专题07 函数的奇偶性、对称性、周期性

专题07函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．2.函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y＝sinx，y＝cosx的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3.善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1(2019·江苏启东联考)已知函数f(x)对任意的x∈R，都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，函数f(x＋1)是奇函数，当－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－eq\f(1,2)在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【答案】4【分析】由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))对任意的x∈R恒成立，得f(x)关于直线x＝eq\f(1,2)对称，由函数f(x＋1)是奇函数，f(x)关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f(x)的周期为2，作出函数f(x)的图象即可.【解析】因为函数f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，又因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))，所以f(1－x)＝f(x)，所以f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称．作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得f(x)＝－eq\f(1,2)在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为eq\f(1,2)×2×4＝4.例2已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A． B．0 C．2 D．50【答案】C【分析】同例1得f(x)的周期为4，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)，而f(1)＝2，f(2)＝f(0)＝0（f(1－x)＝f(1＋x)中，取x＝1）、f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2、f(4)＝f(0)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(5)＋f(6)＋f(7)＋f(8)＝···＝f(45)＋f(46)＋f(47)＋f(48)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋···＋f(50)＝f(47)＋f(48)＝f(1)＋f(2)＝2.例3已知函数是上的奇函数，对任意，都有（2）成立，当，，，且时，都有，则下列结论正确的有A．（1）（2）（3） B．直线是函数图象的一条对称轴 C．函数在，上有5个零点 D．函数在，上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出（2）的值，进而分析可得是函数的一条对称轴，函数是周期为4的周期函数和在区间，上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数是上的奇函数，则；对任意，都有（2）成立，当时，有（2），则有（2），则有，即是函数的一条对称轴；又由为奇函数，则，变形可得，则有，故函数是周期为4的周期函数，当，，，且时，都有，则函数在区间，上为增函数，又由是上的奇函数，则在区间，上为增函数；据此分析选项：对于，，则（1）（2）（3）（4）（1）（3）（2）（4），（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）（1）（2）（3）（2），正确；对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；故选：．【巩固训练】1．已知函数关于对称,则的解集为_____.2．已知定义在上的函数满足，且的图象与的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.3.已知函数满足，且时，，则（）A．0 B．1 C． D．4.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则85.（多选题）已知是定义域为的奇函数，且函数为偶函数，下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称 B．（4） C． D．若，则6．（多选题）函数的定义域为，且与都为偶函数，则A．为偶函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为同期函数7.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：①是周期为4的周期函数；②的图象关于点对称；③是偶函数；④的图象经过点；其中正确论断的个数是______________.

【答案或提示】1．【答案】【解析】∵函数关于对称,∴,则由,结合图象可得,求得.2．【答案】8【解析】，故，即的图象关于点对称，又函数满足，则函数的图象关于点对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3.【答案】D【解析】因为，所以.4.【答案】－85.【答案】6．【