第10讲复数(原卷版+解析)

第10讲复数一、单选题1．（2022·全国高三专题练习）欧拉公式θ(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．（2021·全国高三月考）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（）A． B．C． D．3．（2021·江苏高一月考）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（）A． B．C． D．4．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，满足条件的点与之间的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·河南南阳·高二期中）在复平面内，复数（，）对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）A． B．C． D．6．（2021·湖北武汉·高一期中）系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A． B． C． D．7．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式在复数集中有个复数根（重根按重数计）那么在复平面内使除了1和这两个根外，还有一个复数根为（）A． B． C． D．8．（2021·全国高三专题练习（理））大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1 B． C．i D．二、多选题9．（2021·重庆）欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．若，则有B．若，，则C．若，则D．设，则在复平面上对应的点在第一象限10．（2021·江苏）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（）A．B．C．若复数的虚部为，，则的实部为D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为11．（2021·江苏南京市第二十九中学高二期中）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（）A．B．C．D．存在8个不同的复数，使12．（2021·徐闻县第一中学）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（）A． B． C． D．1三、填空题13．（2019·浙江高三月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数，则z的实部为______，______.14．（2021·福建厦门一中高二期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．已知复数z满足，i为虚数单位，则的最小值为________．15．（2021·江苏南京·高一期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为________．16．（2021·浙江高二期末）人教版新教材中增加了如下内容：任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列法正确的是________．①；②当，时，；③当，时，；④当，时，若为偶数，则复数为纯虚数；⑤第10讲复数一、单选题1．（2022·全国高三专题练习）欧拉公式θ(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式，化简复数得的，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，可得，所以复数表示的复数在复平面内对应的点为位于第二象限．故选：B.2．（2021·全国高三月考）欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式，有拓扑学中的欧拉多面体公式、初等数论中的欧拉数论公式等其中最著名的是复变函数中的欧拉幅角公式——把复数、指数函数与三角函数联系起来（，自然对数的底数，虚数单位）．若复数满足，则的虚部为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据欧拉公式求得，再根据复数的乘方求得，即可得复数，再根据共轭复数的定义和复数虚部的定义即可得出答案.【详解】解：∵，∴．又∵，∴复数，∴，则的虚部为.故选：D．3．（2021·江苏高一月考）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（e是自然对数的底，i是虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被普为“数学中的天桥”.下列说法正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.【详解】对于A，当时，因为，所以，故不一定成立，选项A错误；对于B，，所以B错误；对于C，由，，所以,得出,选项C正确；对于D，由C选项的分析得，得出，选项D错误.故选：C.4．（2021·广东潮州·高一期末）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离.在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，满足条件的点与之间的最大距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由复数的运算化简，由为纯虚数可求得的值，从而可求得，，设且，，由两点间的距离公式即可求解点与之间的最大距离.【详解】由，因为复数（是虚数单位，）是纯虚数，所以，解得，所以，则，由于，故设且，，所以，故点与之间的最大距离为3.故选：C.5．（2021·河南南阳·高二期中）在复平面内，复数（，）对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题目中所给的棣莫弗定理进行求解即可.【详解】，故选：A6．（2021·湖北武汉·高一期中）系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得,然后利用共轭复数的概念判定.【详解】解：,故选：C.7．（2021·沙坪坝·重庆一中高三月考）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式在复数集中有个复数根（重根按重数计）那么在复平面内使除了1和这两个根外，还有一个复数根为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程根的意义，把代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因是方程的根，即，所以是方程的根.故选：B8．（2021·全国高三专题练习（理））大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）A．1 B． C．i D．【答案】D【分析】先根据公式将原式变为，再根据注释将原式变为，结合三角函数的诱导公式即可计算出结果.【详解】因为，所以，故选：D.二、多选题9．（2021·重庆）欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．若，则有B．若，，则C．若，则D．设，则在复平面上对应的点在第一象限【答案】AC【分析】根据题干所给出的新定义判断各个选项即可．【详解】解：对于，，故正确；对于，由棣莫弗定理可知，两个复数，相乘，所得到的复数的辐角是复数，的辐角之和，模是复数，的模之积，所以的辐角是复数的辐角的倍，模是，故正确；对于，，所以，故错误；对于，设，故，故复数在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故错误．故选：．10．（2021·江苏）瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中是虚数单位，是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（）A．B．C．若复数的虚部为，，则的实部为D．已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，则三角形面积的最大值为【答案】AB【分析】根据欧拉公式及复数得模即可判断A；，整理即可判断B；根据欧拉公式及复数的虚部为，，结合三角恒等变换，求出，即可求出的实部，从而判断C；根据题意可得，点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，根据三角形的面积公式即可求得三角形面积的最大值，从而判断D.【详解】解：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，因为复数的虚部为，所以，又，所以，故，所以，所以，，，即的实部为，故C错误；对于D，由题意，，则点得轨迹时以原点为圆心，1为半径的圆，又，，当，即时，取最大值，所以三角形面积的最大值为，故D错误.故选：AB.11．（2021·江苏南京市第二十九中学高二期中）棣莫佛（，1667~1754）出生于法国香槟，十八岁去了英国伦敦，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文，英国著名诗人波普（A.Pope，1688~1744）在《人类小品》中写道：“是谁教那蜘蛛/不用直线或直尺帮忙/画起平行线来/和棣莫佛一样稳稳当当”.1707年棣莫佛提出了公式：，其中，.根据这个公式可得（）A．B．C．D．存在8个不同的复数，使【答案】AD【分析】利用复数的三角形式的性质和三角函数恒等变换公式逐个分析判断即可【详解】解：根据题意，在，令可得.对于A，设，则有，变形可得，则，A正确；对于B，设，则有，变形可得，则，B错误；对于C，，C错误；对于D，设，若，即，则有，，则，在区间上，有8个解，即存在8个不同的复数，使，D正确；故选：AD.12．（2021·徐闻县第一中学）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（）A． B． C． D．1【答案】BCD【分析】逐项代入验证是否满足即可.【详解】解：对A，当时，，故，A错误；对B，当时，，故，B正确；对C，当时，故，C正确；对D，显然时，满足，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．（2019·浙江高三月考）欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，若复数，则z的实部为______，______.【答案】【分析】根据欧拉公式可得，化简求值即可．【详解】复数，由欧拉公式，有,，，故答案为：；．【点睛】本题考查欧拉公式和复数的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意诱导公式的运用.14．（2021·福建厦门一中高二期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有