高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系专题练习(学生版+解析)_第1页
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文档简介

专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系练基础练基础1.(2021·陕西高二期末(理))已知为空间中任意一点,四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数的值为()A. B. C. D.2.【多选题】(2021·全国)下列命题中不正确的是().A.若、、、是空间任意四点,则有B.若,则、的长度相等而方向相同或相反C.是、共线的充分条件D.对空间任意一点与不共线的三点、、,若(),则、、、四点共面3.(2020·江苏省镇江中学高二期末)已知向量,,若,则实数m的值是________.若,则实数m的值是________.4.(2021·全国高二课时练习)下列关于空间向量的命题中,正确的有______.①若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则;②若非零向量,,满足,,则有;③若,,是空间的一组基底,且,则,,,四点共面;④若向量,,,是空间一组基底,则,,也是空间的一组基底.5.(2021·全国高二课时练习)已知点A(1,2,3),B(0,1,2),C(﹣1,0,λ),若A,B,C三点共线,则__.6.(2021·广西高一期末)在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示,则边上的中线长为___________.7.(2021·全国高二课时练习)在三棱锥中,平面平面,,,,,,则的长为___________.8.(2021·浙江高一期末)在长方体中,,,点为底面上一点,则的最小值为________.9.(2021·山东高二期末)在正三棱柱中,,点D满足,则_________.10.(2020-2021学年高二课时同步练)如图,已知为空间的9个点,且,,求证:(1)四点共面,四点共面;(2);(3).练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.(2021·四川省大竹中学高二月考(理))如图,在平行六面体中,,,则()A.1 B. C.9 D.32.(2021·全国高二课时练习)如图所示,二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,,则该二面角的大小为()

A. B.C. D.3.(2021·湖北荆州·高二期末)如图,在三棱柱中,与相交于点,则线段的长度为()A. B. C. D.4.(2020·浙江镇海中学高二期中)已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD,M,N分别为线段AB,CD上的点满足,,点G在线段MN上,且满足,若,则__________.5.(2021·广西高二期末(理))在中,,,,是斜边上一点,以为棱折成二面角,其大小为60°,则折后线段的最小值为___________.6.(2021·辽宁高一期末)已知点在正方体的侧面内(含边界),是的中点,,则的最大值为_____;最小值为______.7.(2021·北京高二期末)如图,在四面体ABCD中,其棱长均为1,M,N分别为BC,AD的中点.若,则________;直线MN和CD的夹角为________.8.(2021·四川高二期末(理))如图,在三棱柱中,点是的中点,,,,,设,,.(1)用,,表示,;(2)求异面直线与所成角的余弦值.9.(2021·浙江高一期末)已知四棱锥的底面是平行四边形,平面与直线分别交于点且,点在直线上,为的中点,且直线平面.(Ⅰ)设,试用基底表示向量;(Ⅱ)证明,对所有满足条件的平面,点都落在某一条长为的线段上.10.(2021·山东高二期末)已知在空间直角坐标系中,点,,,的坐标分别是,,,,过点,,的平面记为.(1)证明:点,,,不共面;(2)求点到平面的距离.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.(2021·全国高考真题)在正三棱柱中,,点满足,其中,,则()A.当时,的周长为定值B.当时,三棱锥的体积为定值C.当时,有且仅有一个点,使得D.当时,有且仅有一个点,使得平面2.(湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②3.(2018年理数全国卷II)在长方体ABCD−A1B1C1D1中,A.15B.56C.54.(2019年高考浙江卷)如图,已知三棱柱,平面平面,,分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.5.(2019年高考北京卷理)如图,在四棱锥P–ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且.(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F–AE–P的余弦值;(3)设点G在PB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.6.(2019年高考全国Ⅱ卷理)如图,长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B–EC–C1的正弦值.专题8.6空间向量及其运算和空间位置关系练基础练基础1.(2021·陕西高二期末(理))已知为空间中任意一点,四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】根据向量共面的基本定理当时即可求解.【详解】,又∵是空间任意一点,、、、四点满足任三点均不共线,但四点共面,∴,解得故选:B2.【多选题】(2021·全国)下列命题中不正确的是().A.若、、、是空间任意四点,则有B.若,则、的长度相等而方向相同或相反C.是、共线的充分条件D.对空间任意一点与不共线的三点、、,若(),则、、、四点共面【答案】ABD【解析】本题考察向量的概念与性质,需按个选项分析,A选项考察向量加法的意义,B选项考察向量的模的性质,C选项可以两边平方计算,D选项考察四点共面的性质.【详解】A选项,而不是,故A错,B选项,仅表示与的模相等,与方向无关,故B错,C选项,,即,即,与方向相反,故C对,D选项,空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量、、表示,∴、、、四点不一定共面,故D错,故选ABD.3.(2020·江苏省镇江中学高二期末)已知向量,,若,则实数m的值是________.若,则实数m的值是________.【答案】【解析】,,若,则,解得;若,则,解得.故答案为:和.4.(2021·全国高二课时练习)下列关于空间向量的命题中,正确的有______.①若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则;②若非零向量,,满足,,则有;③若,,是空间的一组基底,且,则,,,四点共面;④若向量,,,是空间一组基底,则,,也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】根据空间向量基本定理,能作为基底的向量一定是不共面的向量,由此分别分析判断①,④;对于②在空间中满足条件的与不一定共线,从而可判断;对于③,由条件结合空间向量的加减法则可得,从而可判断;【详解】对于①:若向量,与空间任意向量都不能构成基底,只能两个向量为共线向量,即,故①正确;对于②:若非零向量,,满足,,则与不一定共线,故②错误;对于③:若,,是空间的一组基底,且,则,即,可得到,四点共面,故③正确;对于④:若向量,,,是空间一组基底,则空间任意一个向量,存在唯一实数组,使得,由的唯一性,则,,也是唯一的则,,也是空间的一组基底,故④正确.故答案为:①③④5.(2021·全国高二课时练习)已知点A(1,2,3),B(0,1,2),C(﹣1,0,λ),若A,B,C三点共线,则__.【答案】1【解析】利用坐标表示向量,由向量共线列方程求出λ的值.【详解】由题意,点A(1,2,3),B(0,1,2),C(﹣1,0,λ),所以,若A,B,C三点共线,则,即,解得.故答案为:1.6.(2021·广西高一期末)在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示,则边上的中线长为___________.【答案】【解析】先用中点坐标公式解出线段中点的坐标,再用两点间距离公式求出中线长.【详解】线段的中点D坐标为,即由空间两点间的距离公式得边上的中线长为.故答案为:.7.(2021·全国高二课时练习)在三棱锥中,平面平面,,,,,,则的长为___________.【答案】【解析】建立空间直角坐标系,写出各点坐标,利用两点间距离公式求得结果.【详解】平面平面,平面平面,,平面,平面,建立以为原点,平行于BC做轴,AC为轴,SA为轴作空间直角坐标系,则,,∴.故答案为:11.8.(2021·浙江高一期末)在长方体中,,,点为底面上一点,则的最小值为________.【答案】【解析】根据题意,建立空间直角坐标系,利用坐标法求解即可.【详解】解:如图,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,设,所以,所以,所以当时,有最小值.故答案为:9.(2021·山东高二期末)在正三棱柱中,,点D满足,则_________.【答案】【解析】因为是正三棱柱,所以建立如图的空间直角坐标系,求出的坐标也即是点的坐标,由两点的坐标即可求的模.【详解】因为是正三棱柱,所以面,且为等边三角形,如图建立以为原点,所在的直线为轴,过点垂直于的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,所以,即,所以,故答案为:.10.(2020-2021学年高二课时同步练)如图,已知为空间的9个点,且,,求证:(1)四点共面,四点共面;(2);(3).【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】(1)利用共面向量定理证明四点共面;(2)利用向量加减及数运算找到的关系,证明;(3)利用向量加减及数运算可得.【详解】证明:(1),∴A、B、C、D四点共面.,∴E、F、G、H四点共面.(2).(3).练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1.(2021·四川省大竹中学高二月考(理))如图,在平行六面体中,,,则()A.1 B. C.9 D.3【答案】D【解析】根据图形,利用向量的加法法则得到,再利用求的模长.【详解】在平行六面体中,有,,由题知,,,,,所以,,与的夹角为,与的夹角为,与的夹角为,所以.所以.故选:D.2.(2021·全国高二课时练习)如图所示,二面角的棱上有、两点,直线、分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,,,,则该二面角的大小为()

A. B.C. D.【答案】C【解析】根据向量垂直的条件得,,再由向量的数量积运算可得,根据图示可求得二面角的大小.【详解】由条件知,,,∴,∴,又,所以,∴由图示得二面角的大小为,故选:C.3.(2021·湖北荆州·高二期末)如图,在三棱柱中,与相交于点,则线段的长度为()A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得,,,,,进而可得结果.【详解】依题意得,,,.所以故.故选:A.4.(2020·浙江镇海中学高二期中)已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD,M,N分别为线段AB,CD上的点满足,,点G在线段MN上,且满足,若,则__________.【答案】【解析】以作为空间向量的基底,利用向量的线性运算可得的表示,从而可得的值,最后可得的值.【详解】,又,故,而,所以,因为不共面,故,所以,故答案为:5.(2021·广西高二期末(理))在中,,,,是斜边上一点,以为棱折成二面角,其大小为60°,则折后线段的最小值为___________.【答案】【解析】过,作的垂线,垂足分别为,,从而得到,然后将用表示,求出的表达式,再设,利用边角关系求出所需向量的模,同时利用二面角的大小得到向量与的夹角,利用同角三角函数关系和二倍角公式化简的表达式,再利用正弦函数的有界性分析求解即可.【详解】解:如图①,过,作的垂线,垂足分别为,,故,,所以,以为棱折叠后,则有,故,,因为以为棱折成二面角,所以与的夹角为,令,则,在中,,,在中,,,故,所以,故当时,有最小值28,故线段最小值为.故答案为:.6.(2021·辽宁高一期末)已知点在正方体的侧面内(含边界),是的中点,,则的最大值为_____;最小值为______.【答案】1【解析】首先以点为原点,建立空间直角坐标系,得到,,并表示,利用二次函数求函数的最值.【详解】设正方体棱长为2,如图以点为原点,建立空间直角坐标系,,,,,,,,,,得,,平面,,当时,取得最大值是1,当时,取得最小值是.故答案为:;7.(2021·北京高二期末)如图,在四面体ABCD中,其棱长均为1,M,N分别为BC,AD的中点.若,则________;直线MN和CD的夹角为________.【答案】.【解析】利用空间向量的线性运算把用表示即可得,再由向量的数量积得向量夹角,从而得异面直线所成的角.【详解】由已知得,又且不共面,∴,,∴,是棱长为1的正四面体,∴,同理,,,,∴,∴,∴异面直线MN和CD所成的角为.8.(2021·四川高二期末(理))如图,在三棱柱中,点是的中点,,,,,设,,.(1)用,,表示,;(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1),;(2).【解析】(1)根据空间向量的线性运算法则计算;(2)用空间向量法求解.【详解】(1)三棱柱中,点是的中点,,,(2),,,,,,,,.所以异面直线与所成角的余弦值是.9.(2021·浙江高一期末)已知四棱锥的底面是平行四边形,平面与直线分别交于点且,点在直线上,为的中点,且直线平面.(Ⅰ)设,试用基底表示向量;(Ⅱ)证明,对所有满足条件的平面,点都落在某一条长为的线段上.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由,利用空间向量的加、减运算法则求解;(Ⅱ)结合(Ⅰ),根据,设,分别用表示,,,然后根据平面,由存在实数y,z,使得求解.【详解】(Ⅰ)因为,所以;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又因为,所以,,则,,,设,则,,因为平面,则存在实数y,z,使得,即,,所以,消元得,当时,,当时,,,解得,综上:,所以对所有满足条件的平面,点都落在某一条长为的线段上.10.(2021·山东高二期末)已知在空间直角坐标系中,点,,,的坐标分别是,,,,过点,,的平面记为.(1)证明:点,,,不共面;(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】(1)由知,,三点不共线,然后由得不存在实数,得答案;(2)利用点到平面的距离可得答案.【详解】(1)由已知可得:,,假设,,三点共线,则存在,使得,即,所以,此方程组无解,所以,不共线,所以,,不共线,所以过点,,的平面是唯一的,若点,,,共面,则存在,,使得,即,即,此方程组无解,即不存在实数,,使得,所以点,,,不共面.(2)设平面的法向量为,则,所以,令,则,,所以,所以点到平面的距离.练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1.(2021·全国高考真题)在正三棱柱中,,点满足,其中,,则()A.当时,的周长为定值B.当时,三棱锥的体积为定值C.当时,有且仅有一个点,使得D.当时,有且仅有一个点,使得平面【答案】BD【解析】对于A,由于等价向量关系,联系到一个三角形内,进而确定点的坐标;对于B,将点的运动轨迹考虑到一个三角形内,确定路线,进而考虑体积是否为定值;对于C,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数;对于D,考虑借助向量的平移将点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数.【详解】易知,点在矩形内部(含边界).对于A,当时,,即此时线段,周长不是定值,故A错误;对于B,当时,,故此时点轨迹为线段,而,平面,则有到平面的距离为定值,所以其体积为定值,故B正确.对于C,当时,,取,中点分别为,,则,所以点轨迹为线段,不妨建系解决,建立空间直角坐标系如图,,,,则,,,所以或.故均满足,故C错误;对于D,当时,,取,中点为.,所以点轨迹为线段.设,因为,所以,,所以,此时与重合,故D正确.故选:BD.2.(湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②【答案】D【解析】设,在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为=4\*GB3④与俯视图为=2\*GB3②,故选D.3.(2018年理数全国卷II)在长方体ABCD−A1B1C1D1中,A.15B.56C.5【答案】C【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,3),D1(0,0,3),所以4.(2019年高考浙江卷)如图,已知三棱柱,平面平面,,分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2).【解析】方法一:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2,EG=.由于O为A1G的中点,故,所以.因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.方法二:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E–xyz.不妨设AC=4,则A1(0,0,2),B(,1,0),,,C(0,2,0).因此,,.由得.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得.设平面A1BC的法向量为n,由,得

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