解答题精准限时训练2(全国卷版)(原卷版+解析)

解答题精准限时训练2（全国甲乙卷版）(建议用时60-70分钟）三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（2022·全国·高三专题练习）流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（）患病人数（）（1）求关于的线性回归方程；（2）计算变量、的相关系数（计算结果精确到），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱．）参考数据：．参考公式：，相关系数．18．（2022·全国·高三专题练习）如图，且，，且，且，平面，．（1）若点为的中点，点为的中点，点为线段上动点，且平面平面，求的值；（2）求二面角的正弦值．19．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有：，若，则：（1）求数列的通项公式（2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求证：且．21．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：，过椭圆左顶点的直线交抛物线于，两点，且，经过点的直线与椭圆交于，两点，且.(1)证明：直线过定点.(2)求四边形的面积最大值及的值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程是.（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围．解答题精准限时训练2（全国甲乙卷版）(建议用时60-70分钟）三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（2022·全国·高三专题练习）流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：年龄（）患病人数（）（1）求关于的线性回归方程；（2）计算变量、的相关系数（计算结果精确到），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若，则、相关性很强；若，则、相关性一般；若，则、相关性较弱．）参考数据：．参考公式：，相关系数．【答案】（1）；（2）相关系数为，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．【详解】（1）由题意得，，，，，故关于的线性回归方程为；（2），，说明、负相关，又，说明、相关性很强．因此，可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强．18．（2022·全国·高三专题练习）如图，且，，且，且，平面，．（1）若点为的中点，点为的中点，点为线段上动点，且平面平面，求的值；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）1（2）（1）解：依题意，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），所以，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，1，，，0，，，，，，0，，所以，2，，，0，，设平面的法向量为，，，所以，令，可得，0，，设，0，，则，0，，若平面平面，则平面，故，所以，解得，所以，0，，此时；（2）解：依题意可得，，0，，，，，，，，设平面的法向量为，，，所以，令，所以可得，2，，同理可求平面的法向量为，1，，所以，所以，所以二面角的正弦值为．19．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有：，若，则：（1）求数列的通项公式（2）试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）不存在这样的项；理由见解析．【详解】（1）①令，则②①②可得：令，则令，则所以有：，解得：（2）假设存在某项及数列中的其他项，所以两边同时除以可得：，左边为偶数，右边为奇数．所以等式不成立所以不存在这样的项．20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）求证：且．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）依题意，在上恒成立，即在，上恒成立，，即实数的取值范围为；（2）当时，，在区间上单调递增，，即，令得，，且，即得证．21．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：，过椭圆左顶点的直线交抛物线于，两点，且，经过点的直线与椭圆交于，两点，且.(1)证明：直线过定点.(2)求四边形的面积最大值及的值.【答案】(1)证明见解析；(2)四边形的面积最大值为4，.【详解】(1)由知点A的坐标为，且直线过点A与抛物线交于，两点，显然直线的斜率存在且不为0，设直线：，，，由得，则，即，，由知点为线段的靠近A的三等分点，即，则，，，此时，，即点，又，，则，因此直线的方程为：，即，显然当时，恒有，即直线经过定点：，所以直线经过定点；(2)由知，点B到直线的距离是点A到直线距离的2倍，则，即四边形的面积，由(1)知，直线：，即，且，则点到直线的距离为：，设，，由消去x得：，则，得，，，于是得，当且仅当，即时取“=”，的面积取得最大值，而四边形的面积，于是得四边形的最大面积为4，此时，所以四边形的面积最大值是4，此时.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程是.（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点的极坐标分别为和，直线与曲线相交于两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值．【答案】（1）；；（2）.（1）由参数方程可得其普通方程为：，的极坐标方程为：，即；由得：，，即，的直角坐标方程为：；（2）由极坐标可得两点直角坐标为：，，直线方程为：，即；由（1）知：是以为圆心，为半径的圆，则坐标原点在圆上，又直线过圆的圆心，，即；设，，分别代入的极坐标方程，则，，，.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）若，，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）(－∞，－2]∪[2，＋∞)（1）解：g(x)≥3，即|x＋1|＋|x－1|≥3，不等式等价于或或，解得x≤－或x≥，所以g(x)≥3的解集为.（2）解：因为∀x2∈[－2，2]，∃x1∈[－2，2]，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)min≤g(x)min(x∈[－2，2])，又g(x)min＝2，所以f(x)min≤2(x∈[－2，2])，当－≤－2，即a≥4时，f(x)