2025届云南省陇川县第一中学数学高一上期末统考试题含解析

2025届云南省陇川县第一中学数学高一上期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（）A.1 B.2C.3 D.42．函数的大致图象是（）A. B.C. D.3．设p：关于x的方程有解；q：函数在区间上恒为正值，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知函数，若对任意，总存在，使得不等式都恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.5．幂函数的图象不过原点，则（）A. B.C.或 D.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. B.C. D.7．已知集合，．则（）A. B.C. D.8．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（）A. B.C. D.9．直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是A. B.C. D.10．已知偶函数在上单调递增，则对实数、，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．下列四个命题：①函数与的图象相同；②函数的最小正周期是；③函数的图象关于直线对称；④函数在区间上是减函数其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）12．计算_______.13．符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，则下列命题中正确是________.①函数最大值为；②函数的最小值为；③函数有无数个零点；④函数是增函数；14．函数最小值为______15．设函数，若关于x的方程有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.16．已知扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，则扇形的面积为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）判断并证明的奇偶性；（2）若，求的取值范围.18．已知函数的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.19．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：h），在t=0时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：（1）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.①C②C③C④C（2）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/ml，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”、“不合格”）（3）记血药浓度的峰值为Cmax，当C≥12Cmax时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到20．已知直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为6（Ⅰ）若直线l过点（3，1），求原点O关于直线l对称点的坐标；（Ⅱ）是否存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由21．已知函数，且最小正周期为.（1）求的单调增区间；（2）若关于的方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，先由周长求出半径和弧长，即可求出扇形的面积.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，因为圆心角为，所以.因为扇形的周长是6，所以，解得：.所以扇形的面积是.故选：B2、C【解析】由奇偶性定义判断的奇偶性，结合对数、余弦函数的性质判断趋向于0时的变化趋势，应用排除法即可得正确答案.【详解】由且定义域，所以为偶函数，排除B、D.又在趋向于0时趋向负无穷，在趋向于0时趋向1，所以在趋向于0时函数值趋向负无穷，排除A.故选：C3、B【解析】先化简p,q，再利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为方程有解,即方程有解，令，则，即；因为函数在区间上恒为正值，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，解得，所以p是q的必要不充分条件，故选：B4、D【解析】探讨函数性质，求出最大值，再借助关于a函数单调性列式计算作答.【详解】依题意，，则是上的奇函数，当时，，在上单调递增，在上单调递减，则，由奇函数性质知，函数在上的最大值是，依题意，存在，，令，显然是一次型函数，因此，或，解得或，所以实数的取值范围为.故选：D5、B【解析】根据幂函数的性质求参数.【详解】是幂函数，解得或或幂函数的图象不过原点，即故选：B6、B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积7、C【解析】直接利用交集的运算法则即可.【详解】∵，，∴.故选：.8、C【解析】分，，作与的图象分析可得.【详解】当时，由函数与的图象可知不满足题意；当时，函数单调递减，由图知，要使对恒成立，只需满足，得.故选：C注意事项：

用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

本卷共9题，共60分.9、A【解析】如图所示，直线过点，圆的圆心坐标直线与曲线相切时，，直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是考点：直线与圆相交，相切问题10、C【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】因为偶函数在上单调递增，若，则，而等价于，故充分必要；故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②④【解析】首先需要对命题逐个分析，利用三角函数的相关性质求得结果.【详解】对于①，，所以两个函数的图象相同，所以①对；对于②，，所以最小正周期是，所以②对；对于③，因为，所以，，，因为，所以函数的图象不关于直线对称，所以③错，对于④，，当时，，所以函数在区间上是减函数，所以④对，故答案为①②④【点睛】该题考查的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有利用诱导公式化简函数解析式，余弦函数的周期，正弦型函数的单调性，属于简单题目.12、【解析】利用指数的运算法则求解即可.【详解】原式.故答案为：.【点睛】本题主要考查了指数的运算法则.属于容易题.13、②③【解析】利用函数中的定义结合函数的最值、周期以及单调性即可求解.【详解】函数，函数的最大值为小于，故①不正确；函数的最小值为，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数有无数个零点，故③正确；由函数图像，结合函数单调性定义可知，函数在定义域内不单调，故④不正确；故答案为：②③【点睛】本题考查的是取整函数问题，在解答时要充分理解的含义，注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析，属于基础题.14、【解析】根据，并结合基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，所以，当且仅当时，等号成立故函数的最小值为.故答案为：15、或或【解析】作出函数的图象，设，分关于有两个不同的实数根、，和两相等实数根进行讨论，当方程有两个相等的实数根时，再检验，当方程有两个不同的实数根、时，或，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.【详解】作出函数的简图如图，令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，（1）当方程有两个相等的实数根时，由，即，此时当，此时，此时由图可知方程有4个实数根，此时不满足.当，此时，此时由图可知方程有6个实数根，此时满足条件.(2)当方程有两个不同的实数根、时，则或当时，由可得则的根为由图可知当时，方程有2个实数根当时，方程有4个实数根，此时满足条件.当时，设由，则，即综上所述：满足条件的实数a的取值范围是或或故答案为：或或【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.16、2【解析】首先由扇形的弧长与圆心角求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式计算可得；【详解】解：因为扇形的弧长为2cm，圆心角为1rad，所以扇形的半径cm，所以扇形的面积；故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）是奇函数，证明见解析（2）【解析】（1）先求函数的定义域，再利用奇偶性的定义进行判定；（2）先解关于的一元二次不等式得到，再利用对数函数的单调性转化为分式不等式进行求解.【小问1详解】解：是奇函数，证明如下：令，即，解得，即的定义域为；对于任意，都有，且，即，所以是奇函数.【小问2详解】解：因为，所以，则，即，所以，因为，所以，所以可化为，解得，即的取值范围为.18、（1）（2）【解析】（1）根据表格提供的数据画出函数图象，求出、和、的值，写出的解析式即可；（2）由函数的最小正周期求出的值，再利用换元法，令，结合函数的图象求出方程恰有两个不同的解时的取值范围【详解】解：(1)绘制函数图象如图所示：设的最小正周期为，得．由得又解得,令，即，，据此可得：，又，令可得所以函数的解析式为(2)因为函数的周期为，又，所以令，因为，所以在上有两个不同的解，等价于函数与的图象有两个不同的交点，，所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，即实数的取值范围是【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，属于中档题19、（1）④（2）合格（3）4-【解析】（1）先分析函数Ct（2）作差比较进行判断；（3）令C(t)≥0.1ln2.5【小问1详解】解：根据题意，得函数CtA.函数Ct在[0,1.5)上单调递增，在[1.5,+B.当t=1.5时，函数Ct取得最大值；函数CC.函数Ct选择①：Ct因为C3=0.75-0.3×3=-0.15不满足条件所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择②：Ct当0≤t<15时，Ct当t=1时，函数Ct取得最大值，不满足条件B所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择③：Ct因为0.3e0.3ln所以不满足条件C,所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择④：Ct因为0.2ln且当t≥1.5时，Ct所以Ct即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.【小问2详解】解：由（1）得：函数④：C因为0.2ln即血药浓度的峰值大于0.1μg/ml，所以此青蒿素药片合格，即答案为：合格；【小问3详解】解：当0≤t<1.5时，令0.2ln所以ln(t+1)2≥即2t2+4t-3≥0，解得t≥即-2+10当t≥1.5时，令0.3ln则3t≥1，解得即1.5≤t≤3；综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为3--2+20、（I）（，）（Ⅱ）直线l的方程为4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【解析】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直线l的方程为：，直线l过点（3，1），代入可得．与ab=12联立解得：a，b．即可得出直线l的方程．设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，可得，与ab=12联立解得a，b即可得出【详解】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）直线l的方程为：=1，∵直线l过点（3，1），∴=1与ab=12联立解得：a=6，b=2∴直线l的方程为：=1化为：x+3y-6=0设原点O关于直线l对称点坐标为（m，n），则×=-1，-6=0，化为：m+3n-12=0联立解得m=，n=∴原点O关于直线l对称点的坐标为（，）（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为