随机过程题库

随机过程综合练习题

一、填空题(每空3分)

第一章

1.X”X2,…X”是独立同分布的随机变量，X,的特征函数为g⑺，贝I

X]+X2+…+X”的特征函数是。

2.E{E(X,)}=o

3.X的特征函数为g«),Y=aX+b,则F的特征函数为。

4.条件期望E(X|y)是的函数，(是or不是)随机变量。

5.X],X2,…X"是独立同分布的随机变量，X,的特征函数为生⑺，贝I

X]+X?+…+X”的特征函数是。

6.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性-

第二章

7.宽平稳过程是指协方差函数只与有关。

8.在独立重复试验中，若每次试验时事件A发生的概率为0(0<p<l),以X(〃)记进行

到n次试验为止A发生的次数，贝U{X(n),n=0,1,2,…}是过程。

9.正交增量过程满足的条件是=

10.正交增量过程的协方差函数Cx(s，f)=。

弟二早

11.{X(t),t》O}为具有参数;1>0的齐次泊松过程，其均值函数为；

方差函数为O

12.设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为4，友，％且均为泊松过程，它

们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间

的不同到达时间间隔的概率密度是,汽车之间的不同到达时刻间隔的

概率密度是O

13.{X(t),t'O}为具有参数4>0的齐次泊松过程，

p{x(t+s)—X(s)=n}=„n=0,1,.-•

14.设{X(t),t'O}是具有参数2>0的泊松过程，泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望

是O

15.在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.若

每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金

额»

16.到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内

乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在［0,t］内到达汽车总站的

乘客总数是(复合or非齐次)泊松过程.

17.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min内到达的顾客不超过3

人的概率是.

第四章

18.无限制随机游动各状态的周期是o

19.非周期正常返状态称为o

20.设有独立重复试验序列{X“>1)»以=1记第n次试验时事件A发生，且

P{Xn=l}=p,以=0记第n次试验时事件A不发生，且P{X“=0}=l—p,若有

匕=£羽，心1，则亿,"NU是链。

k=l

答案

一、填空题

ibt

1.g"(t)；2.EX；3.eg(at)4.y；是5.P[g;(0；6.等价

i=l

7.时间差；8.独立增量过程；

9.石心仁)—)[X(Q)—X/)]}=010.(y\(min{5J})

，,、以

,.工，、似遇乜’f>0[(2,+A2+)ef+4+4"t>o

11.At;At；12.=<1J(0=1cc

I0f<00f<0

(»)"»"i71

13.-~—e"14.—15.24000016.复合；17.—e

M!23

18.2；19.遍历状态；20.齐次马尔科夫链；

二、判断题（每题2分）

第一章

1.g，«）（，=1,2,…〃）是特征函数,j[g,.⑺不是特征函数。（）

2.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。（）

3.任意随机变量均存在特征函数。（）

4.gj⑺«=1,2,…〃）是特征函数,j[g,.⑺是特征函数。（）

i=l

5.设（X],X2，X3，Xj是零均值的四维高斯分布随机变量，则有

EG1X2X3X4）=E（X1X2）E（X3X4）+E（X1X3）E（X2X4）+E（X1X4）E（X2X3）（

第二章

6.严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。（）

7.独立增量过程是马尔科夫过程。（）

8.维纳过程是平稳独立增量过程。（）

第三章

9.非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。（）

第四章

10.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。（）

11.有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。（）

12.有限马尔科夫链，若有状态k使limp；7则状态k即为正常返的。（）

«->00

13.设ieS,若存在正整数n,使得p俨>0,p『+i）>0,则i非周期。（）

14.有限状态空间马氏链必存在常返状态。（）

15.i是正常返周期的充要条件是limp仍不存在。（）

n—>oo

16.平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。（）

17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。（）

18.i是正常返周期的充要条件是lim尸仍存在。（）

19.若icJj,则有1《=J血()

20.不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态.（）

答案

二、判断题

1.X2.V3.V4.V5.

6.V7.V8.V9.X

10.V11.V12.V13.V14.V15.V

16.V17.X18.X19.V20.V

三、大题

第一章

1.（10分）一（易）设乂~5（",「），求X的特征函数，并利用其求EX。

2.（10分）一（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，

出现正面和反面的概率相等，求*«）的一维分布函数夕（x,l/2）和夕XQ）的二维

分布函数厂（与，/；1/2,1）。

3.（10分）一（易）设有随机过程X«）=A+5/,r>0,其中A与B是相互独立的随机

变量，均服从标准正态分布，求X（f）的一维和二维分布。

第二章

4.（10分）一（易）设随机过程X（t）=Vt+b,te（0,+8）,b为常数，V服从正态分布N（0,

1）的随机变量，求X（t）的均值函数和相关函数。

5.（10分）一（易）己知随机过程X（t）的均值函数mx（t）和协方差函数Bx（ti,t2）,g（t）为普通

函数，令Y（t）=X（t）+g（t）,求随机过程Y（t）的均值函数和协方差函数。

6.（10分）一（中）设｛XQ）,/GT｝是实正交增量过程，T=[0,8）,X（0）=0,4是一服

从标准正态分布的随机变量，若对任一/NO,X（t）都与4相互独立，求

Y（t）=X（f）+4/G[0,oo）的协方差函数。

7.（io分）一（中）设｛z（f）=x+w,—oo<r<+8｝,若己知二维随机变量（x,y）的协

2-

方差矩阵为,求Z（t）的协方差函数。

_p方_

8.（10分）一（难）设有随机过程｛*«）,/eT｝和常数。，试以*«）的相关函数表示随

机过程y（0=X（t+a）-X（t）,teT的相关函数。

第三章

9.（10分）一（易）某商店每日8时开始营业，从8时至!!11时平均顾客到达率线性增加.在

8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾

客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到

达率为12人/时。假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：

30-9：30间无顾客到达商店的概率是多少在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少？

10.（15分）一（难）设到达某商店的顾客组成强度为4的泊松过程，每个顾客购买商品的

概率为p,且与其它顾客是否购买商品无关，求（0,t）内无人购买商品的概率。

11.（15分）一（难）设Xi（t）和X2⑴是分别具有参数4和4的相互独立的泊松过程，证

明：Y（t）是具有参数4+4的泊松过程。

12.（10分）一（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居.即

2=2o如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6,一户三人的概率为1/3,一

户两人的概率为1/3,一户一人的概率为1/6,并且每户的人口数是相互独立的，求在五周

内移民到该地区人口的数学期望与方差。

13.（10分）一（难）在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt（k）=—e4,k=0,1,2,,

k\

其中丸＞0为常数.如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t

内呼叫n次的概率P2t（n）

14.（10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，

求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2min

15.（15分）一（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个.每

个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001,求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW

和P{W22}.

16.（10分）一（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程.设Imin内没有车辆通过的概

率为0.2,求2min内有多于一辆车通过的概率。

17.（10分）一（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，

求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4min

18.（15分）一（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年

或3年的概率分别为1/2、1/3和1/6,且相互独立.设订一年时，可得1元手续费；订

两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费.以X（t）记在［0,t］内得到的总手续

费,求EX（t）与varX（t）

19.（10分）一（易）设顾客到达商场的速率为2个/min,求（1）在5min内到达顾客数

的平均值；（2）在5min内到达顾客数的方差；（3）在5min内至少有一个顾客到达的概率.

20.（10分）一（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年内平均2.5年需要维修一次，

后5年平均2年需维修一次，求在使用期限内只维修过1次的概率.

21.（15分）一（难）设X（t）和Y（t）（t20）是强度分别为4x和4y的泊松过程，证明：在

X（t）的任意两个相邻事件之间的时间间隔内，Y（t）恰好有k个事件发生的概率为

J%丫4［

第四章

22.（10分）一（中）已知随机游动的转移概率矩阵为

求三步转移概率矩阵P⑶及当初始分布为

时，经三步转移后处于状态3的概率。

23.（15分）一（难）将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中，每个盒子放

3个，现从每个盒子中各任取一球，交换后放回盒中（甲盒内取出的球放入乙盒中，乙盒内

取出的球放入甲盒中），以X（n）表示经过n次交换后甲盒中红球数，贝弘X（n）,n20}为齐次

马尔可夫链，求（1）一步转移概率矩阵；（2）证明：{X（n）,n20}是遍历链；（3）求

=0,1,2。

n->ooJ

24.（10分）一（中）已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下：

求下一、二个月的销售状态分布。

25.（15分）一（难）设马尔可夫链的状态空间1={1,2,7},转移概率矩阵为

求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。

26.（15分）一（难）设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空间1={1,

2,3,4}是按BOD浓度为极低，低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵（以一天为单

位）为

若BOD浓度为高，则称河流处于污染状态。（1）证明该链是遍历链；（2）求该链的平稳分布；

（3）河流再次达到污染的平均时间。

27.（10分）一（易）设马尔可夫链的状态空间I={0,1,2,3},转移概率矩阵为

求状态空间的分解。

28.（15分）一（难）设马尔可夫链的状态空间为1={1,2,3,4）.转移概率矩阵为

讨论limp：?

29.（10分）一（易）设马尔可夫链的转移概率矩阵为

求其平稳分布。

30.（15分）一（难）甲乙两人进行一种比赛，设每局比赛甲胜的概率是p,乙胜的概率是

q,和局的概率为r,且p+q+r=l.设每局比赛胜者记1分，负者记一1分.和局记零分。当

有一人获得2分时比赛结束.以X。表示比赛至n局时甲获得的分数，贝叫是齐

次马尔可夫链.

（1）写出状态空间I;（2）求出二步转移概率矩阵；

（3）求甲已获1分时，再赛两局可以结束比赛的概率.

31.（10分）一（中）（天气预报问题）设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的

天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为a，而今天无雨明天有雨的概率为夕，规

定有雨天气为状态0,无雨天气为状态E因此问题是两个状态的马尔可夫链.设

a=0.7,夕=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.

32.（10分）一（中）设21}是一个马尔可夫链，其状态空间I={a,b,c},转移概

率矩阵为

求（1）P{=b,X2=c,X3=a,X4=c,X5=a,X6=c,X7=b\Xo=c}

（2）P{Xn+2=c\Xn=b}

33.（15分）一（难）设马尔可夫链0}的状态空间I={1,2,6},转移概率

矩阵为

试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。

答案

三、大题

1.解：引入随机变量Xj〜i=l,2-n.................................................（1分）

（4P）

（Pi（t）=EeItx>=elt0q+elt'p=pe"+q.........................................（3分）

X=^K~5（〃,p）....................（4分）

i=l

"（力X,）«

<p（t）=Eeux=EeM=（peu+q）n......................................（6分）

i=l

­.（p'（0）=iEX.........................................（8分）

...........................................（10分）

2.解：依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2

0X<o

1

其分布函数为夕(，;x)=<<z3分

--X<l

2\

211

X->

同理，当t=l时X(l)的分布列为P{X(1)=-1}=P{X(1)=2}=-

2

0

1

<1分

---<X<25

其分布函数为夕(l;x)=2

1X>2

_-

_

(2)由于在不同时刻投币是相互独立的，故在t=l/2,t=l时的联合分布列为

故联合分布函数为

0Xj<0orx2<-1

1/40<Xj<1and-1<x2<2

(10分)

巧户2)=,1/20<Xj<1andx2>2

orx1>land-1<x2<2

Xj>1andx2>2

3.解：对于任意固定的teT,X(t)是正态随机变量，故

所以X(t)服从正态分布N(0,l+〃)(3分)

其次任意固定的eT,X(t1)=A+Bt1,X(t2)=A+Bt2

则依n维正态随机向量的性质，(豕(6),X«2))服从二维正态分布，且

O[X«i)]=l+f：D[X(t2)]=l+tl(8分)

1+彳

所以二维分布是数学期望向量为(0,0),协方差为1+的二维正态分布。

1+他1+t1

(10分)

4.解：X(t)=Vt+b,V~N(0,l),故*«)服从正态分布,

均值函数为m(t)=E[x(t)\=b(4分)

相关函数为Rit.,t2)=EX^)=Elyt,+bjyt2+b\

22

=+V(ZX+Z2)Z>+Z>]=txt2+b........................(10分)

5.解：mY(t)=EY(t)=E[X(O+g(^)]=mx(t)+g(t)

(4分)

.(10分)

6.解：因为{XQ),reT}是实正交增量过程，故E[X«)]=0

自服从标准正态分布，所以EJ=0,D&=1..............................................................(2分)

E[y«)]=E[XQ)]+EJ=0..............................................................(4分)

又因为rio,x«)都与g相互独立

Co^Y(s),Y(t)]=E[Y(S)Y(t)]=E{[X(s)+目[X«)+口}............(6分)

=Cov[X(s),XQ)]+l...............................................................(8分)

=/(min{sj})+1..............................................................(10分)

7.解：利用数学期望的性质可得，

X

Cz(s,/)=E{[(X+心)—(〃+〃yS)[(X+H)—(〃x+〃/)]}.....................(2分)

+E[(X-〃x)s(y—〃间+Est(Y—〃y)2..............(8分)

=CT,2+(5+t)p+Stcl.....................................................(10分)

8.解：RY(t.,t2)=£{1X(^+a)-X(tx)][X(t2+a)-X(t2)]}.................(2分)

=Rx('i+a,，2+a)-Rx(G+a,，2)—Rx"2+a)+Rx(G,.)................(10分)

9.解：根据题意知顾客的到达率为

5+5/0<Z<3

2(f)=\203<t<5.........................................(3分)

20-2(f-5)5<t<9

mx(1.5)—(0.5)=[(5+5t)dt=10.........................................(6分)

J0.5

P{X(L5)-X(0.5)=0}=e-i°.........................................(10分)

10.解：设｛X«),tN0｝表示到达商店的顾客数，媒表示第i个顾客购物与否，即

则由题意知《独立同分布.且与X(t)独立

x（t）

因此，y（t）=24是复合泊松过程，表示（0,。内购买商品的顾客数，.....（5分）

1=1

由题意求

oo（k

=£尸{砥/）=耳尸Z$=o................................（io分）

A=0I4=1.

=e-^e^=e~Xpt.........................................（15分

ii.证明：P{ya+T）-ra）=n}

=^P{X1(t+r)-X1(t)=i,X2(t+v)-X2(t)=n-i}................(5分)

i=0

=^P{X1(t+T)-X1(t)=i}-P{X2(t+r)~X2(t)=n-i}...........(10分)

i=0

故Y(t)是具有参数4+4的泊松过程......................(15分)

12.解：设N«）为在时间［0,t］内的移民户数，其是强度为2的泊松过程，匕表示每户的

N（t）

人数，则在［0,t］内的移民人数X（t）=Z匕是一个复合泊松过程。

1=1

............................................................（2分）

匕是独立同分布的随机变量，其分布为

1234

EY.=—EY：=—.........................................(4分)

66

m(5)=EN(5)-EY=2x5x—=25..................................(7分)

x16

bx(5)=DN(5)-Ey：=2x5x—=—（10分）

63

13.解：以A记时间2t内呼叫n次的事件，记第一时间间隔内呼叫为〃口则=6（左）,

第二时间间隔内P（A|=匕（“—口成立，于是

n八#[n-k

P2t(〃)=1Pt(k)P,(n-k)=之一------八（4分）

hhk\(n-k)\

川小2"-n\e皿小

（8分）

n\总左!（〃-Q!n\总

（2孙e-2,

（10分）

n!

14.解：由题意，顾客到达数N（t）是强度为;I的泊松过程，则顾客到达的时间间隔{X“,”>1}

服从参数为2的指数分布,

,,、130日x>0

A（x）=l0…（4分）

P{X〉2}=/；30/°2%=/.........................................（10分）

6060

15.解：设X（t）是t年进入中国上空的流星数，X。）为参数2=10000的齐次泊松过程

、几Vfl,第，•个流星落于地面.nBnv（01）

110,第，个流星不落于地面'10.99990.0001J

X。）

由题意知，W=£匕是一个复合泊松过程..........................（5分）

1=1

W是参数为勿=1的泊松过程...................................（10分）

\JL\J11^1

=1—-J五一一1^—J五=1—J五一豆............（15分）

0!1!12

16.解：以N（。表示在［0/）内通过的车辆数，设{N（/）"20}是泊松过程，贝|

P{N（t）=k}=^^「,k=0,1,2,..........................................................（2分）

k!

尸{N⑴=0}=/=0.2=>/l=ln5.......................................（5分）

=l—e-2"_2彳"2/=4_21n5...................................（10分）

2525

17.解：由题意，顾客到达数N（t）是强度为;I的泊松过程，则顾客到达的时间间隔{X“,”>1}

服从参数为2的指数分布,

30"3°x%>0

（4分）

0x<0

P{X<3}=I*.30*3°工公=1_"2..........................................(10分)

60J。

18.解：设Z(t)为在［0,t］内来到的顾客数，ZQ)为参数4=6的齐次泊松过程，

匕是每个顾客订阅年限的概率分布，且y,独立同分布，

z(t)

由题意知，X«)=E匕为［0,t］内得到的总手续费，是一个复合泊松过程

1=1

.......................................................(5分)

,,1,1,120

EK2=12--+22--+32--=—............................................(8分)

12366

VarX(t)=VarZ(t)-E.=6Z—=20f...........................(15分)

19.解：N(t)表示在［0,t)内到达的顾客数，显然{N(t),t》0}是泊松过程，2=2,则当

t=2时，N(5)服从泊松过程

(2x5曾

P{N(5)=k}=^———e-2x5,k=0,1,2,..........................................(5分)

k\

故E［N⑸］=10;⑸］=10

P{N(5)21}=l-P{N(5)=0}=l-eT°..............................(10分)

20.解：因为维修次数与使用时间有关，所以该过程是非齐次泊松过程，强度函数

rio51io1

则"(10)=『A(t)dt=［----dt+\—dt=4.5..............................(6分)

J。JO2.5J52

4519--

P{2V(10)-2V(0)=1}=e-4-5-=-e2....................................(10分)

X!2

21.证明：设X(t)的两个相邻事件的时间间隔为了，依独立性有

P{[Y[t+T)-Y(t)]=k}=勺te-桁

.....................................(2分)

k\

而X(t)的不同到达时刻的概率密度函数为

T

_Uxe-^T>0

....................................(4分)

0others

由于X（t）是泊松过程，故Y（t）恰好有k个事件发生的概率为

k\

（8分）

%+九严

（10分）

22.解:

0.250.3750.375'

0.3750.250.375.................（6分）

0.3750.3750.25

P3（3）=P3P；；）=1x0.25=0.25（10分）

23.解：由题意知，甲盒中的球共有3种状态，

X（〃）表示甲盒

甲盒乙盒

中的红球数

22红、1白3白

11红、2白1红、2白

03白2红、1白

Poo=尸｛甲乙互换一球后甲盒仍有3个白球I甲盒有3个白球｝

=P｛从乙盒放入甲盒的一球是白球｝=1/3

Poi=尸｛甲乙互换一球后甲盒有2个白球1个红球|甲盒有3个白球）

=P｛从乙盒放入甲盒的一球是红球｝=2/3

pQ2=尸｛甲乙互换一球后甲盒有1个白球2个红球|甲盒有3个白球｝=0

-1/32/30

以此类推，一步转移概率矩阵为尸=2/95/92/9（8分）

02/31/3

（2）因为各状态互通，所以为不可约有限马氏链,且状态。无周期，故马氏链为遍历链。

（10分）

（3）兀=（兀0，，万2）

12

%o=3%0+

「

解方程组，一即产=丁2。+产5+产2

（13分）

-%0+%1+乃2=121

n2=+]"2

万0+%1+〃2=1

解得"。=《，万1=M'万2=《

（15分）

24.解：

.................................（5分）

..................................（10分）

25.解：N=｛1,2｝是非常返集，Ci=｛3,4,5｝,C?=｛6,7｝是正常返闭集。

............................（5分）

0.60.40'

常返闭集4=｛3,4,5｝上的转移矩阵为0.400.6

0.20.50.3

兀=戒

解方程组＜,1076

其中万=（万3，〃4，万5），解得43=右，%=右>%5

%+%4+%5=123

G上的平稳分布为｛。,。噌，52。,。｝（10分）

87

同理解得。2上的平稳分布为｛0,0,0,0,0，运，运｝........................（15分）

26.解：（1）因为1—>2—>3―'4,故马氏链不可约，

又因为状态1非周期，故马氏链是遍历链......................（5分）

兀=JtP

（2）解方程组〈其中乃=（,，犯，万3，%）

町+町+%+%=1

解得匹=0.2112,町=0.3028,万3=0.3236,%=0.1044.......................（10分）

（3）//4=—«9（天）（15分）

万4

27.解：状态传递图如下图

01/2

1/4^

1/41/2

1/2

1/4

（2分）

由状态3不可能到达任何其它状态,所以是常返态.

由状态2可到达0,1,3三个状态，但从0,1,3三个状态都不能到达状态2,且

001

Z先'）=f22=-<!>故状态2是非常返状态。（5分）

n=\4

状态0,1互通且构成一个基本常返闭集,

故状态0,1是常返态。（8分）

于是状态空间分解为/={2}+{0,1}+{3}（10分）

28.解：状态传递图如下图

1

状态1和状态2都是吸收态.都是正常返非周期的基本常返闭集，而N={3,4}是非常

返集•有=1,尺？=0,pg?=g,..............................................................（8分）

............................（12分）

以上说明lim存在，但与i的取值有关。.............................（15分）

29.解：设》=（肛,》2，》3）

"1=0.541+0.5万2

71-7lP

71,=0.5%1+0.5万&3

解方程组《即12（6分）

TC\+71+兀3=1%3=0・5万2+0・5〃3

乃］+71?+713=1