山东阳谷县第五中学2025届高二上数学期末达标检测试题含解析

山东阳谷县第五中学2025届高二上数学期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的定义域为，其导函数为，若，则下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.3．据有关文献记载：我国古代一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多为常数盏，底层的灯数是顶层的倍，则塔的底层共有灯（）A.盏 B.盏C.盏 D.盏4．饕餮（tāotiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（）A. B.C. D.5．双曲线的渐近线的斜率是（）A.1 B.C. D.6．若双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.7．有一个圆锥形铅垂，其底面直径为10cm，母线长为15cm．P是铅垂底面圆周上一点，则关于下列命题：①铅垂的侧面积为150cm2；②一只蚂蚁从P点出发沿铅垂侧面爬行一周、最终又回到P点的最短路径的长度为cm．其中正确的判断是（）A.①②都正确 B.①正确、②错误C.①错误、②正确8．在空间直角坐标系中，若，，则（）A. B.C. D.9．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）A. B.C. D.10．圆心在直线上，且过点，并与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.11．若抛物线与直线：相交于两点，则弦的长为（）A.6 B.8C. D.12．若直线与曲线只有一个公共点，则m的取值范围是（）A. B.C.或 D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设、为正数，若，则的最小值是______，此时______.14．不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，…，8的八张卡片．从中随机取出3张．设X为这3张卡片的标号相邻的组数（例如：若取出卡片的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3、4和4、5，此时X的值是2）．则随机变量X的数学期望______15．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是______________16．有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，为的中点，为的中点（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值18．（12分）已知；对任意的恒成立.（1）若是真命题，求m的取值范围；（2）若是假命题，是真命题，求m的取值范围.19．（12分）已知点，圆，点Q在圆上运动，的垂直平分线交于点P.（1）求动点P的轨迹的方程；（2）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，在y轴上是否存在定点T，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.20．（12分）设函数.（1）求在处的切线方程；（2）求的极小值点和极大值点.21．（12分）在中，角、、C所对的边分别为、、，，.（1）若，求的值；（2）若的面积，求，的值.22．（10分）已知P，Q的坐标分别为，，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是.设点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线的方程；（2）设为坐标原点，圆的半径为1，直线：与圆相切，且与曲线交于不同的两点A，B.当，且满足时，求面积的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】令，求出函数的导数，得到函数的单调性，即可得到，从而求出答案【详解】解：令，则，又不等式恒成立，所以，即，所以在单调递增，故，即，所以，故选：B2、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.3、C【解析】根据给定条件利用等差数列前n项和公式列式计算即可作答.【详解】依题意，层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列，，于是得，解得，，所以塔的底层共有灯盏.故选：C4、B【解析】本题首先可根据题意列出次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餮纹的路线到达点的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餮纹的路线到达点的事件有：（下，下，右），故到达点的概率，故选：B.5、B【解析】由双曲线的渐近线方程为：，化简即可得到答案.【详解】双曲线的渐近线方程为：，即，渐近线的斜率是.故选：B6、A【解析】由焦距为可得，又，进而可得，最后根据焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为即可求解.【详解】解：因为双曲线的焦距为，所以，所以，解得，所以，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选：A.7、C【解析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可判断①，在展开图中可知沿着爬行即为最短路径，计算即可判断②.【详解】直径为10cm，母线长为15cm.底面圆周长为.将其侧面展开后得到扇形半径为cm，弧长为，则扇形面积为，①错误.将其侧面展开，则爬行最短距离为，由弧长公式得展开后扇形弧度数为,作，，又,,cm,②正确.故选：C8、B【解析】直接利用空间向量的坐标运算求解.【详解】解：因为，，所以.故选：B9、A【解析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案.【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得;解得，故该轨道即椭圆的离心率为，故选：A10、A【解析】设圆的圆心，表示出半径，再由圆心到切线距离等于半径即可列出方程求得参数及圆的方程.【详解】∵圆的圆心在直线上，∴设圆心为(a，－a)，∵圆过，∴半径r＝，又∵圆与相切，∴半径r＝，则，解得a＝2，故圆心为(2，－2)，半径为，故方程为.故选：A.11、B【解析】由题得抛物线的焦点坐标为刚好在直线上，再联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理和抛物线的定义求解.【详解】解：由题得.由题得抛物线的焦点坐标为刚好在直线上，设，联立直线和抛物线方程得,所以.所以.故选：B12、D【解析】根据曲线方程的特征，发现曲线表示在轴上方的图象，画出图形，根据图形上直线的三个特殊位置，当已知直线位于直线位置时，把已知直线的解析式代入椭圆方程中，消去得到关于的一元二次方程，由题意可知根的判别式等于0即可求出此时对应的的值；当已知直线位于直线及直线的位置时，分别求出对应的的值，写出满足题意得的范围，综上，得到所有满足题意得的取值范围【详解】根据曲线，得到，解得：；，画出曲线的图象，为椭圆在轴上边的一部分，如图所示：当直线在直线的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，把直线代入椭圆方程得：，得到，即，化简得：，解得或(舍去)，则时，直线与曲线只有一个公共点；当直线在直线位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时，当直线在直线位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时，则当时，直线与曲线只有一个公共点，综上，满足题意得的范围是或故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.4②.【解析】巧用“1”改变目标式子的结果，借助均值不等式求最值即可.【详解】，当且仅当即，时等号成立.故答案为，【点睛】本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题14、##【解析】设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，利用列举法分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望【详解】解：不透明袋中装有完全相同，标号分别为1，2，3，，8的八张卡片从中随机取出3张，共有种，设为这3张卡片的标号相邻的组数，则的可能取值为0，1，2，的情况有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6个，，的情况有：取，另外一个数有5种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有4种取法；取，另外一个数有5种取法的情况一共有：，，，随机变量的数学期望：故答案为：15、【解析】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，可得．设，由点M到直线l的距离不小于，即有，解得．再利用离心率计算公式即可得出范围【详解】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，，，所以，即椭圆的离心率的取值范围是【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16、4【解析】可设为第一象限的点，，，求出，，化简即得解.【详解】解：可设为第一象限的点，，，由椭圆定义可得，由双曲线的定义可得，可得，，由，可得，即为，化为，则故答案为：4三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）取的中点，连接交于，连接，，由平面几何得，再根据线面平行的判定可得证；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得结果.【小问1详解】取的中点，连接交于，连接，在三棱柱中，为的中点，，为的中点，且，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；【小问2详解】平面，，平面，，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则即取，则，，又是平面的一个法向量，，故平面和平面夹角的余弦值为18、（1）（2）【解析】（1）为真命题，则都为真命题，求出为真命题时的m的取值范围，并求交集，即为结果；（2）若是假命题，是真命题，则一真一假，分两种情况进行求解，最后求并集即为结果.【小问1详解】由题意得：为真命题，则要满足，解得：，对任意的恒成立，结合开口向上，所以要满足：，解得：，要保证是真命题，则与取交集，结果为【小问2详解】是假命题，是真命题，则一真一假，结合（1）中所求，当真假时，与取交集，结果为；当假真时，与取交集，结果为，综上：m的取值范围是.19、（1）；（2）存在，T(0，1)﹒【解析】(1)根据椭圆的定义，结合即可求P的轨迹方程；(2)假设存在T(0，t)，设AB方程为，联立直线方程和椭圆方程，代入＝0即可求出定点T.【小问1详解】由题可知，，则，由椭圆定义知P的轨迹是以F1、为焦点，且长轴长为的椭圆，∴，∴，∴P的轨迹方程为C：；【小问2详解】假设存在T(0，t)满足题意，易得AB的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为，联立，化为，易知恒成立，∴(*)由题可知，将(*)代入可得：即∴，解，∴在y轴上存在定点T(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个点T.20、（1）；（2）极大值点，极小值点.【解析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；（2）利用导数研究f(x)的单调性，判断函数的极值点即可【小问1详解】函数，函数的导数