布朗运动：从物理学到财务学

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12 2

dSt=St[(µ−

2)dt+σ(dBt)+2σ

(dBt)]

σ2 σ2

=St[(µ−

2)dt+σ(dBt)+2dt]

=St[µdt+σdBt] (ú)

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C(S,0)=E[e−∫TµdtC(S

,T)] (û)

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∂CE[dS]

+

∂2CVar[dS] ∂C

+

=µC (6)

∂S dt ∂S2 dt ∂t

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¥úÀiÒ‘KłTßì2,n?°)R9j˙íñøj。

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E(dS)=Var(dS)=0

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∂C=µC (ý)

∂t

∂C

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C

∂lnC=µ∂t

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AѤ9j˙f¿—iÒ‘K,IwÑCT=1,®¤—V

CT=eµT+k=1

]k=ln1−µT=−µT

HgC=eµt−µT

=e−µ(T−t)

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∂2C

∂S2

σ2S2+

∂C ∂C

µS+

∂S ∂t

=µC (G)

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7φ,kjfR9j˙:

llI(.;)

∂u 2∂2u

∂t=h∂x2

(V)

Í(‡úxÏt9:

u=f(t)ν(x)

∂u

=ν(x)

∂t

df(t)

dt

∂u

=f(t)

∂x

dν(x)dx

HgŸ(V)

∂2u

∂x2=f(t)

d2ν(x)

dx2

ν(x)f'(t)=h2f(t)ν''(x)

ZŸ:

®¤—V,

f'(t)

f(t)

ν''(x)

2

=h

ν(x)

f'(t)

=h

f(t)

2ν''(x)

≡k ()

h =k

ν(x)

ÑùÀ¦9j˙,l9jZ)

f(t)=c1ekt

ν(x)=eh2β2t(acoshβx+bsinhβx)

2β,a,b,ÑL<b。kj¤bM,Bb¿biÒ‘K。(V)úxR9sŸ,]¿xísÀiÒ‘K,út—Ÿ,]¿útí—ÀiÒ‘K。7¤三‘KZ(,è6l"(ý)íj¶,j|β,a,b。

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C(S,t)=e−µ(T−t)f(x,τ)

w2

2 σ2 S σ2

x=σ2[µ−

2

][ln +(µ−

2 K

σ2

)(T−t)]

2

τ=σ2

[µ−

](T−t) (⫛)

2

2Tў„ƒ‚n(tíiÒ‘K),Kў„í¶‘K。ʃ‚nv(T),ž„C—ìíÀÂYp,¤ÑtíiÒ‘K。ÊSjÞ,sÀiÒ‘K9ÑS=0(¤vC=0),ÏS→∞(¤vC→∞)。âiÒ‘Klø,ž„í°j1.$q,¹%T7‰b‰²,fÍæÊr3xX½æ。¤&Eíè6./ûèɞ„ízÀ。

QfV,BbV}Ó«íÇ—À/ëJÚìÜ@à,ø¤ìÜtàk‚ŒZł。‚

ŒglQýÑ

F(S0,0)=E(F(ST,T)) (⫛—)

¤gÅ—fR9j˙:

∂FE(dS)

+

∂2FVar(dS) ∂F

+

=0 (⫛ù)

∂S dt ∂S2 dt ∂t

¤Ï(6).°ZTÊk¬jÑ0,¤4AÑ(⫛—)³Nbƒbíí]。‚ŒíiÒ‘KϞ„éN,Êtj⌘у‚níÛÀYp,ÊSj⌘ÑS=0(F=0),ÏS→∞(F→∞)。

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