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文档简介

2025届湖南省会同一中高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.把直线绕原点逆时针转动,使它与圆相切,则直线转动的最小正角度A. B.C. D.2.已知动点的坐标满足方程,则的轨迹方程是()A. B.C. D.3.为迎接第24届冬季奥运会,某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名学生担任冰球、冰壶和短道速滑三个项目的志愿者,每个比赛项目至少安排1人,每人只能安排到1个项目,则所有排法的总数为()A.60 B.120C.150 D.2404.定义在R上的偶函数在上单调递增,且,则满足的x的取值范围是()A. B.C. D.5.设数列的前项和为,且,则()A. B.C. D.6.高二某班共有60名学生,其中女生有20名,“三好学生”人数是全班人数的,且“三好学生”中女生占一半.现从该班学生中任选1人参加座谈会,则在已知没有选上女生的条件下,选上的学生是“三好学生”的概率为()A. B.C. D.7.复数的虚部为()A. B.C. D.8.直线的倾斜角为()A.0 B.C. D.9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有位优秀,位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙、丁可以知道对方的成绩C.乙可以知道四人的成绩 D.丁可以知道四人的成绩10.数列2,,9,,的一个通项公式可以是()A. B.C. D.11.设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为()A. B.C. D.12.国际冬奥会和残奥会两个奥运会将于2022年在北京召开,这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放5个广告,其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能相邻播放,则不同的播放方式有()A.120种 B.48种C.36种 D.18种二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆的弦AB的中点为M,O为坐标原点,则直线AB的斜率与直线OM的斜率之积等于_________14.若,是双曲线与椭圆的共同焦点,点P是两曲线的一个交点,且为等腰三角形,则该双曲线的渐近线为______15.若一个球表面积为,则该球的半径为____________16.设、为正数,若,则的最小值是______,此时______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知:方程表示焦点在轴上的椭圆,:方程表示焦点在轴上的双曲线,其中.(1)若“”为真命题,求的取值范围:(2)若“”为假命题,“”为真命题,求的取值范围.18.(12分)已知命题:,在下面①②中任选一个作为:,使为真命题,求出实数a取值范围.①关于x的方程有两个不等正根;②.(若选①、选②都给出解答,只按第一个解答计分.)19.(12分)已知椭圆C:,右焦点为F(,0),且离心率为(1)求椭圆C的标准方程;(2)设M,N是椭圆C上不同的两点,且直线MN与圆O:相切,若T为弦MN的中点,求|OT||MN|的取值范围20.(12分)如图,在四棱雉中,平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中,,,,E为棱BC上的点,且(1)求证:平面PAC;(2)求二面角A-PC-D的正弦值21.(12分)王同学入读某大学金融专业,过完年刚好得到红包6000元,她计划以此作为启动资金进行理投资,每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%,并从中拿出1000元作为自己的生活费,余款作为资金全部投入下个月,如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.(1)求证:数列{-5000}为等比数列;(2)如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅(商场标价为12899元),将一年后投资市值全部取出来是否足够?22.(10分)在三棱柱中,侧面正方形的中心为点平面,且,点满足(1)若平面,求的值;(2)求点到平面的距离;(3)若平面与平面所成角的正弦值为,求的值

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据直线过原点且与圆相切,求出直线的斜率,再数形结合计算最小旋转角【详解】解析:由题意,设切线为,∴.∴或.∴时转动最小∴最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,属于基础题2、C【解析】此方程表示点到点的距离与到点的距离之差为8,而这正好符合双曲线的定义,点的轨迹是双曲线的右支,,的轨迹方程是,故选C.3、C【解析】结合排列组合的知识,分两种情况求解.【详解】当分组为1人,1人,3人时,有种,当分组为1人,2人,2人时有种,所以共有种排法.故选:C4、B【解析】,再根据函数的奇偶性和单调性可得或,解之即可得解.【详解】解:,由题意可得或即或,解得或故选:B.5、C【解析】利用,把代入中,即可求出答案.【详解】当时,.当时,.故选:C.6、C【解析】设事件表示“选上的学生是男生”,事件表示“选上的学生是三好学生,求出和,利用条件概率公式计算即可求解.【详解】设事件表示“选上的学生是男生”,事件表示“选上的学生是‘三好学生’”,则所求概率为.由题意可得:男生有人,“三好学生”有人,所以“三好学生”中男生有人,所以,,故.故选:C.7、D【解析】直接根据.复数的乘法运算结合复数虚部的定义即可得出答案【详解】解:,所以复数的虚部为.故选:D.8、D【解析】根据斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题的斜率,故倾斜角的正切值为,又,故.故选:D.9、A【解析】分析可知乙、丙的成绩中必有位优秀、位良好,结合题意进行推导,可得出结论.【详解】由于个人中的成绩中有位优秀,位良好,甲知道乙、丙的成绩,还是不知道自己的成绩,则乙、丙的成绩必有位优秀、位良好,甲、丁的成绩中必有位优秀、位良好,因为给乙看丙的成绩,则乙必然知道自己的成绩,丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩.故选:A.10、C【解析】用检验法,由通项公式验证是否符合数列各项,结合排除法可得【详解】第一项为正数,BD中求出第一项均为负数,排除,而AC均满足,A中,,排除A,C中满足,,,故选:C11、C【解析】利用函数的奇偶性求出,求出函数的导数,根据导数的几何意义,利用点斜式即可求出结果【详解】函数的定义域为,若为奇函数,则则,即,所以,所以函数,可得;所以曲线在点处的切线的斜率为,则曲线在点处的切线方程为,即故选:C12、C【解析】先考虑最后位置必为奥运宣传广告,再将另一奥运广告插入3个商业广告之间,最后对三个商业广告全排列,即可求解.【详解】先考虑最后位置必为奥运宣传广告,有种,另一奥运广告插入3个商业广告之间,有种;再考虑3个商业广告的顺序,有种,故共有种.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】根据点是弦的中点,为坐标原点,利用点差法求解.【详解】设,且,则,(1),(2)得:,,.又,,.故答案为:14、【解析】根据给定条件求出两曲线的共同焦点,再由椭圆、双曲线定义求出a,b即可计算作答.【详解】椭圆的焦点,由椭圆、双曲线的对称性不妨令点P在第一象限,因为等腰三角形,由椭圆的定义知:,则,,由双曲线定义知:,即,,,所以双曲线的渐近线为:.故答案为:【点睛】易错点睛:双曲线(a>0,b>0)渐近线方程为,而双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程为(即),应注意其区别与联系.15、【解析】设球的半径为,代入球的表面积公式得答案【详解】解:设球的半径为,则,得,即或(舍去)故答案为:16、①.4②.【解析】巧用“1”改变目标式子的结果,借助均值不等式求最值即可.【详解】,当且仅当即,时等号成立.故答案为,【点睛】本题考查最值的求法,注意运用“1”的代换法和基本不等式,考查运算能力,属于中档题三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或(2)【解析】(1)先假设命题为真命题,求出的取值范围,为真命题,取补集即可(2)假设命题为真命题,求出的取值范围,根据题意,则命题假设和命题一真一假,分类讨论求的取值范围【小问1详解】解:若为真命题,则,解得,若“”为真命题,则为假命题,或;【小问2详解】若为真命题,则解得,若“”为假命题,则“”为真命题,则与一真一假,①若真假,则解得,②若真假,则解得,综上所述,,即的取值范围为.18、答案见解析【解析】根据题意,分析、为真时的取值范围,又由复合命题真假的判断方法可得、都是真命题,据此分析可得答案.【详解】解:选①时由知在上恒成立,∴,即又由q:关于x的方程有两个不等正根,知解得,由为真命题知,解得.实数a的取值范围.选②时由知在上恒成立,∴,即又由,知在上恒成立,∴,又,当且仅当时取“=”号,∴,由为真命题知,解得.实数a的取值范围.19、(1);(2)[,3].【解析】(1)由题可得,即求;(2)当直线的斜率不存在或为0,易求,当直线MN斜率存在且不为0时,设直线MN的方程为:,利用直线与圆相切可得,再联立椭圆方程并应用韦达定理求得,然后利用基本不等式即得.【小问1详解】由题可得,∴𝑎=2,𝑏=∴椭圆C的方程为:;小问2详解】当直线MN斜率为0时,不妨取直线MN为𝑦=,则,此时,则;当直线MN斜率不存在,不妨取直线MN为x=,则,此时,则;当直线MN斜率存在且不为0时,设直线MN的方程为:,,因为直线MN与圆相切,所以,即,又因为直线MN与椭圆C交于M,N两点:由,得,则,所以MN中点T坐标为,则,,所以又,当且仅当,即取等号,∴|OT||MN|;综上所述:|OT|∙|MN|的取值范围为[,3].20、(1)证明见解析(2)【解析】建立空间直角坐标系,计算出相关点的坐标,进而计算出相关向量的坐标;(1)计算向量的数量积,,根据数量积结果为零,证明线线垂直,进而证明线面垂直2;(2)求出平面PCD的法向量和平面PAC的法向量,根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】证明:因为平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,所以,,又因为,则以A为坐标原点,分别以AB、AD、AP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,则,,所以,,又,平面PAC,平面PAC,∴平面PAC;【小问2详解】解:由(1)可知平面PAC,可作为平面PAC的法向量,设平面PCD的法向量,因为,所以,即,不妨设,得,又由图示知二面角为锐角,所以二面角的正弦值为21、(1)证明见解析(2)足够【解析】(1)由题意可得出递推关系,变形后利用等比数列的定义求证即可;(2)由(1)利用等比数列的通项公式求出,再求出,再计算即可得出结论.【小问1详解】依题意,第1个月底股票市值则又∴数列是首项为1200,公比为1.2的等比数列.【小问2详解】由(1)知∴∵,所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.22、(1);(2);(3)或.【解析】(1)连接ME,证明即可计算作答.(2)以为原点,的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系,借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系,借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中,因,即点在上,连接ME,如图,因平面面,面面,则有,而

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