移动新支路模型2024/10/2245控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院得出2024/10/2246控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-13电机拖动模型

2024/10/2247控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院

信号单独输入得出另一个传递函数2024/10/2248控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院最终得出传递函数矩阵2024/10/2249控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.4系统模型的相互转换前面介绍的各种模型之间的相互等效变换主要内容连续模型和离散模型的相互转换系统传递函数的获取控制系统的状态方程实现状态方程的最小实现传递函数与符号表达式的相互转换2024/10/2250控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.4.1连续模型和离散模型的相互转换连续状态方程的解析阶采样周期选择2024/10/2251控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院这样可以得出离散模型记则可以得出离散状态方程模型MATLAB函数直接求解2024/10/2252控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院还可以采用Tustin变换（双线性变换）例3-14双输入模型，2024/10/2253控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院输入模型、变换2024/10/2254控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院模型2024/10/2255控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-15时间延迟系统的离散化MATLAB求解零阶保持器变换变换结果2024/10/2256控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院Tustin变换数学表示其他转换方法FOH一阶保持器matched单变量系统零极点不变imp脉冲响应不变准则2024/10/2257控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院离散模型连续化对前面的变换求逆Tustin反变换MATLAB求解(无需)2024/10/2258控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-16对前面的连续状态方程模型离散化，对结果再连续化，则

可以基本上还原连续模型2024/10/2259控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.4.2系统传递函数的获取已知状态方程两端Laplace变换则2024/10/2260控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院因此可以得出传递函数难点基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好结果由零极点模型，直接展开分子分母用MATLAB统一求解2024/10/2261控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-17多变量模型，求传递函数矩阵2024/10/2262控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.4.3控制系统的状态方程实现由传递函数到状态方程的转换不同状态变量选择，结果不唯一默认变换方式，采用MATLAB函数G可以是传递函数、状态方程和零极点模型适用于有延迟的、离散的或多变量模型2024/10/2263控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-18连续多变量模型状态方程获取2024/10/2264控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院得出的状态方程模型ioDelay矩阵2024/10/2265控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院该模型可以转换回传递函数矩阵得出的转换结果2024/10/2266控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院均衡实现（banlancedrealization）由一般状态方程输入输出关系显著程度不明显，需要进一步变换均衡实现是一种很有用的方式用MATLAB直接求解得出均衡实现的模型得出排序的Gram矩阵2024/10/2267控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.4.4状态方程的最小实现例3-19观察传递函数模型未见有何特殊求取零极点模型2024/10/2268控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院得出结果相同位置的零极点，可以对消问题：状态方程如何处理？MATLAB解决方法2024/10/2269控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-20多变量模型不能直接看出是否最小实现2024/10/2270控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院MATLAB求解2024/10/2271控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.4.5传递函数与符号表达式

的相互转换传递函数到符号表达式表达式到传递函数置于@sym目录下2024/10/2272控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.5线性系统模型降阶用低阶模型近似高阶模型和最小实现不同最早由EdwardJ.Davison提出(1966)主要内容与Routh算法时间延迟模型的近似带有延迟的最优降阶算法状态空间的降阶算法2024/10/2273控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.5.1降阶算法

与Routh降阶算法原始模型寻求降阶模型假设2024/10/2274控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院展开原模型其中时间矩量可以递推求出若已知状态方程模型2024/10/2275控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院时间矩量的MATLAB求解降阶思想：保留前时间矩量2024/10/2276控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院对比系数，则2024/10/2277控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院这样可以得出2024/10/2278控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院

降阶求解函数2024/10/2279控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-21原始模型Padé

近似结果2024/10/2280控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-22反例零极点模型求取稳定模型2024/10/2281控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院Padé

近似不稳定降阶模型Padé

不能保证降阶模型的稳定性不稳定降阶模型可能得出稳定降阶模型2024/10/2282控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院Routh降阶方法与实例Routh算法（较烦琐，从略）2024/10/2283控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院Routh算法的最大特色：稳定系统降阶后能保证降阶模型稳定性例3-23仍考虑稳定模型2024/10/2284控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.5.3时间延迟模型的Padé

近似纯延迟的Padé近似方法近似函数纯滞后逼近2024/10/2285控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院编写MATLAB函数其中r/m任意选择可以选择0/m，以避免非最小相位模型2024/10/2286控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-24纯延迟模型MATLAB求解拟合结果2024/10/2287控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-25已知带有延迟的线性模型可以得出近似模型2024/10/2288控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.5.4带有时间延迟系统的

次最优降阶算法降阶模型的降阶效果误差定义ISE准则2024/10/2289控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院原模型降阶模型降阶误差定义2024/10/2290控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院参数向量误差MATLAB实现（从略）调用格式2024/10/2291控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-26对给出的传递函数进行降阶研究可以给出下面的语句得出的降阶模型为2024/10/2292控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-27已知高阶模型可以给出如下命令得出的降阶模型2024/10/2293控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.5.4状态方程模型的降阶算法均衡实现模型的降阶算法2024/10/2294控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院MATLAB求解函数例3-282024/10/2295控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院基于Schur均衡实现模型的降阶算法MATLAB求解函数例3-29高阶传递函数思路：先转换成状态方程，再降阶2024/10/2296控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院模型输入与降阶Schur降阶模型2024/10/2297控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院最优Hankel范数的降阶模型近似MATLAB求解函数例3-30仍采用前面模型2024/10/2298控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院降阶算法综述状态方程方法不能任意选择分母分子阶次，而很多传递函数方法可以降阶效果比较，下章给出时域响应比较频域响应比较降阶模型的应用仿真应用（用途越来越小）控制器设计应用2024/10/2299控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.6线性系统的模型辨识模型辨识由已知实测数据获得系统模型的方法实测数据时域响应数据、频率响应数据主要内容离散系统辨识方法辨识信号生成多变量系统辨识离散系统在线辨识2024/10/22100控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.6.1离散系统的模型辨识离散传递函数模型对应的差分方程模型2024/10/22101控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院已知实测信号输入输出由数据可以得出2024/10/22102控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院矩阵形式定义残差最小指标最小二乘解2024/10/22103控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院系统辨识工具箱求解T为结构体变量，T.a,T.b,tf(T)当然由前面的公式也能直接求解2024/10/22104控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-31实测数据2024/10/22105控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院基于MATLAB的求解2024/10/22106控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院数学形式辨识模型的提取还可以写成2024/10/22107控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院还可以由下面语句求解辨识结果2024/10/22108控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院直接辨识方法辨识结果辨识界面：ident2024/10/22109控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.6.2离散系统辨识信号的生成问题：什么样信号激励系统，辨识效果最好？有丰富频率信息的信号最好，如PRBS伪随机二进制序列pseudo-randombinarysequence频率丰富值为可重复构建MATLAB直接生成2024/10/22110控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院例3-32生成63个点的PRBS信号辨识效果残差明显减小2024/10/22111控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院连续系统的辨识可以考虑的方法连续频率拟合方法，不惟一离散方法，再转换成连续模型例3-332024/10/22112控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院正弦信号激励辨识结果问题原因：输入频率单一2024/10/22113控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.6.3多变量离散系统的辨识离散传递函数矩阵模型其中例3-342024/10/22114控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院MATLAB求解2024/10/22115控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院得出的高阶模型应该最小实现辨识结果2024/10/22116控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院3.6.4离散系统的递推最小二乘辨识在系统运行过程中实时获取系统参数，而不是象前面介绍的方法那样一次性获得模型，适合于变参数模型的实时控制广泛应用于自适应控制渐近地逼近参数真值这里介绍算法，仿真研究将在后面介绍2024/10/22117控制系统计算机辅助设计---MATLAB语言与应用东北大学信息学院递推