2025届双鸭山市重点中学高三数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2025届双鸭山市重点中学高三数学第一学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度2．已知函数是上的偶函数，且当时，函数是单调递减函数，则，，的大小关系是（）A． B．C． D．3．设全集，集合，则＝()A． B． C． D．4．已知为等腰直角三角形，，，为所在平面内一点，且，则（）A． B． C． D．5．下列函数中，在定义域上单调递增，且值域为的是（）A． B． C． D．6．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（）A．3 B．2 C． D．17．若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．命题“”的否定为（）A． B．C． D．9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种10．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件11．已知，若，则等于（）A．3 B．4 C．5 D．612．若某几何体的三视图（单位:cm）如图所示，则此几何体的体积是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.14．从2、3、5、7、11、13这六个质数中任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是________（结果用最简分数表示）15．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.16．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围；（2）若，证明：.18．（12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．19．（12分）设函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若函数有两个极值点，求证：.20．（12分）如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点.（1）求证：平面；（2）若平面与平面的交线为，求二面角的正弦值.21．（12分）已知数列满足，，其前n项和为.（1）通过计算，，，猜想并证明数列的通项公式；（2）设数列满足，，，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.22．（10分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且.（1）判断点是否在直线上？说明理由；（2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．考点：函数的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：2、D【解析】

利用对数函数的单调性可得，再根据的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为，，故.又，故.因为当时，函数是单调递减函数，所以.因为为偶函数，故，所以.故选：D.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.3、A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.【详解】由解得，故，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4、D【解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点的坐标，进而求得，由平面向量的数量积可得答案.【详解】如图建系，则，，，由，易得，则.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.5、B【解析】

分别作出各个选项中的函数的图象，根据图象观察可得结果.【详解】对于，图象如下图所示：则函数在定义域上不单调，错误；对于，的图象如下图所示：则在定义域上单调递增，且值域为，正确；对于，的图象如下图所示：则函数单调递增，但值域为，错误；对于，的图象如下图所示：则函数在定义域上不单调，错误.故选：.【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题，属于基础题.6、A【解析】

根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.【详解】解：由于，根据导数的几何意义得：，即切线斜率，当且仅当等号成立，所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.7、B【解析】

复数，在复平面内对应的点在第二象限，可得关于a的不等式组，解得a的范围.【详解】，由其在复平面对应的点在第二象限，得，则.故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8、C【解析】

套用命题的否定形式即可.【详解】命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.故选：C【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.9、C【解析】

根据“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6节，有3种，再考虑两者的顺序，有种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种不同的排法.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10、C【解析】

根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.【详解】由于数列是等比数列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.11、C【解析】

先求出，再由，利用向量数量积等于0，从而求得.【详解】由题可知，因为，所以有，得，故选：C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目.12、B【解析】试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为，因此总的体积.考点：三视图和几何体的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段的长度，最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则，所以，所以，，则，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，最短，此时.故答案为：【点睛】本题考查导数的实际应用，属于中档题.14、【解析】

依据古典概型的计算公式，分别求“任取两个数”和“任取两个数，和是质数”的事件数，计算即可。【详解】“任取两个数”的事件数为，“任取两个数，和是质数”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3个，所以任取两个数，这两个数的和仍是质数的概率是。【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法。15、5【解析】

△PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.【详解】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.过作准线的垂线，垂足为，则有，当且仅当三点共线时，等号成立，所以△PMF的周长最小值为55.故答案为：5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.16、【解析】

依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求出导函数，由在上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数，不等式凑配后知，利用时可证结论．【详解】（1）因为在上单调递减，所以，即在上恒成立因为在上是单调递减的，所以，所以（2）因为，所以由（1）知，当时，在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接，交于点M，连接ME，证明；（Ⅱ）由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是.【详解】（Ⅰ）如图，连接，交于点M，连接ME，则．因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）因为平面ABC，所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离．如图，设O是AC的中点，连接，OB．因为为正三角形，所以，又平面平面，平面平面，所以平面ABC．所以点到平面ABC的距离，故三棱锥的体积为．而斜三棱柱的体积为．所以剩余部分的体积为．【点睛】本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线.19、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）求导得到，讨论，，三种情况得到单调区间.（Ⅱ）设，要证，即证，，设，根据函数单调性得到证明.【详解】（Ⅰ），令，，（1）当，即时，，，在上单调递增；（2）当，即时，设的两根为（），，①若，，时，，所以在和上单调递增，时，，所以在上单调递减，②若，，时，，所以在上单调递减，时，，所以在上单调递增.综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）不妨设，要证，即证，即证，由（Ⅰ）可知，，，可得，，所以有，令，，所以在单调递增，所以，因为，所以，所以.【点睛】本题考查了函数单调性，证明不等式，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力.20、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）取的中点，连接，易得，进而可证明四边形为平行四边形，即，从而可证明平面；（2）取中点，中点，连接，易证平面，平面，从而可知两两垂直，以点为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面的法向量，及平面的法向量为，由，可求得平面与平面所成的二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图1，取的中点，连接.，，，，且，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面.（2）如图2，取中点，中点，连接.，，平面平面，平面平面，平面，平面，两两垂直.以点为坐标原点，向量的方向分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由，可得，在等腰梯形中，，易知，.则，，设平面的法向量为，则，取，得.设平面的法向量为，则，取，得.因为，，，所以，所以平面与平面所成的二面角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题.21、（1），证明见解析；（2）【解析】

（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围．【详解】（1）数列满足，，其前项和为．所以，，则，，，所以猜想得：．证明：由于，所以，则：（常数），所以数列是首项为1，公差为的等差数列．所以，整理得．（2）数列满足，，所以，则，所以．则，所以，所以，整理得，由于，所以，即．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．22、（1）不在，证明见详解；（2）【解析】

（1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果.（2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨